CAPÍTULO 5 / REVISIÓN

MOVIMIENTOS| ¿qué aprendimos?

Características del movimiento

Para describir un movimiento, es preciso tener un sistema de referencia, es decir, unos ejes coordenados respecto a los cuales se pueda fijar la posición del móvil en cada instante. Este sistema puede ser fijo o móvil, y mide posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica. Se denomina trayectoria al camino recorrido por un móvil a lo largo del tiempo, mientras que el desplazamiento de un móvil desde un punto P0 a un punto P1 es un vector que tiene su origen en el punto P0 y su extremo en el punto P1. Los movimientos se clasifican según su trayectoria, rapidez y orientación.

Todo ser vivo está en constante movimiento.

Rapidez, velocidad y aceleración

La rapidez, la velocidad y la aceleración son magnitudes cinemáticas con propiedades diferentes. La rapidez indica la cantidad de distancia que logra recorrer un móvil en un intervalo de tiempo. La velocidad proporciona la rapidez y agrega también la dirección y el sentido en el cual se desplaza el móvil. El análisis de la velocidad se divide en dos partes importantes: la velocidad media y velocidad instantánea. La velocidad constante es aquella donde el modulo y la dirección no cambian a través del tiempo y sólo aplica para el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).  La aceleración se define como el aumento de velocidad durante un intervalo de tiempo.

La rapidez es una magnitud escalar, la velocidad es una magnitud vectorial.

Tipos de movimientos

Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando cambia de posición, pero depende de su trayectoria el tipo de movimiento que realice. El movimiento rectilíneo debe su nombre a que su trayectoria es una línea recta, y son constantes la trayectoria y la dirección. El movimiento rectilíneo uniforme (o simplemente movimiento uniforme) es el que tiene un móvil que se mueve en línea recta con velocidad constante. En el movimiento variado la velocidad no es constante, mientras que en el uniforme sí lo es, por ello la trayectoria en éste último siempre será rectilínea mientras que en el variado será rectilínea y curvilínea. En la caída libre el móvil cae de forma vertical desde cierta altura sin ningún obstáculo. El movimiento curvilíneo se llama de esta manera ya que su trayectoria es una línea curva, que puede ser circular, parabólica, elíptica y ondulatoria.

Los movimientos se diferencian de acuerdo a la trayectoria que el cuerpo haya tomado.

CAPÍTULO 5 / TEMA 3

Tipos de movimiento

Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando cambia de posición, pero depende de su trayectoria el tipo de movimiento que realice. En la física hay varios tipos de movimientos que a continuación estudiaremos.

Ver infografía

Descripción del movimiento

A diario somos parte de un entorno que se encuentra en movimiento, lo que se evidencia en nuestras horas de luz y oscuridad por los movimientos del planeta Tierra en su eje de rotación, así como los movimientos de traslación en torno al Sol durante el año y las diferentes estaciones; por lo que todo lo que está en el planeta se mueve y de allí la formación de diferentes fenómenos, como las mareas, las corrientes marinas, el viento, los terremotos y la deriva continental.

¿Sabías qué?
El movimiento de una bala es parabólico, es el ojo del observador quien le da el nombre de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV).

Este proceso físico también se demuestra a niveles microscópicos, en el movimiento de los cromosomas durante la división celular y en el movimiento de los electrones que orbitan los núcleos de los átomos. Sin embargo, a pesar de saber que ningún objeto, factor abiótico o ser vivo está inmóvil, se debe partir de un punto o posición para poder facilitar el estudio del movimiento, este punto se conoce como sistema de referencia, por lo que se dice que el movimiento de un cuerpo se da al cambiar su posición con respecto a un sistema de referencia.

El punto medio del sistema de coordenadas es cero.

Imaginemos que se deja caer un balón desde una altura de 1 metro y que se necesita estudiar el recorrido del movimiento. Para ello se hace una representación gráfica del movimiento a través del sistema de ejes de coordenadas, el cual consta de dos rectas perpendiculares que convergen en un punto denominado origen. La recta vertical corresponde al eje de las coordenadas descrito con la letra Y; y la recta horizontal corresponde al eje de las abscisas descrito con la letra X. Al representar gráficamente el ejemplo anterior podemos conocer la naturaleza del movimiento, es decir, que la dirección del movimiento es vertical, de arriba hacia abajo, por lo que el movimiento es rectilíneo.

El balón está en movimiento.

MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS

El movimiento rectilíneo debe su nombre a que su trayectoria es una línea recta, es decir, cuando el móvil se desplaza en un solo sentido, con constante trayectoria y dirección, y no pasa por los mismos puntos del recorrido. Todos los cuerpos en caída libre tienen un movimiento rectilíneo.

Una carrera de 100 metros planos es un movimiento rectilíneo.

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Existe un movimiento en el que el vector velocidad es invariable en módulo, dirección y sentido: el movimiento rectilíneo uniforme (o simplemente movimiento uniforme), que es el que tiene un móvil que se mueve en línea recta con velocidad constante.

Si tenemos los puntos P0 y P de la trayectoria que recorre un móvil con movimiento uniforme y tomamos esa recta como eje x, esos puntos quedarán fijados con una única coordenada: su abscisa. Los vectores:

 

Serán:

Y la velocidad media entre P0 y P será:

Como la velocidad instantánea es constante, podemos escribir:

De donde X= X0  + v. (t – t 0)                                                                                                                                                                                                                                                                   

Si empezáramos a medir los tiempos cuando el móvil se halla en el punto P0, sería t0 = 0, y por lo tanto, x = x0 + v·t. Y si además tomásemos el origen de abscisas en el punto P0, se reduciría a x = v·t.

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)

Según la naturaleza de los movimientos pueden ser regulares o irregulares. El movimiento uniforme se refiere a cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales, mientras que el movimiento variado es el caso contrario. Esto puede demostrarse al comparar el recorrido constante de las manecillas de un reloj al dar la vuelta completa siempre a los 60 minutos, y el recorrido irregular de los atletas de 100 metros planos en las Olimpíadas, en donde todos tienen récords de tiempo diferente a una misma distancia.

La rapidez o velocidad en el movimiento es una magnitud escalar que permite determinar mediante una comparación si un movimiento es rápido o lento con respecto a otro, por lo que dependerá de la distancia y del tiempo que tarda en realizar el recorrido. Si se repitiese el ejemplo del balón de básquet, el móvil, es decir el balón, realiza desplazamientos iguales en diferentes tiempos con cambios constantes en la rapidez, por lo que el movimiento es variado. En el movimiento variado la velocidad no es constante, mientras que el uniforme sí lo es, por ello la trayectoria en éste último siempre será rectilínea mientras que en el variado será rectilínea y curvilínea.

Un vehículo realiza un MRUV ya que su velocidad no es constante.

La caída libre

En este movimiento, el móvil cae de forma vertical desde cierta altura sin ningún obstáculo. Es un tipo de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) porque su aceleración es constante y coincide con el valor de la gravedad.

El lanzamiento de paracaídas es una caída libre y además un MRUV.

La gravedad

Al encontrarse cerca de la superficie terrestre, los cuerpos experimentan una fuerza de atracción que les confiere una aceleración. Cuando una manzana cae de un árbol, lo hace por acción de dicha fuerza. En el caso de la Tierra, la gravedad puede considerarse constante y su dirección es hacia abajo. Generalmente se designa con la letra g y sus valores aproximados para algunos sistemas de medición son:

Sistema M.K.Sg = 9,8 m/s²

Sistema c.g.sg = 980 cm/s²

Sistema inglésg = 32 ft/s² (pies por segundo)

¿Sabías qué?
En 1687, el físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés Isaac Newton propuso la ley de gravitación universal o teoría de la gravedad.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO

El movimiento curvilíneo se llama de esta manera ya que su trayectoria es una línea curva, que puede ser circular, parabólica, elíptica y ondulatoria.

Movimiento circular: en el movimiento circular la trayectoria siempre es una circunferencia, y son variables el desplazamiento y el sentido del móvil, que repite su trayectoria al pasar por los mismos puntos. Un ejemplo de este movimiento lo observamos en las ruedas de una bicicleta en movimiento o una piedra unida a una cuerda girando.

Aunque la rapidez y la magnitud de la velocidad son constantes, a cada momento cambia de dirección.

Movimiento parabólico: en este tipo de movimiento la trayectoria siempre es una parábola, un arco con sentido variable; un ejemplo del movimiento curvilíneo parabólico se observa en un chorro de agua que sale de un conducto.

Este movimiento es realizado por un objeto en dos dimensiones o sobre un plano.

Movimiento elíptico: debe su nombre a que la trayectoria es una elipse, es decir, una curva cerrada y simétrica como la que se forma por la órbita que se observa de la Tierra alrededor el Sol. El desplazamiento y sentido se mantienen constantes, pasa por los mismos puntos del recorrido.

El movimiento de la Tierra alrededor del Sol es elíptico y produce las estaciones del año.

Movimiento oscilatorio: este movimiento se da cuando la trayectoria, en este caso una curva, se repite mientras varía el sentido sucesivamente. Un ejemplo se ve en el vaivén de un columpio, en donde el movimiento está impulsado por el peso del móvil.

Este movimiento se produce en torno a un punto de equilibrio estable.

Movimiento ondulatorio: es aquel en donde una oscilación se propaga de un punto a otro, por lo que se transporta energía, siendo su trayectoria rectilínea, mientras que el desplazamiento y sentido permanecen hasta que la onda disminuye o presenta un obstáculo. El movimiento ondulatorio puede definirse también como un movimiento vibratorio, por lo que puede darse en los diferentes estados de la materia: sólido, líquido y gaseoso. Un ejemplo de este movimiento se da al caer una gota de agua en un espacio acuático en reposo.

RECURSOS PARA DOCENTES

Artículo “Dinámica”

Artículo destacado donde se diferencia la cinemática de la dinámica.

VER

Artículo “Lanzamiento vertical”

Artículo destacado con más información sobre este movimiento inverso a la caída libre.

VER

Rapidez y velocidad

Tanto la rapidez como la velocidad son dos magnitudes cinemáticas que a menudo se confunden. Ambas están relacionadas con la distancia recorrida o el desplazamiento efectuado, magnitudes que frecuentemente se usan como sinónimo, pero son diferentes. 

Rapidez Velocidad
Tipo de magnitud Magnitud escalar. Magnitud vectorial.
¿Qué relaciona? Distancia recorrida con el tiempo. Desplazamiento (cambio de posición) con el tiempo.
Considera la dirección del movimiento No tiene en cuenta la dirección del movimiento. Tiene en cuenta la dirección del movimiento.
Unidades En el Sistema Internacional la unidad de medida es m/s. En el Sistema Internacional la unidad de medida es m/s.
¿Depende de la dirección? No. Sí.
Fórmula v = \frac{d}{t}

 

Donde:

d = distancia

t = tiempo

\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{d}}{t}

 

Donde:

d = desplazamiento

t = tiempo

MRU y MRUV

Los movimientos rectilíneos se caracterizan por tener una trayectoria en forma de línea recta respecto al observador y son el tipo de movimiento más sencillo en mecánica. Pueden ser uniformes, designados bajo el acrónimo MRU; o uniformemente variados, conocidos por el acrónimo MRUV.

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)
Trayectoria Línea recta. Línea recta.
Velocidad Constante. Variada. Puede ser acelerada y retardada.
Ecuación de velocidad \overrightarrow{V} = \frac{\Delta\overrightarrow{X}}{\Delta t}

 

Donde:

ΔX: desplazamiento.

Δt: intervalo de tiempo.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

\overrightarrow{V} = \overrightarrow{V_{0}} + a.t

 

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUR)

\overrightarrow{V} = \overrightarrow{V_{0}} - a.t

Aceleración Nula. Constante. Puede ser positiva o negativa.
Ecuación de aceleración a = 0 a = \frac{V_{f} - V_{0}}{t}
Desplazamiento Puede ser positivo o negativo. Puede ser positivo o negativo.
Ecuación de desplazamiento X = \overrightarrow{V}.t

 

Donde:

V: velocidad

t: tiempo

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

X = V_{0}.t + (0,5)at^{2}

 

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUR)

X = V_{0}.t - (0,5)at^{2}

 

Reacciones de combinación, descomposición y desplazamiento

La materia se transforma continuamente. Cuando la transformación es interna, es decir, cuando la sustancia cambia tanto en apariencia física como composición, se habla de un cambio químico o reacción química. Éstas se pueden clasificar según el proceso químico ocurrido en reacciones de combinación, descomposición o desplazamiento.

Reacción de combinación Reacción de descomposición Reacción de desplazamiento
Proceso químico Combinación o síntesis. Descomposición. Desplazamiento o sustitución.
¿Qué ocurre? Dos o más sustancias puras se combinan para crear una nueva sustancia compuesta. Una sustancia compuesta se descompone para formar dos o más productos. Un elemento que conforma un compuesto es sustituido o desplazado por otro.
Representación A + B \rightarrow C

 

AB \rightarrow A + B

 

AB + X \rightarrow AX + B

 

Ejemplos Fe + S \rightarrow FeS

 

2 Zn + O_{2} \rightarrow 2 ZnO

2 H_{2}O \rightarrow 2 H_{2} + O_{2}

 

H_{2}CO_{3} \rightarrow CO_{2} + H_{2}O

H_{2}SO_{4} + Fe \rightarrow FeSO_{4} + H_{2}

 

2 HCl + Zn \rightarrow ZnCl_{2} + H_{2}

 

Conceptos de la dinámica del punto material: energía

La energía se define como la capacidad para realizar trabajo. La gasolina, por ejemplo, puede quemarse en un motor para realizar el trabajo de impulsar un pistón: la gasolina almacena energía química. En el lenguaje corriente se habla de energía eólica, nuclear, geotérmica, mareomotriz, etc., y aunque atendiendo a su origen estas distinciones son adecuadas, desde un punto de vista estrictamente físico esas energías no siempre constituyen formas particulares. Así, la energía eólica es energía cinética y la energía mareomotriz es energía potencial.

Tipos de energía mecánica

En mecánica, sólo existen dos formas de energía: la cinética y la potencial. La primera es una energía actual asociada con el movimiento, y la segunda es una energía en potencia asociada con la posición o con la forma. Un cuerpo en movimiento posee una energía cinética que depende de su masa y su velocidad. Si, por ejemplo, usamos un martillo para clavar un clavo, lo que hacemos es comunicar una energía cinética al martillo, con lo cual, cuando éste golpea el clavo, puede realizar el trabajo de hundirlo en la madera. Ese trabajo es igual al producto de la fuerza que opone la madera a ser penetrada por el hundimiento del clavo que se ha logrado.

Cuando definimos la energía como capacidad para realizar trabajo, usamos el término trabajo en sentido físico: si hubiéramos fallado y en lugar de golpear la cabeza del clavo golpeábamos la madera (o, peor aún, nos hubiésemos golpeado un dedo), no habríamos realizado ningún trabajo útil para nosotros, pero la energía cinética del martillo hubiera sido la misma.

La energía potencial es la que adquiere un cuerpo cuando lo llevamos a una determinada posición en contra de una fuerza. Normalmente, cuando se habla de energía potencial esa fuerza es la atracción gravitatoria. Para elevar un cuerpo tenemos que realizar un trabajo; ese trabajo se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial. Si después de elevarlo lo dejamos caer, el cuerpo adquirirá energía cinética y llegará al suelo con capacidad para realizar un trabajo.

Existen otras fuerzas que permiten almacenar energía potencial; así, si estiramos un muelle realizamos un trabajo contra la fuerza que opone el muelle a dejarse estirar: “cargamos” el muelle de energía elástica, que es una forma de energía potencial. Pero cuando hablamos de energía potencial nos referiremos a la que tiene un cuerpo por hallarse a cierta altura sobre el suelo.

De acuerdo con la definición, la energía tiene las mismas dimensiones que el trabajo y se medirá en las mismas unidades que éste.

Energía cinética

Para deducir la expresión de la energía cinética, suponemos que a un cuerpo de masa m que está en reposo le aplicamos una fuerza F hasta que adquiera una velocidad v: la energía cinética del cuerpo será el trabajo realizado por la fuerza F.

Se tratará de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, por lo tanto:

Podemos expresar e en función de v y de a:

Si en la ecuación del trabajo sustituimos e por esta expresión:

y como por la ecuación fundamental de la dinámica es F = m·a, tendremos que:

Podemos llegar a esta misma expresión planteando el problema al revés, esto es, suponiendo que tenemos un cuerpo de masa m que se está moviendo a una velocidad v y tiene una energía cinética E c, igualamos E c al trabajo que tiene que hacer una fuerza F para frenar al cuerpo hasta que se pare. En este caso el movimiento es uniformemente retardado:

A partir de estas dos igualdades podemos expresar e en función de v y de a:

Si en la ecuación del trabajo sustituimos e por esta expresión:

y, por ser F = m·a, será:

Energía potencial

La energía potencial es el trabajo realizado por una fuerza mediante la cual elevamos un cuerpo de masa m desde el suelo a una altura h mediante una fuerza F.

Elevamos el cuerpo con movimiento uniforme, por lo que ejercemos una fuerza de la misma intensidad al peso del cuerpo:

F = m·g

El trabajo realizado será:

Ep = W = F·h = m·g·h

Supongamos que tenemos un cuerpo de masa m situado a una altura del suelo h y lo soltamos: el cuerpo caerá bajo la acción de su peso y, evaluando el trabajo de la fuerza peso hasta el momento en que el cuerpo llega al suelo, hallamos la misma expresión, E p = W = m·g·h.

Hemos hablado del “suelo” pero sin especificar si se trataba del suelo de la habitación o de otro nivel: es indiferente, la expresión hallada es en cualquier caso válida. Para elevar un cuerpo desde el suelo hasta una altura h podemos elevarlo primero hasta una altura h 1 y después desde ahí a una altura h 2, siendo h 1 + h 2h. La energía potencial que adquiere el cuerpo es la misma que si lo elevamos directamente desde el suelo hasta la altura h, ya que:

Ep = m·g·h = m·g·(h1 + h2) = m·g·h1 + m·g·h2

Ejemplo

Cuando se mueve un cuerpo paralelamente al suelo no se realiza trabajo contra la fuerza gravitatoria ya que, como dijimos, el trabajo es nulo si la fuerza es normal al desplazamiento. Por esta razón, la energía potencial que adquiere un cuerpo cuando lo elevamos a una altura h no depende de la trayectoria que sigamos, ya que es posible considerar ésta dividida en la suma de un número muy grande de elementos muy pequeños tangentes a la misma y cada uno de estos elementos se puede descomponer en la suma de un elemento vertical y uno horizontal, siendo nulo el trabajo en los desplazamientos horizontales.

Conservación de la energía mecánica

Este principio constituye una aplicación restringida a la energía mecánica del primer principio de la termodinámica. Entendiendo por energía mecánica de un punto material la suma de sus energías cinética y potencial, este principio dice que la energía mecánica de un punto material sobre el que la única fuerza que actúa es la atracción gravitatoria permanece constante:

Ec + Ep = cte.

El principio puede tomarse como demostrado por la experiencia, aunque es fácil ver que es matemáticamente cierto.

En el estudio de la cinemática llegamos a la expresión:

Para la velocidad con que llega al suelo un cuerpo que cae desde una altura h, podemos llegar a esta fórmula a partir del principio de la conservación de la energía.

En efecto, igualando la energía potencial que el cuerpo ha perdido al caer con la energía cinética que ha ganado:

de donde, al simplificar y despejar:

Si sobre el punto material actúa una fuerza que hace variar la energía mecánica del móvil al realizar un trabajo W, será:

W = (Ec + Ep) = Ec + Ep

Esta expresión, muy útil en la resolución de problemas, nos dice que el trabajo realizado por un punto material (o por un sistema de puntos materiales), o bien el trabajo realizado sobre el punto material, se traduce en una variación de su energía cinética y/o su energía potencial.

Ejemplo:

Un automóvil viaja a 30 km/h subiendo por una pendiente recta de 30°. El conductor acelera y en 5 segundos dobla su velocidad. Calcular el trabajo realizado si la masa total del vehículo es de 900 kg.

Solución:

Aplicaremos la fórmula:

W = Ec + Ep

La variación de E c habrá sido:

Sustituyendo valores, con la velocidad expresada en m/s, será:

Para calcular la altura h que ha subido el coche en 5 s, calcularemos primero el espacio que ha recorrido. El movimiento del coche es uniformemente acelerado, por tanto:

siendo, a·t = v – v0.

Sustituyendo valores en esas fórmulas, tendremos:

Por trigonometría, la altura será:

h = e·sen 30

Sustituyendo valores:

h = 254,16·0,5 = 127,08 m

El incremento de E p será:

Ep = m.g. h

Ep = 900.9,8.127,08 = 1120845,6J

Por tanto, el trabajo realizado en esos 5 s por el motor del automóvil será la suma de los incrementos de la energía cinética y de la energía potencial del vehículo (más la energía disipada en forma de calor a causa de los rozamientos, que aquí no se tiene en cuenta):

W = 93750 + 1120845,6 = 1214595,6 julios

Noria

Este antiguo ingenio debe su nombre a los árabes, quienes la inventaron, y significa rueda hidráulica. La noria es una máquina que cuenta con dos grandes ruedas giratorias, una horizontal movida por una palanca que es tirada habitualmente por una caballería, y otra vertical, cuyos engranajes se unen a los de la primera para así ser puesta en movimiento y para posibilitar que los arcaduces destinados a recoger agua cumplan esta función.

Conceptos fundamentales de cinemática: trayectoria, espacio y desplazamiento 

Trayectoria y desplazamiento

Se denomina trayectoria al camino recorrido por un móvil a lo largo del tiempo. Es decir, la trayectoria es el conjunto de las sucesivas posiciones ocupadas por el móvil. La medida de la longitud de esa trayectoria es lo que se denomina espacio. Así pues, el espacio es una magnitud escalar.

Es importante no confundir estos dos conceptos con el de desplazamiento. El desplazamiento de un móvil desde un punto P0 a un punto P1 es un vector que tiene su origen en el punto P0 y su extremo en el punto P1. El desplazamiento es independiente de la trayectoria: sólo depende del punto inicial y final.

Ejemplo

En relación a la trayectoria, un movimiento puede ser rectilíneo, si su trayectoria es una línea recta, o curvilíneo, si es una curva. Entre los movimientos curvilíneos, tiene especial interés el movimiento circular, en el que el móvil se mueve describiendo una circunferencia.

Sistemas de referencia

Para describir un movimiento es preciso tener un sistema de referencia, es decir, unos ejes coordenados respecto a los cuales se pueda fijar la posición del móvil en cada instante.

Siempre se puede elegir el sistema de referencia a voluntad, de manera que lo escogeremos en función de las características del problema. Por ejemplo, para describir un movimiento rectilíneo lo más cómodo es hacerlo respecto a un eje que coincida con la dirección de ese movimiento, y para describir un movimiento circular lo más cómodo es tomar unos ejes que se corten en el centro de la circunferencia que recorre el móvil.

Un sistema de referencia puede ser fijo o móvil. Si queremos describir el movimiento de un pasajero que camina por el pasillo de un vagón de tren mientras éste avanza en línea recta a 100 km/h, puede ser útil tomar un eje de abscisas ligado al vagón y, respecto a ese eje, diríamos que el pasajero se mueve, por ejemplo, a 5 km/h; pero podría interesarnos más tomar un eje de abscisas ligado a la vía del tren, y respecto a ese sistema de referencia la velocidad del pasajero sería de 105 km/h. De hecho, los ejes ligados a la vía tampoco son fijos, ya que la propia Tierra también se mueve. Así pues, en realidad todos los movimientos son relativos. Pero en los problemas de cinemática corrientes, cuando no se especifica otra cosa, se sobreentiende que el movimiento se ha referido a un sistema O(xyz) ligado a la Tierra y, por lo tanto, en reposo con respecto a ésta.

Si describimos un movimiento respecto a dos sistemas de referencia distintos, la ecuación de la curva de la trayectoria será distinta y, si además se trata de dos sistemas de referencia que están en movimiento relativo uno respecto a otro, también la propia curva será en general distinta.

Respecto a un sistema de referencia, la posición del móvil en cada instante está fijada por su vector de posición, que es variable en función del tiempo. 

Si expresamos ese vector mediante sus componentes, éstas también serán funciones del tiempo:

Para cada valor de t tendremos la posición del móvil en ese instante y la trayectoria es la curva que describe el extremo del vector

Ejemplo

El vector desplazamiento desde el punto P 0 al punto P se puede expresar como la diferencia de dos vectores: el vector de posición de P y el vector de posición de P 0, esto es, como

Conceptos fundamentales de cinemática: aceleración 

Cuando un automóvil aumenta su velocidad decimos que está acelerando, y si ese aumento de velocidad se produce en un espacio de tiempo muy corto decimos que el automóvil ha acelerado muy deprisa. La aceleración es, pues, una variación de la velocidad por unidad de tiempo.

Puede ser positiva o negativa, produciendo un aumento o una disminución de la velocidad. En el caso de un movimiento curvilíneo, la aceleración produce una variación del módulo y de la dirección del vector velocidad. Podemos definir de forma rigurosa la aceleración diciendo que es la velocidad de la velocidad. Es decir, que la aceleración representa para el vector velocidad lo mismo que la velocidad para el vector de posición.

Partiendo de esta idea, definiremos la aceleración media de un móvil entre dos puntos de su trayectoria P0 y P (o, lo que es lo mismo, entre dos instantes t0 y t) de forma análoga a como definimos la velocidad media, es decir, como:

Ejemplo

A partir de esta definición de aceleración media, podemos definir la aceleración instantánea mediante un paso al límite similar al que aplicamos para definir la velocidad instantánea. Si el punto P está próximo al punto P 0, podemos escribir:

Cuando ∆t→0 tiende a cero, atiende hacia un vector aplicado en el punto P0. Ese vector es la aceleración instantánea en P0.

Hodógrafa

Cuando un móvil M recorre una determinada trayectoria, en cada punto de ésta tendremos un vector velocidad, que, por ejemplo, en el punto P0 será v(t0).

Ejemplo

Tomamos un punto O  y colocamos en él los vectores velocidad correspondientes a todos los puntos de la trayectoria de M. Los extremos de esos vectores dibujan una curva que es la hodógrafa del movimiento.

Ejemplo

La hodógrafa sería la trayectoria de un móvil M  cuyo vector de posición fuese v(t). El vector velocidad del móvil M  en el punto P  de la hodógrafa coincide con el vector aceleración en el punto P correspondiente de la trayectoria del móvil M, lo que justifica pensar la aceleración como la velocidad de la velocidad.

Polo de la hodógrafa

Punto fijo O’ en el que se sitúan vectores equipolentes a los vectores velocidad del movimiento de un punto material para dibujar la curva hodógrafa.

Dimensiones y unidades de la aceleración

La aceleración es una velocidad dividida por un tiempo, por lo que, como [v] = [L]·[T]-1, las dimensiones de la aceleración serán las de una longitud dividida por un tiempo al cuadrado[a] = [L]·[T]-2. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en m/s2, mientras que en el sistema CGS se mide en cm/s2.

Conceptos fundamentales de cinemática: movimiento uniforme

Sólo existe un movimiento en el que el vector velocidad es invariable en módulo, dirección y sentido: el movimiento rectilíneo uniforme (o simplemente movimiento uniforme), que es el que tiene un móvil que se mueve en línea recta con velocidad constante.

Si tenemos dos puntos, P0 y P, de la trayectoria que recorre un móvil con movimiento uniforme y tomamos esa recta como eje x, esos puntos quedarán fijados con una única coordenada: su abscisa. Los vectores

 serán:

y la velocidad media entre P0 y P será:

Como la velocidad instantánea es constante, podemos escribir:

Si empezáramos a medir los tiempos cuando el móvil se halla en el punto P0, sería t0 = 0, y por lo tanto, x = x0 + v·t. Y si además tomásemos el origen de abscisas en el punto P0, se reduciría a x = v·t.

Caída libre

Es el movimiento que posee un cuerpo que únicamente se encuentra sometido a la acción de la fuerza de la gravedad.

Fuerza de la gravedad

Resultante de la atracción gravitatoria y de la fuerza centrífuga debida a la rotación de la Tierra.

Instante inicial de un movimiento

Instante en el que empieza a contarse el tiempo en la descripción de un movimiento, es decir, instante en el cual es t = 0. Asimismo, se denomina velocidad inicial a la velocidad que tiene el móvil en ese instante y aceleración inicial a su aceleración en ese mismo instante.

Conceptos fundamentales de la cinemática: velocidad

En cinemática se definen diversos conceptos de velocidad.

Velocidad media e instantánea

La velocidad media de un móvil es la razón de su vector desplazamiento al intervalo de tiempo durante el cual se produce ese desplazamiento. Siendo el cociente de un vector por un escalar, la velocidad media es un vector cuya dirección y sentido son los mismos que los del vector desplazamiento. Si en el instante t0 el móvil está en el punto P0 y su vector de posición es r(t0), y en el instante t el móvil está en el punto P y su vector de posición es r(t), la velocidad media del móvil entre P0 y P será:

Un concepto distinto es el de celeridad o velocidad media sobre la trayectoria, que es una magnitud escalar que se define como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo.

La velocidad instantánea es una magnitud vectorial que representa la velocidad que tiene el móvil en cierto instante o, lo que es lo mismo, en un punto determinado de su trayectoria. La velocidad instantánea debe representarse por un vector porque se trata de una magnitud que, además de ser cuantificable, tiene una orientación determinada. Veamos cómo se define.

Si en un instante t0 un móvil está en el punto P0 cuyo vector de posición es r(t0), una fracción de segundo más tarde, es decir, en el instante t0 + ∆t, estará en otro punto P cuyo vector de posición será r(t0 +  ∆t). La velocidad media del móvil durante el intervalo de tiempo ∆t sería entonces:

Si consideramos cada vez fracciones de segundo más pequeñas, es decir, ∆t más pequeños, el punto P se va acercando al punto P0, y la dirección del vector desplazamiento r(t0 + ∆t) – r(t0) se va acercando a la recta tangente a la trayectoria en el punto P0.

Ejemplo

Como el vector velocidad media,, tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, también la dirección dese irá acercando a la recta tangente a la trayectoria en P0.

Además de acercarse en dirección a la tangente, el vector desplazamiento, r(t 0 +  ∆t) – r(t 0), a medida que vamos considerando ∆t más reducidos, es cada vez más corto, es decir, que su módulo es cada vez más pequeño.

En el límite, esto es, cuando ∆t sea cero y el punto P se confunda con el punto P0, el vector desplazamiento se anulará.

Con el vector no ocurre lo mismo, ya que este vector es el cociente entre el vector desplazamiento y el incremento de tiempo considerado, o sea, el cociente entre r(t0 + ∆t) – r(t0) y ∆t. Al irse acercando P a P0, es decir, al irse haciendo cada vez más pequeño ∆t, el numerador y el denominador de ese cociente se van haciendo los dos cada vez más pequeños, pero el valor del propio cociente puede aumentar o disminuir, dependiendo de si el numerador decrece de forma más rápida o más lenta que el denominador.

Tenemos por lo tanto que al ir disminuyendo ∆t, la línea de acción del vectorse va acercando a la recta tangente a la trayectoria en P 0, mientras que el módulo dese va acercando a un determinado valor. Así el vector tiende a convertirse en un vector V(t0) aplicado en P0 y situado sobre la tangente a la trayectoria en ese punto. Ese vector V(t0) es la velocidad instantánea del móvil en el punto P0 o, lo que es lo mismo, en el instante t 0.

No particularizando un valor de t, notaremos este vector como V(t) o simplemente V.

Ejemplo

El proceso que hemos seguido para definir la velocidad instantánea se denomina paso al límite. Diríamos así que la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el incremento de tiempo tiende a cero (∆t → 0).

Cuando ∆t → 0, la celeridad o velocidad media sobre la trayectoria se va aproximando al módulo del vector velocidad media (la cuerda se aproxima al arco), con lo que la velocidad instantánea también puede definirse como un vector tangente a la trayectoria en el punto considerado cuyo módulo es el límite a que tiende la celeridad cuando  ∆t→ 0

Dimensiones y unidades de la velocidad

La velocidad tiene las dimensiones de una longitud dividida por un tiempo [L]·[T]-1. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en metros por segundo (m/s), y en el CGS en centímetros por segundo (cm/s). En la práctica también se utilizan unidades basadas en múltiplos del metro y del segundo (km/h). Los marinos emplean una unidad propia: el nudo, que equivale a una milla marina por hora (1,85 km/hora).