CAPÍTULO 14 / TEMA 4

Líneas imaginarias del planeta Tierra

Desde la Antigüedad, el hombre ha tenido la necesidad de determinar con precisión su ubicación geográfica en el planeta. Para cumplir con este propósito se elaboraron y elaboran los mapas, los cuales presentan líneas imaginarias que establecen coordenadas precisas para localizar cualquier punto sobre la superficie terrestre.

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¿CÓMO UBICARSE EN EL PLANETA TIERRA?

Con el avance de la cartografía, los mapas se convirtieron en el ayudante ideal e indispensable para ubicarse en el planeta Tierra. Un mapa es la representación gráfica de la realidad a una escala de reducción.

Hoy en día, los mapas digitales y el GPS son muy utilizados en todo el mundo.

Entonces, si los mapas son una representación de la realidad y nos ayudan a ubicar nuestra posición exacta en el planeta, ¿cómo podemos utilizar un mapa?

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Instrumentos necesarios para trabajar con mapas

• Transportador

• Regla y escuadras

• Compás

• Lápices

La escala en un mapa se aplica en relación a dos puntos, por ejemplo, la escala 1:1.500 indica que un centímetro de distancia en un mapa equivale a 1.500 kilómetros en la realidad geográfica. De esta manera, se puede medir una distancia en un mapa y calcular la distancia real que hay entre dos lugares distintos.

GPS

Es un  sistema de posicionamiento global. Utiliza la tecnología de triangulación satelital para determinar ubicaciones con la mayor exactitud posible de objetos, lugares o personas en la Tierra.

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Los mapas también poseen líneas de relieve que nos indican altitud del terreno en metros sobre el nivel del mar. Por otra parte, las líneas de relieve nos permiten representar la forma de la superficie terrestre y reconocerla a simple vista a través de un mapa.

La ubicación geográfica es determinante para el clima, la flora y la fauna de una región.

Representar los relieves en un mapa es muy útil porque nos permite identificar las diferentes regiones en que se puede dividir el terreno de un país o una región, lo que establece también una flora, una fauna y un clima específicos.

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Algunos mapas, en especial los de las ciudades, incluyen símbolos para señalar lugares importantes, como hospitales, hoteles, colegios, restaurantes y farmacias, entre otros establecimientos.

Símbolos colocados en un mapa digital para ubicar lugares de interés.

Los mapas presentan un sistema imaginario de coordenadas constituido por los paralelos y los meridianos que sirven como referencia para localizar diferentes lugares del planeta. Para establecer una posición sobre la Tierra necesitamos los valores de latitud y longitud.

LOS MERIDIANOS

Los meridianos son las líneas imaginarias verticales que se trazan sobre un mapa. Se unen en los polos y son todos del mismo tamaño. Sirven para determinar la longitud. El meridiano central, al que se le asigna de longitud, se llama meridiano de Greenwich. La longitud de los demás meridianos se determina al medir la distancia que hay desde cualquier punto de la Tierra al meridiano de Greenwich.

Meridiano de Greenwich

Se llama así por pasar por el Real Observatorio de Greenwich, ubicado en Londres, Inglaterra.

El meridiano central de Greenwich también divide la Tierra en dos hemisferios: el este o hemisferio oriental y el oeste o hemisferio occidental. Los meridianos son indispensables para determinar el huso horario de cada país.

Los meridianos son infinitos y tienen diversas características en común, como por ejemplo: poseer el mismo diámetro (eje terrestre), ser perpendiculares al Ecuador (línea imaginaria que divide la tierra en dos secciones, norte y sur) y converger en el centro de los polos.

LOS PARALELOS

Los paralelos son las líneas imaginarias horizontales que se trazan sobre un mapa. Son indispensables para determinar la latitud. El paralelo más extenso es la línea del Ecuador, a la cual se le asigna un valor de 0 grados de latitud (0°). La latitud de los demás paralelos se determina al medir la distancia que hay desde cualquier punto de la Tierra al Ecuador.

La línea central del Ecuador separa a la Tierra en dos: el hemisferio norte y el hemisferio sur. En el hemisferio norte se encuentra el trópico de Cáncer, que es el paralelo más al norte donde el Sol alcanza su mayor altura en el cielo visto desde la Tierra. En el hemisferio sur se encuentra el trópico de Capricornio, que es el paralelo más al sur donde el Sol alcanza su mayor altura en el cielo visto desde la Tierra.

Solsticios

Los solsticios representan los momentos que se producen cada año, cuando el Sol es observado desde la Tierra a su mayor y menor altura. De esta manera, los solsticios determinan el día más largo del año, que corresponde con el inicio del verano, y el día más corto del año, que corresponde con el inicio del invierno. Por lo tanto, hay dos tipos de solsticios: el de verano y el de invierno.

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LATITUD Y LONGITUD

Todos los paralelos son indispensables para determinar la latitud: distancia medida en grados geográficos existente entre un punto cualquiera de la Tierra hasta el Ecuador. El Ecuador establece la orientación norte o sur del punto, consecuentemente la latitud norte y la latitud sur.

Por su parte, la longitud es la distancia medida en grados geográficos existente entre un punto cualquiera de la Tierra hasta el meridiano central de Greenwich. Los valores que toman los meridianos van desde 0 a 180º, tanto en dirección este como en dirección oeste. En este sentido, se establecen longitud este y longitud oeste.

LOS HUSOS HORARIOS

La necesidad de conocer con certeza la hora existe desde la Antigua Grecia. Su utilización se difundió recién en el siglo XX. La deducción establece lo siguiente: los husos horarios son el resultado de la división de los 360° de la circunferencia de la Tierra por las 24 horas del día. Así, se obtienen 24 sectores de 15° cada uno. Estos sectores, delimitados por meridianos, tienen forma de hilares textiles. En los polos, donde convergen todos los meridianos, el huso horario pierde el sentido, pero todos los puntos ubicados sobre un mismo huso tienen la misma hora sin importar si están al sur o al norte del Ecuador.

¿Sabías qué?
El cambio de horario permite adaptar las actividades humanas al ciclo de luz solar, de forma que se dependa en menor medida de la electricidad.

La Tierra se encuentra en movimiento, por ende se desplaza en conjunto con los planetas y el sistema solar. Son de suma importancia los movimientos que la Tierra desarrolla alrededor del Sol, los cuales determinan el año y el cambio de estaciones. También es importante el movimiento sobre su propio eje, ya que tiene implicaciones esenciales para los cambios del día a la noche. Esto tiene como resultado el regimiento de nuestros horarios y ritmo de vida.

Los diferentes horarios en el mundo.
MATERIAL PARA EL DOCENTE
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Artículo destacado sobre “Mapas”

Información acerca de las diferentes herramientas en las que se apoya la cartografía.

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Infografía sobre “Las estaciones del año”

Recurso elaborado con imágenes e información textual sobre las diferentes estaciones que se presentan en el planeta Tierra.

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Infografía sobre “Husos horarios”

Recurso elaborado con imágenes y texto que brinda mayor información acerca de los husos horarios.

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CAPÍTULO 4 / TEMA 6

Fenómenos ondulatorios

Las ondas pueden comportarse de distintas maneras según el medio en el que se encuentren. Así, la manera de propagarse varía según los obstáculos, los choques o los cuerpos a atravesar. Esto produce varios fenómenos que veremos a continuación.

¿QUÉ ES UNA ONDA?

Es una oscilación o perturbación que se caracteriza por propagarse en el espacio y por transportar energía, no materia.

Por ejemplo, al tomar una soga de un extremo y sacudirla se puede observar que se genera un movimiento ondulatorio, pero la soga no ha sido modificada. En consecuencia, al imaginar que la soga está compuesta por infinitos puntos uno al lado del otro, se puede decir que cada uno de ellos es desplazado verticalmente por el movimiento. En otras palabras, la soga vibra.

A diario, las ondas se pueden observar en el mar, al tirar una piedra en un cuerpo tranquilo de agua, al tocar las cuerdas de una guitarra o al hablar.

¿Cuáles son las características de una onda?

Elongación (y): es la distancia que existe en cualquier instante entre la posición de equilibrio y la posición de la partícula. En el SI se mide en metros (m).

Amplitud (A): es la elongación máxima que puede alcanzar una partícula con respecto a la línea de equilibrio. En el SI se mide en metros (m).

Cresta y Valle: la cresta es el punto más alejado de la línea de equilibrio del medio donde se propaga la onda, y el valle es el punto más alejado de la línea de equilibrio donde se propaga la onda, pero opuesta a la ubicación de la cresta.

Longitud de onda (λ): es la distancia existente entre dos puntos de la onda que se encuentra en un instante dado en el mismo estado de vibración, es decir, es la distancia que la onda recorre en un ciclo, puede ser entre dos valles sucesivos o dos crestas sucesivas y se mide en metros (m).

Periodo (T): es el tiempo que tarda una oscilación que se propaga en recorrer un espacio igual a la longitud de onda. Se mide en segundos (s).

Velocidad de propagación (v): es la velocidad con la que puede propagarse una onda. Se mide en m/s.

Frecuencia (f): es el número de oscilaciones o vibraciones completas que se realizan en un segundo. Es la inversa de periodo. Se mide en hercios (Hz).

¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO ONDULATORIO?

Para comprender mejor la definición de onda hay que saber que la materia que nos rodea, como el agua, el aire o una mesa, está formada por partículas. Éstas están más apretadas en los sólidos y más dispersas en los líquidos o gases. Sin embargo, en todos los casos la vibración de una partícula puede transmitirse a una partícula contigua.

Partículas en una cuerda.

Por lo tanto, cuando se propaga una onda, las partículas vibran alrededor de sus posiciones pero no se mueven con la onda. Por ejemplo: cuando se tira una piedra en el agua, las partículas de agua no avanzan lateralmente sino que suben y bajan al mismo tiempo que transmiten energía a las partículas vecinas. De este modo se forman pequeñas olas: son ondas que viajan a través del agua y transmiten la energía de un sitio a otro.

Radio AM

La radio AM es un medio de comunicación que transmite con amplitud modulada (AM): una manera de transmitir información por medio de una onda transversal. Se usa también en radios de aviones y torres de control.

¿CUÁLES SON LOS TIPOS DE ONDAS?

Ondas según la dirección de propagación

Longitudinales: la alteración o perturbación es paralela al desplazamiento de la onda.

Transversales: la alteración o perturbación es perpendicular al desplazamiento de la onda.

Ondas según la dimensión de propagación

Unidimensionales: se propagan en una sola dirección.

Por ejemplo: la propagación de movimiento en una cuerda.

Bidimensionales: se propagan sobre una superficie en dos dimensiones.

Por ejemplo: las olas en la superficie de un líquido.

Tridimensionales: Se propagan por el espacio en tres dimensiones.

Por ejemplo: el sonido.

Según el medio que necesitan para propagarse

Mecánicas: necesitan un medio material para propagarse. Por ejemplo: las ondas sonoras y las generadas en la superficie del agua.

Electromagnéticas: pueden propagarse en medios materiales y en el vacío. Por ejemplo: la luz, los rayos x y el láser.

¿CUÁLES SON LOS FENÓMENOS ONDULATORIOS?

Fenómenos ondulatorios
Reflexión Refracción Difracción Interferencia
Es el cambio de dirección en la onda cuando choca con una superficie lisa. No cambia el medio de propagación. Es el cambio de dirección y velocidad de la onda cuando pasa de un medio de propagación a otro. Es la desviación de la onda cuando llega a una abertura de tamaño comparable con su longitud. Es la adición o superposición de dos o más ondas.
Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo
Espejo. Lápiz sumergido en agua. Rompeolas. Varios objetos lanzados al agua.

 

Ejemplo de refracción: lápiz dentro de un vaso de agua.

ONDA SONORA

Las ondas sonoras son ondas longitudinales.

Son las responsables de producir un efecto que al llegar al oído identificamos como sonido. Estas ondas corresponden al grupo de las ondas mecánicas, porque requieren de un medio para propagarse.

¿Qué es el sonido?

 

El sonido es una onda, es decir, una perturbación que “viaja” en el espacio y propaga energía. Las ondas sonoras tienen la capacidad de transmitirse a través de la materia, es por eso que cuando una persona habla, el sonido se mueve por el aire o a través de alguna pared.

 

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Cualidades del sonido

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Intensidad

Es la energía que se transmite por la onda al atravesar una superficie por unidad de tiempo. Se mide en J/m2s o W/m2.

Sonoridad

La sonoridad es una cualidad que permite diferenciar entre los sonidos fuertes y débiles. Su unidad es el belio (B) y se mide en decibelios (dB).

Tono

Es la frecuencia de vibración que tienen las ondas sonoras. Éstas permiten determinar si un sonido es grave o agudo. Se mide en hercio (Hz).

Sonidos

Sonidos graves: 20 a 256 Hz.

Sonidos medios de 256 a 2.000 Hz.

Sonidos agudos de 2.000 a 16.000 Hz.

Timbre

Es propio de cada fuente sonora. Cada material o voz humana vibra de una forma diferente y provoca ondas sonoras complejas que identifican el sonido.

Reflexión

Se produce cada vez que las ondas se encuentran con un cuerpo que no puede traspasar, y por lo tanto rebotan y se expanden o reflejan.

Fenómenos sonoros de la reflexión
Resonancia Reverberación Eco
Es el aumento de la amplitud y expansión de un sonido debido a los estímulos recibidos por parte de una fuente de ondas externas. Es el alargamiento de un sonido causado por repetidos procesos de reflexión. Se produce comúnmente en lugares cerrados y vacíos. Es producido por el choque directo de un sonido contra algún cuerpo. Este reflejo tarda más de una décima de segundo en ser escuchado.

Refracción

Cuando las ondas sonoras se desplazan y cambian de posición, la distancia y el movimiento producen una variación en el sonido.

¿Sabías qué?
Las ondas sonoras también se consideran ondas de compresión u ondas de compresibilidad porque producen compresión (zonas de alta presión y densidad) y rarefacción (zonas de baja presión y densidad) cuando viajan a través de un medio.

Propagación del sonido

El sonido se propaga de manera tridimensional, por lo que puede llegar a cualquier sitio del espacio. De este modo, la velocidad de su propagación depende del medio: si las partículas están muy próximas y de las fuerzas de cohesión.

Dirección de una onda de sonido

El sonido puede considerarse como una serie de ondas de compresión y de rarefacción propagadas por el aire.

En consecuencia, la velocidad de propagación de una onda sonora es mayor en los sólidos que en los líquidos, y en los líquidos es mayor que en los gases.

¿Sabías qué?
La velocidad del sonido a condiciones normales de presión y temperatura es de 5.600 m/s en el acero, 1.460 m/s en el agua y 340 m/s en el aire.

Efecto Doppler

Este efecto se percibe cuando se acerca al observador una onda sonora, su longitud de onda se acorta y el sonido se percibe a un mayor volumen. Es por este motivo que la altura de una fuente que se aleja, se reduce. Este efecto se puede percibir siempre que la fuente de ondas se mueva con respecto al observador o viceversa. Como resultado se podrá observar una aparente variación de la altura del sonido.

Efecto Doppler en la calle

Al escuchar a lo lejos la sirena de una ambulancia, la intensidad del sonido de su sirena aumenta a medida que el vehículo se acerca a nosotros a toda velocidad, pero justo después de que nos pasa por un lado y se aleja de nosotros su intensidad disminuye y la frecuencia de pulsos de sonidos se hace más larga, este fenómeno se conoce como efecto Doppler.

 

LUZ

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En 1817, un físico inglés llamado Thomas Young afirmó que la luz tiene las propiedades de una onda. En su experimento calculó la longitud de onda de la luz a partir de un patrón de interferencia y descubrió no sólo que la longitud de onda es una millonésima de metro (1 μm) o menos, sino también que la luz es una onda transversal. Este fenómeno no se puede explicar a menos que la luz se considere una onda.

Las ondas electromagnéticas son ondas transversales.

Más tarde, en 1864, el físico escocés James Clerk Maxwell estableció que la luz es una forma de energía electromagnética que viaja en ondas. La razón de cómo lo hace en ausencia de un medio se explica por la naturaleza de las vibraciones electromagnéticas.

La luz se comporta como una onda, sufre reflexión, refracción y difracción.

Reflexión Refracción  Difracción
El reflejo de las ondas de luz en una superficie da como resultado la formación de una imagen. Cuando la luz pasa de un medio a otro se observa una desviación debido a las velocidades de propagación que difieren entre sí. Si la luz encuentra un obstáculo en su camino, éste la bloquea y tiende a causar la formación de una sombra en la parte de atrás del mismo.

Espectro electromagnético

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La luz está compuesta por ondas electromagnéticas que pueden poseer diversas frecuencias, que se clasifican y conforman el denominado espectro electromagnético.

La luz visible es una pequeña parte del espectro electromagnético que comprende longitudes de onda entre 380 nm y 740 nm. Un elemento de las ondas electromagnéticas es su longitud de onda, la cual determina el color; por ejemplo: el violeta posee una longitud de onda más corta y el rojo una más larga.

Espectro electromagnético.

Propagación de la luz

La luz puede propagarse en el vacío así como en otros medios, por lo tanto, su velocidad dependerá de dicho medio. Asimismo, la luz se propaga tridimensionalmente en el espacio.

¿Sabías qué?
La velocidad de propagación de la luz en el vació o en el aire es de 3 · 108 m/s.

Si el medio es homogéneo, la luz se propagará linealmente y se podrán distinguir:

  • Las áreas de sombra que no reciben luz.
  • Las áreas de penumbra que reciben parte de la luz.
  • Las áreas iluminadas que reciben todos los rayos de luz.
La sombra es una zona donde la luz es obstaculizada.
RECURSOS PARA DOCENTES

Video “Efecto Doppler”

Recurso audiovisual que explica cómo se produce este efecto relacionado con la variación de frecuencia en las ondas.

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Artículo destacado “Acústica y sonido: cualidades del sonido”

Este artículo diferencia acústica y sonido, y describe las cualidades de este último: intensidad, altura o tono y timbre.

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Artículo destacado “El sonido: Fenómeno vibratorio”

Recurso que ahonda en detalle en las particularidades del fenómeno vibratorio, el sonido y su transmisión.

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Artículo destacado “Ondas electromagnéticas”

Artículo que describe las características y tipos de ondas electromagnéticas.

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ADN y ARN

El ADN y el ARN son polímeros lineales largos, llamados ácidos nucleicos. Son las moléculas responsables del almacenamiento y la lectura de la información genética de los seres vivos, que puede transmitirse de una generación a la siguiente. Estas macromoléculas consisten en una gran cantidad de nucleótidos unidos, cada uno compuesto de un azúcar, un fosfato y una base.

ADN ARN
Nombre Ácido desoxirribonucleico. Ácido ribonucleico.
Función Almacenar y transferir la información genética. Codificar directamente los aminoácidos y actuar como mensajero entre el ADN y los ribosomas para producir proteínas.
Estructura Doble hélice, molécula bicatenaria que consiste en una larga cadena de nucleótidos. Hélice de cadena sencilla que consiste en cadenas más cortas de nucleótidos.
Bases nitrogenadas Adenina, timina, citosina y guanina Adenina, uracilo, citosina y guanina
Emparejamiento de las bases AT-GC AU-GC
Tipo de azúcar Desoxirribosa Ribosa
Ubicación Núcleo y una pequeña parte en las mitocondrias. Nucléolo y luego se mueve a regiones especializadas del citoplasma.
Propagación Se autorreplica. Se sintetiza a partir del ADN.
Sensibilidad ultravioleta Vulnerable al daño UV. Más resistente al daño UV.
Estabilidad Estable en condiciones alcalinas. No es estable en condiciones alcalinas y es suceptible al ataque enzimático.
Diferencia

 

Sistemas de medición

Los números fueron creados para contar, para responder al cuánto; esto nos condujo al concepto de medición que se ha transformado en una de las razones de ser de las matemáticas y de todas sus ramas. Superficie, volumen, peso, temperatura, intensidad, velocidad, costos… hoy podemos medir todo.

¿Sabías que este tema es tan importante y elemental en la vida diaria que existe un Sistema Internacional de Medidas (SI)? Se usa en casi todos los países, es el heredero del antiguo Sistema Métrico Decimal. El SI consta de 7 unidades básicas, a partir de las cuales se determinan las demás.

Magnitud física básica Unidad básica Símbolo de la unidad
Longitud
Tiempo
Masa
Intensidad de corriente eléctrica
Temperatura
Cantidad de sustancia
Intensidad luminosa
Metro

Segundo

Kilogramo

Amperio

Kelvin

Mol

Candela

m

s

Kg

A

K

mol

cd

A partir de estas unidades se han establecido múltiplos y submúltiplos. Por ejemplo, “kilo” indica mil; entonces, 1 kilómetro (Km) son 1000 metros (m).

Probablemente consideres que esto no se condice con la realidad porque conoces otras medidas como pie, legua, pulgada, galón, onza, libra, etc. Esto es así porque las costumbres y las necesidades de cada pueblo son diferentes y aún no todos los lugares han adoptado el Sistema de Medición Internacional. Aunque parezca mentira, las medidas forman parte de la cultura de los pueblos y hoy en día existen máquinas que utilizan el sistema de medición inglés con pulgadas, pies y millas.

Para solucionar problemas que surgen por utilizar sistemas de medición tan diferentes, es aconsejable conocer las equivalencias de las unidades. Por ejemplo, si deseamos pesar en onzas, debemos saber que 35.27 onzas representan 1 Kg. Para realizar estas conversiones existen fórmulas, tablas de conversión y programas.

LAS MEDIDAS EN EL TIEMPO

El hombre fue evolucionando y desarrollando nuevas tecnologías movido por el concepto de “progreso”. Establecer sistemas de medidas también resultó un gran progreso para la humanidad: se sentaron las bases de la construcción, la comercialización, etc. Los primeros sistemas eran antropométricos… Sí antropométricos, esto quiere decir que utilizaban partes del cuerpo para medir. Por ejemplo, el pie para determinar la distancia entre dos puntos relativamente lejanos, el paso para las distancias cortas, el alcance de la voz para distancias largas, los codos para medir telas, etc.

Antigua balanza. Se equiparaba el peso con las pesas de bronce que ya tenían un peso establecido.

Conocer el “cuánto” siempre resultó de suma importancia, así nacieron las monedas que son unidades que nos permiten definir el valor de algo. Además, con el tiempo, se crearon y optimizaron diversos sistemas de medición para diferentes fines. Veamos un ejemplo: los cañones.

Los primeros prácticamente carecían de un sistema de medición; para darle al blanco había que hacer varios intentos hasta que al fin se alcanzaba el objetivo. Todo esto cambió cuando Galileo, a través de las matemáticas, calculó el tiro parabólico definiendo la trayectoria del proyectil. Indudablemente este hallazgo fue fundamental para afinar la puntería. Hoy en día, existen sistemas de medición mucho más complejos, por ejemplo un avión puede dar justo en el blanco mientras se encuentra en movimiento con tan sólo poner la mira en el objetivo, pues del resto se ocupa una computadora.

Es increíble lo que han progresado los sistemas de medición: ahora se puede estimar el ancho de la vía láctea y determinar la dimensión de un microorganismos. El tamaño ya no es un impedimento, el hombre ya puede cuantificar todo.

ALGUNOS INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN

Existen muchos instrumentos que sirven para medir. Nombremos los más conocidos y los que son esenciales en la vida cotidiana:

El metro, elemental para los que desean construir o remodelar una estructura.

La balanza, herramienta de uso diario para controlar el peso.

El termómetro, para saber cuánta fiebre tenemos. De acuerdo al dato, el médico nos indicará cómo bajarla.

Balanza de cocina, para que nuestras comidas tenga la medida justa de cada uno de los ingredientes.

El reloj, importantísimo para calcular el tiempo que nos falta para ir a la escuela, los minutos que nos quedan para entregar una evaluación, etc.

Velocímetro del auto, se recurre a consultarlo cuando no nos podemos exceder de cierta velocidad.

¡ACTIVIDADES!

Te proponemos que reflexiones sobre el siguiente problemas para comprender la importancia de los sistemas de medición.

Un viejo campesino de un pueblo de Estados Unidos decidió radicarse en Argentina donde viven sus hijos. En su nuevo hogar aprendió a hacer dulces de diferentes frutas y decidió comercializarlos. Colocó un cartel que decía: “Gran oferta de dulces, 4.20 libras por U$S 10”. Si bien sus dulces eran deliciosos no le vendía a nadie porque en Argentina no se habla de libras sino de kilos y la moneda nacional es el peso argentino y no el dólar. Sabiendo que 1 kilo equivale a 2.20 libras y que 1 dólar equivale a 5 pesos argentinos, ¿cómo reformularías el cartel?

SOLUCIÓN

El cartel debería decir: “Gran oferta de dulces, 2 kilos por $50”

Circunferencia

Es una línea curva, cerrada y plana en la que todos sus puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro.

Circunferencia no es sinónimo de círculo, veamos por qué: la circunferencia es el borde y el círculo es el interior. Además, un círculo es una figura plana (bidimensional).

Elementos de la circunferencia:

• Centro: Punto central. Está a la misma distancia del resto de los puntos de la circunferencia.
• Radio: Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
• Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Mide el doble que el radio.
• Cuerda: Une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
• Arco: Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
• Semicircunferencia: Es la mitad de una circunferencia.

Sectores comunes

El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:
Un cuarto de círculo se llama cuadrante.
Medio círculo se llama semicírculo.

Longitud de la circunferencia

En ciertas circunstancias sería útil saber cuánto mide la circunferencia. Pareciera complejo realizar esta medición porque no estamos trabajando con líneas rectas. Sin embargo, esta tarea es más fácil de lo que parece; pues, por suerte, se ha inventado una fórmula muy útil y fácil de utilizar.

La longitud de una circunferencia es igual a π (pi) por
el diámetro.

¿Qué es pi?

Es un número representado por la letra griega π. Se trata de un valor con un infinito número de decimales, cuya secuencia comienza de la siguiente manera:

3,1415926535897932384626433832795028841… Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, ya que tiene infinitas cifras decimales.

Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonard Euler en su obra “Introducción al cálculo infinitesimal” de 1748.

Fórmulas para calcular la circunferencia

Circunferencia = π × Diámetro
Circunferencia = 2 × π × Radio
Circunferencia/Diámetro = π

Elementos de un círculo

Son los mismos que la circunferencia (excepto la semicircunferencia) y tres más:

Semicírculo: Mitad de un círculo. El diámetro divide al círculo en dos semicírculos.
Sector circular: Porción de círculo limitada por dos radios y su arco.
Segmento circular: Porción de círculo limitada por una cuerda y su arco.

Área del círculo

El área es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior. Para calcular el área del círculo otra vez hay que recurrir al número π.

Área del círculo es igual a π por el cuadrado del radio, se escribe así:
A = π × r2
O, en términos del diámetro:
A = (π/4) × D2

Es fácil acordarse si piensas en el área del cuadrado en el que cabe el círculo.

Área del círculo comparada con el área del cuadrado.

 

Cálculo de los valores de una proporción matemática

Hallar el valor de un extremo.

1) a/b = c/x

Según la primera propiedad

a · x = b · c

por lo que se tiene que:

O sea, en toda proporción un extremo es igual al producto de los medios divididos por el otro extremo.

Ejemplo
Hallar el valor de un extremo en una proporción continua.
1) a / b = b / x
Según la primera propiedad
a · x = b · b
se pasa a al otro miembro

; o bien:

2) En toda proporción continua un extremo es igual al cuadrado del medio proporcional dividido por el otro extremo.
Ejemplo
Hallar el valor del medio de una proporción.
1) a / x = c / d
De acuerdo con la primera propiedad
a · d = c · x
y el factor c pasa al otro miembro
3) En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.
Ejemplo
Hallar el valor del medio de una proporción continua.
a / x = x / d
De acuerdo con la primera propiedad


En toda proporción continua el medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Las matemáticas en la música

Los sonidos emitidos por los instrumentos de cuerda tales como violín, guitarra, piano, etc., resultan de la vibración de las cuerdas que dicho instrumento posee.

Ahora bien, la altura de la nota musical dada depende tanto de la longitud de la cuerda con que se emite, como de la tensión que esta última soporta.

El monocordio de Pitágoras

Ya Pitágoras había descubierto a través de la utilización de un monocordio, que: “Si una cuerda y su tensión permanecen inalteradas, pero se varía su longitud, el período de vibración es proporcional a su longitud”. Supongamos que un fabricante de pianos utilizara, siguiendo a Pitágoras, cuerdas de idéntica estructura pero de diferentes longitudes para lograr la gama de frecuencias de que goza dicho instrumento. En un piano, con notas de frecuencia comprendida entre 27 y 4.096, la cuerda de mayor longitud resultaría 150 veces más larga que la de menor longitud.

Las leyes de Mersenne

Obviamente, ello hubiera impedido la construcción del piano de nuestro ejemplo, de no mediar las dos leyes del matemático francés Mersenne. La primera dice que: “Para cuerdas distintas de la misma longitud e igual tensión, el período de vibración es proporcional a la raíz cuadrada del peso de la cuerda”. El mayor peso se consigue, generalmente, arrollándole en espiral un alambre más delgado. Así se evita la excesiva longitud de las cuerdas asignadas a los graves.

La segunda ley expresa: “Cuando una cuerda y su longitud permanecen inalteradas pero se varía la tensión, la frecuencia de la vibración es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión”. Siguiendo esta ley se evita que las cuerdas resulten demasiado cortas en los agudos, aumentando su tensión. La incorporación de marcos de acero a los modernos pianos, ha posibilitado tensar los alambres hasta valores insospechados antiguamente y que rondan las 30 toneladas.

¿Hay proporciones geométricas en un piano?

Desde fines del siglo XVIII existe la escala temperada que divide la octava en 12 semitonos iguales de distancia. Los intervalos entre notas en dicha escala siguen una progresión geométrica de razón 12 2. Así están afinados, por ejemplo, todos los pianos modernos.