Transformaciones en el plano

Si nos desplazamos desde donde estamos a otra posición decimos que hay una transformación en el espacio. Sucede lo mismo si trasladamos un punto o una figura en el plano. Estos movimientos en el plano conservan la forma y tamaño de la figura, algunos ejemplos son la traslación, la rotación y la simetría.

Algunos elementos de la naturaleza describen movimientos de rotación y traslación, como por ejemplo nuestro planeta Tierra.

Traslación

Es un movimiento directo sin cambios de orientación. La traslación depende de un sentido, una dirección y una magnitud, tres conceptos que se reducen un elemento geométrico: el vector. Así que podemos hallar la imagen de cualquier punto a través de un vector dado.

– Ejemplo:

Para determinar la imagen del punto A a través de una traslación por el vector \vec{u} seguimos estos pasos:

  1. Trazamos un vector equipolente a \vec{u} cuyo origen coincida con el punto A.
  2. Marcamos el punto A’, el cual es la imagen del punto A.

¿Sabías qué?
Un vector es equipolente a otro cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Traslación en el plano cartesiano

Como la traslación depende de un vector determinado, cuando desplazamos una figura en el plano cartesiano dado un vector \vec{u} debemos sumar las coordenadas de sus vértices con las del vector para saber las coordenadas de los vértices de la figura trasladada.

– Ejemplo:

Para trasladar un triángulo ABC según el vector \vec{u} = (3, 2), debemos ubicar la imagen de cada punto en el plano de la manera antes explicada.

Las coordenadas de los vértices de la figura trasladada son iguales a la suma de las coordenadas iniciales con las coordenadas del vector:

A(1, 1) + \vec{u}(3, 2)=A'(1+3,1+2)=\boldsymbol{A'(4,3)}

B(3, 1) + \vec{u}(3, 2)=B'(3+3,1+2)=\boldsymbol{B'(6,3)}

C(1, 6) + \vec{u}(3, 2)=C'(1+3,6+2)=\boldsymbol{C'(4,8)}

¿Sabías qué?
Toda figura trasladada debe conservar la orientación y ser idéntica a la figura inicial.

Rotación

Es un movimiento que consiste en girar todos los puntos de una figura en un ángulo determinado en torno a un centro de rotación.

Ángulos dirigidos

En una rotación siempre se genera un ángulo con una lado inicial y un lado final. El ángulo dirigido será positivo si el giro es en sentido contrario al de las manecillas del reloj, en cambio, el ángulo será negativo si el giro es en sentido de las manecillas del reloj.

Ángulo positivo

Ángulo negativo

El centro de rotación es un punto en torno al cual se rota o gira la figura; en los cubos de Rubik este centro de rotación permite girar las caras del cubo en cualquier dirección.

Rotación en el plano

Para hallar la imagen de un punto R en el plano bajo un ángulo de rotación es necesario conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación. Así que, si hay un punto fijo O en el plano y un ángulo dirigido α, la rotación de centro O y ángulo α de un punto R es una transformación en el plano que asigna a R un punto único R’.

– Ejemplo 1:

Cuando se rota un polígono en el plano cartesiano, debemos determinar la imagen de cada vértice y hallar las coordenadas de los vértices de la imagen del polígono original.

– Ejemplo 2:

El triángulo A’B’C es la imagen del triángulo ABC según el centro de rotación C y un ángulo dirigido de −90°.

Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(3, 0), B(0, 2) y C(0, 0).

Las coordenadas de los vértices del triángulos A’B’C son A’(0, −3, ), B’(2, 0) y C(0, 0).

Simetría axial

Las mariposas son un ejemplo de ser vivo con simetría en su cuerpo, pues cuando las alas de una mariposa se juntan, estas coinciden.

La simetría axial es una transformación en el plano en el que cada punto C se asocia a otro punto C’ llamado “imagen”. Los puntos C y C’ están a igual distancia de un recta que se llama “eje de simetría” y el segmento \overline{CC'} es perpendicular a dicho eje.

– Ejemplo:

El triángulo A’B’C’ es la imagen simétrica del triángulo ABC respecto al eje de simetría m.

Simetría axial en el plano cartesiano

Dos puntos P y P’ son simétricos respecto al eje y (eje de las ordenadas) si sus abscisas son opuestas y sus ordenadas son iguales. Así que:

P(x, y) → P'(−x, y)

Por lo tanto:

x = −x’

y = y’

Por otro lado, dos puntos P y P’ son simétricos al eje x (eje de las abscisas) si sus abscisas son iguales y sus ordenadas son opuestas. Así que:

P(x, y) → P'(x, −y)

Por lo tanto:

x = x’

y = −y’

– Ejemplo 1:

El triángulo A’B’C’ con A’(2, 1), B’(4, 1) y C’(3, 3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(−2, 1), B(−4, 1) y C(−3, 3).

 

– Ejemplo 2:

El triángulo A’B’C’ con A’(1, −1), B’(3, −1) y C’(2, −3) es la imagen simétrica del triángulo ABC con A(1, 1), B(3, 1) y C(2, 3).

 

 

Líneas

Desde tiempos remotos, el hombre ha utilizado las representaciones gráficas para comunicarse, y una de las bases de dichas representaciones son las líneas. Sus aplicaciones en la actualidad abarcan casi todos los espacios en la vida cotidiana, la escritura, el arte y las ciencias.

En su uso formal, las líneas constituyen la base de cualquier diseño mecánico o arquitectónico, ya que a partir de ellas podemos plasmar en un plano un boceto a escala de lo que puede llegar a convertirse en una pieza, maquinaria, estructura o edificación.

Las líneas se definen como una sucesión infinita de puntos que a su vez forman un trazo continuo.

Podemos representar un segmento de una línea cuando limitamos su trazado entre dos puntos, por ejemplo, una línea recta que conecta los puntos A y B.

Líneas abiertas y cerradas

Los contornos son trazos que se emplean para representar algunas figuras. Dichos contornos pueden ser abiertos o cerrados:

  • Línea abierta: esta es una línea que se emplea para representar un contorno abierto, es decir, sus dos extremos nunca se cortan.
Las líneas abiertas pueden emplearse para formar figuras geométricas parciales, es decir, contornos abiertos.
  • Línea cerrada: esta línea define un contorno cerrado, lo que implica que los dos extremos de la línea deben coincidir en algún punto.
Un círculo está formado por una línea cerrada, ya que se trata de una sucesión infinita de puntos que generan un contorno cerrado donde los extremos de la línea se interceptan en algún punto.

¿Sabías qué?
La dimensión asociada al tamaño de una línea es la longitud, por ello, sus unidades serán metros, centímetros, pulgadas, milímetros, yardas, pies y kilómetros, entre otras.

Tipos de líneas

Existen muchos tipos de líneas, y su clasificación varía según el criterio que se considere, por ejemplo: forma, posición o su relación con otras líneas.

Según su forma:

  • Línea recta: es una línea en la que todos sus puntos están orientados en la misma dirección.
En la ampliación del segmento de recta se observa el trazo formado por una sucesión de puntos que llevan una misma dirección.
  • Línea curva: es una sucesión de puntos cuya orientación camba continuamente de dirección.
En la ampliación del segmento de la curva se observa el trazo formado por una sucesión de puntos que llevan diferentes direcciones.
  • Línea quebrada: es una línea compuesta por segmentos de línea recta que se conectan con diferentes direcciones.
En la ampliación del segmento de la línea se observa un punto donde el trazo de la línea cambia abruptamente de dirección.
  • Líneas mixtas: son líneas compuestas cuyo trazado es la combinación de líneas curvas y rectas.
En la ampliación del segmento de la línea se observa la combinación de líneas rectas con líneas curvas.

Según su posición

  • Línea vertical: es una línea recta perpendicular al horizonte. Su trayectoria va de abajo hacia arriba o de arriba hacia abajo.
La altura es una característica que representa la longitud de una línea vertical.
  • Línea horizontal: es una línea que lleva la misma dirección del horizonte, es decir, que su trayectoria va de izquierda a derecha o a la inversa.
La palanca mostrada en la figura representa una línea horizontal que se mantiene en equilibrio cuando los dos pesos ubicados en sus extremos son iguales.
  • Línea inclinada: es una línea que no es ni horizontal, ni vertical, es decir, que forma un ángulo diferente a 0º o 90º con el horizonte. También se la conoce como línea oblicua.
La palanca mostrada en la figura representa una línea inclinada.

Según la relación entre ellas:

  • Líneas paralelas: dos o más líneas son paralelas cuando la distancia a la que se encuentran separadas es siempre la misma, es decir, que estas líneas nunca se interceptan. Pueden ser curvas o rectas.
Las barras metálicas por donde se deslizan las esferas del ábaco son líneas paralelas entre sí.
  • Líneas secantes: son líneas rectas que se interceptan en algún punto para formar cuatro ángulos diferentes de 90º.
Las rectas secantes se forman al cruzar dos líneas de manera no perpendicular.

Líneas perpendiculares: son dos líneas rectas que se cortan en algún punto para formar cuatro ángulos rectos.

Las líneas que definen el rayado de la cancha de fútbol forman en varios puntos ángulos rectos y generan líneas perpendiculares.

Líneas de trazos

En dibujo técnico y otras disciplinas suelen utilizar líneas discontinuas o segmentadas para proporcionar información implícita mediante ese trazo. Algunas de esas líneas son:

  • Línea de trazos cortos: esta línea se emplea para denotar algunas aristas, trayectorias o trazos ocultos.
  • Línea punteada: es una línea auxiliar que suele utilizarse para indicar por dónde se debe repasar.
  • Línea de trazos y puntos: son líneas empleadas para denotar ejes de simetría y líneas centrales. Siempre deben comenzar y finalizar en trazos.

CAPÍTULO 14 / EJERCICIOS

LA TIERRA Y EL UNIVERSO | eJERCICIOS

LA ATMÓSFERA Y SU RELACIÓN CON LOS OTROS SUBSISTEMAS

1. Establece algunas diferencias entre tormentas, huracanes y tornados.

Tormentas Huracanes Tornados
 

 

 

 

 

 

 

 

2. Completa el siguiente cuadro:

¿Qué contamina la atmósfera? ¿Qué daños provoca la contaminación atmosférica? Medidas para evitar la contaminación atmosférica
 

 

 

 

 

 

 

 

 

características y estructura general de la atmósfera

1. Investiga la composición y la temperatura de cada capa de la atmósfera.

Troposfera

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____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

Estratosfera

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

Mesosfera

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

Termosfera

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

Exosfera

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

2. ¿En cuál de las capas podemos encontrar los siguientes objetos o fenómenos naturales?

Sputnik 1
Nube explosiva generada por bomba atómica
Estrella fugaz
Nave en órbita terrestre

clima

1. Realiza un esquema que explique la formación de las nubes.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Responde brevemente las siguientes preguntas:

 

  • ¿Cuál es la diferencia entre tiempo y clima?

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

  • ¿Cuáles son los factores que modifican el clima?

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

  • ¿Cuáles son los tipos de nubes que existen?

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

  • ¿Cuáles son los tipos de vientos?

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

  • ¿Qué son las precipitaciones?

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

  • ¿Cómo se originan las inundaciones?

______________________________________________________________________________________________________

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LÍNEAS imaginarias del planeta tierra

1. Completa las siguientes oraciones:

  • Un mapa es _________________________ de la realidad a una escala de reducción.
  • Los mapas presentan un sistema imaginario de coordenadas constituido por los _________________ y los ___________________.
  • Los meridianos son las líneas imaginarias _________________ que se trazan sobre un mapa.
  • Los paralelos son las líneas imaginarias ___________________ que se trazan sobre un mapa.
  • Todos los paralelos son indispensables para determinar __________________ y __________________.

2. Observa la siguiente imagen e indica para qué sirven los símbolos de colores que allí aparecen.

 

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

 

3. Señala en el siguiente mapa los paralelos y los meridianos e investiga la latitud y la longitud de tu país.

 

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medios de exploración del espacio

1. Establece diferencias entre satélites naturales y satélites artificiales, luego realiza un listado de 5 satélites artificiales que se hayan enviado al espacio.

Satélites naturales Satélites artificiales
 

 

 

 

 

 

Listado:

  1. _________________________
  2. _________________________
  3. _________________________
  4. _________________________
  5. _________________________

2. Investiga todo lo relacionado al Apolo 11 y cómo fue la llegada del hombre a la Luna.

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______________________________________________________________________________________________________

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______________________________________________________________________________________________________

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el universo y la cultura

1. En las siguientes oraciones indica con una V si es verdadera y con una F si es falsa. Justifica las falsas.

  • De acuerdo con los aztecas, el mundo y el hombre han sido creados varias veces.  (   )

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______________________________________________________________________________________________________

  • Según los aztecas, el primer Sol se llamó Ra.  (   )

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  • Según los egipcios, el viento se llamaba Shu y la humedad Tefnut.  (   )

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______________________________________________________________________________________________________

  • Haumea es un planeta formado por hielo, cianuros y otros compuestos desconocidos.  (   )

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  • Ceres es de color rojizo y más pequeño que Plutón.  (   )

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2. Según la mitología griega cada planeta y cada estrella representaba a un Dios. Relaciona cada columna con el elemento que corresponda.

Planeta/estrella Dios/diosa
Luna Apolo
Marte Zeus
Saturno Artemisa
Sol Ouranos
Urano Ares
Júpiter Poseidón
Venus Chronos
Neptuno Afrodita

 

CAPÍTULO 14 / REVISIÓN

LA TIERRA Y EL UNIVERSO | ¿QUÉ APRENDIMOS?

La atmósfera y su relación con otros subsistemas

Llamamos atmósfera a una mezcla de varios gases que rodea un objeto celeste, que posee un campo gravitatorio suficiente para impedir que escapen, como por ejemplo, nuestro planeta Tierra. Cabe destacar que la atmósfera, no solamente representa una protección contra las radiaciones procedentes del Sol y de otros cuerpos celestes, sino que es la base de la vida terrestre. En ella se dan muchos fenómenos, eventos naturales que ocurren en la troposfera como resultado de cambios en los patrones climáticos, algunos de ellos son los huracanes, tornados y torbellinos. Por otro lado, la atmósfera se ha visto sumamente afectada como consecuencia de la contaminación, existe una fuerte presencia en la atmósfera de sustancias que implican molestias o riesgo para la salud. Aunque puede ocurrir por causas naturales, como las erupciones volcánicas, la mayor parte de la contaminación actual (la más constante y dañina) se debe a las actividades del ser humano.

Los principales mecanismos de contaminación atmosférica son los procesos industriales que implican combustión.

Características y estructura general de la atmósfera

La atmósfera está compuesta por una serie de gases, dentro de los cuales el nitrógeno y el oxígeno son los más abundantes. Por un lado, el nitrógeno constituye el 78 % del volumen del aire, es un gas inerte que no suele reaccionar con otras sustancias. Por otro lado, el oxígeno representa el 21 % del volumen del aire, es un gas muy reactivo y la mayoría de los seres vivos lo necesita para respirar. La atmósfera está dividida en capas, la primera de ellas es tropósfera, que se extiende hasta los 12 km de altura, en ella ocurren fenómenos meteorológicos como las lluvias, las nevadas y el granizo. A continuación se encuentra la estratósfera, que llega a los 50 km de altura, en esta capa se desintegran y queman los meteoritos. La mesósfera, que se extiende hasta los 80 km de altura, presenta poco oxígeno. La ionósfera, que llega a los 500 km de altura, es la capa de la atmósfera por la que viajan las señales de radio y televisión. La última capa es la exósfera, que se extiende hasta los 750 km de altura y su límite exterior es difuso.

La temperatura varía en cada una de las capas de la atmósfera.

CLIMA

El clima es la combinación de todos los fenómenos meteorológicos que determinan las condiciones atmosféricas que caracterizan a un determinado lugar en el planeta. Existen varios factores que modifican el clima, estos son: la latitud, que al contar con una mayor extensión en el Ecuador garantiza que el calentamiento en esa franja sea mayor que en las zonas de los trópicos hacia los polos; la altitud, ya que conforme aumenta o disminuye la altura en el relieve se pueden determinar los pisos térmicos; el relieve, que influye en el tipo de clima de cualquier zona; la ubicación geográfica, ya que en las regiones próximas al mar las temperaturas extremas suelen moderarse gracias a la incidencia de las brisas marinas y la humedad; y las corrientes oceánicas, porque si la corriente es fría da lugar a climas secos y enfría las temperaturas de los lugares ubicados sobre las costas, mientras que si la corriente es cálida el clima será más cálido y lluvioso.

La temperatura atmosférica es uno de los elementos constituyentes del clima y hace referencia al calor específico que tiene el aire.

LINEAS IMAGINARIAS DEL PLANETA TIERRA

Con el avance de la cartografía, los mapas se convirtieron en ayudantes indispensables para ubicarse en el planeta Tierra. Un mapa es la representación gráfica de la realidad a una escala de reducción. Los mapas también poseen líneas de relieve que nos indican altitud del terreno en metros sobre el nivel del mar. Por otra parte, las líneas de relieve nos permiten representar la forma de la superficie terrestre y reconocerla a simple vista a través de un mapa. En los mapas, los meridianos son las líneas imaginarias verticales que se trazan sobre un mapa, se unen en los polos y son todos del mismo tamaño, sirven para determinar la longitud. Por otro lado, los paralelos son las líneas imaginarias horizontales que se trazan sobre un mapa. Son indispensables para determinar la latitud. Todos los paralelos son indispensables para determinar la latitud, mientras que la longitud es la distancia medida en grados geográficos existente entre un punto cualquiera de la Tierra hasta el meridiano central de Greenwich.

El paralelo más extenso es la línea del ecuador.

Medios de exploración del espacio

El universo ha sido desde siempre un misterio para la humanidad que, cautivada por la infinidad de astros y la profundidad del oscuro espacio, no ha dejado de investigar. Con el uso de la tecnología, una de las primeras formas de investigación fue el uso de satélites artificiales, objetos fabricados por el hombre, que orbitan alrededor del planeta Tierra. Su objetivo es captar y transmitir información, especialmente de nuestro planeta, pero también de otros astros. De esta manera, permiten pronosticar o dar información de sucesos. Otra forma de investigación es la exploración espacial, investigación por medio de naves espaciales tripuladas o sin tripulación. Las agencias espaciales son las entidades que se ocupan de la exploración o la investigación del espacio. La más conocida es la NASA (Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio), pertenece a Estados Unidos. Otra agencia espacial importante es la de Europa, se llama ESA (Agencia espacial europea) con su sede principal en ParísFrancia.

Luego de ser construidos, son lanzados al espacio y puestos en órbita.

El universo y la cultura

Cada pueblo y cultura tiene su propia visión del universo, por ejemplo, de acuerdo con los aztecas, el mundo y el hombre han sido creados varias veces, sin embargo, en cada una de estas ocasiones ha ocurrido un cataclismo que ha puesto fin a la vida. De acuerdo con la cultura del antiguo Egipto, en el principio de los tiempos sólo existían inmensas masas de agua que contenían los elementos del cosmos, era el océano primordial Nun. Luego nació el Dios del Sol, Ra. De acuerdo con la cultura china, un gigante que habitaba en el caos y la oscuridad despertó de aburrido, y al ver que a su alrededor sólo había oscuridad, tomó el universo, lo sacudió y provocó una explosión que creó estrellas y planetas.

Los más devotos de la astrología tienen la creencia de que las estrellas pueden predecir eventos terrenales.