Conceptos fundamentales de cinemática: aceleración 

Cuando un automóvil aumenta su velocidad decimos que está acelerando, y si ese aumento de velocidad se produce en un espacio de tiempo muy corto decimos que el automóvil ha acelerado muy deprisa. La aceleración es, pues, una variación de la velocidad por unidad de tiempo.

Puede ser positiva o negativa, produciendo un aumento o una disminución de la velocidad. En el caso de un movimiento curvilíneo, la aceleración produce una variación del módulo y de la dirección del vector velocidad. Podemos definir de forma rigurosa la aceleración diciendo que es la velocidad de la velocidad. Es decir, que la aceleración representa para el vector velocidad lo mismo que la velocidad para el vector de posición.

Partiendo de esta idea, definiremos la aceleración media de un móvil entre dos puntos de su trayectoria P0 y P (o, lo que es lo mismo, entre dos instantes t0 y t) de forma análoga a como definimos la velocidad media, es decir, como:

Ejemplo

A partir de esta definición de aceleración media, podemos definir la aceleración instantánea mediante un paso al límite similar al que aplicamos para definir la velocidad instantánea. Si el punto P está próximo al punto P 0, podemos escribir:

Cuando ∆t→0 tiende a cero, atiende hacia un vector aplicado en el punto P0. Ese vector es la aceleración instantánea en P0.

Hodógrafa

Cuando un móvil M recorre una determinada trayectoria, en cada punto de ésta tendremos un vector velocidad, que, por ejemplo, en el punto P0 será v(t0).

Ejemplo

Tomamos un punto O  y colocamos en él los vectores velocidad correspondientes a todos los puntos de la trayectoria de M. Los extremos de esos vectores dibujan una curva que es la hodógrafa del movimiento.

Ejemplo

La hodógrafa sería la trayectoria de un móvil M  cuyo vector de posición fuese v(t). El vector velocidad del móvil M  en el punto P  de la hodógrafa coincide con el vector aceleración en el punto P correspondiente de la trayectoria del móvil M, lo que justifica pensar la aceleración como la velocidad de la velocidad.

Polo de la hodógrafa

Punto fijo O’ en el que se sitúan vectores equipolentes a los vectores velocidad del movimiento de un punto material para dibujar la curva hodógrafa.

Dimensiones y unidades de la aceleración

La aceleración es una velocidad dividida por un tiempo, por lo que, como [v] = [L]·[T]-1, las dimensiones de la aceleración serán las de una longitud dividida por un tiempo al cuadrado[a] = [L]·[T]-2. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en m/s2, mientras que en el sistema CGS se mide en cm/s2.

Conceptos fundamentales de cinemática: movimiento uniforme

Sólo existe un movimiento en el que el vector velocidad es invariable en módulo, dirección y sentido: el movimiento rectilíneo uniforme (o simplemente movimiento uniforme), que es el que tiene un móvil que se mueve en línea recta con velocidad constante.

Si tenemos dos puntos, P0 y P, de la trayectoria que recorre un móvil con movimiento uniforme y tomamos esa recta como eje x, esos puntos quedarán fijados con una única coordenada: su abscisa. Los vectores

 serán:

y la velocidad media entre P0 y P será:

Como la velocidad instantánea es constante, podemos escribir:

Si empezáramos a medir los tiempos cuando el móvil se halla en el punto P0, sería t0 = 0, y por lo tanto, x = x0 + v·t. Y si además tomásemos el origen de abscisas en el punto P0, se reduciría a x = v·t.

Caída libre

Es el movimiento que posee un cuerpo que únicamente se encuentra sometido a la acción de la fuerza de la gravedad.

Fuerza de la gravedad

Resultante de la atracción gravitatoria y de la fuerza centrífuga debida a la rotación de la Tierra.

Instante inicial de un movimiento

Instante en el que empieza a contarse el tiempo en la descripción de un movimiento, es decir, instante en el cual es t = 0. Asimismo, se denomina velocidad inicial a la velocidad que tiene el móvil en ese instante y aceleración inicial a su aceleración en ese mismo instante.

Conceptos fundamentales de la cinemática: velocidad

En cinemática se definen diversos conceptos de velocidad.

Velocidad media e instantánea

La velocidad media de un móvil es la razón de su vector desplazamiento al intervalo de tiempo durante el cual se produce ese desplazamiento. Siendo el cociente de un vector por un escalar, la velocidad media es un vector cuya dirección y sentido son los mismos que los del vector desplazamiento. Si en el instante t0 el móvil está en el punto P0 y su vector de posición es r(t0), y en el instante t el móvil está en el punto P y su vector de posición es r(t), la velocidad media del móvil entre P0 y P será:

Un concepto distinto es el de celeridad o velocidad media sobre la trayectoria, que es una magnitud escalar que se define como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo.

La velocidad instantánea es una magnitud vectorial que representa la velocidad que tiene el móvil en cierto instante o, lo que es lo mismo, en un punto determinado de su trayectoria. La velocidad instantánea debe representarse por un vector porque se trata de una magnitud que, además de ser cuantificable, tiene una orientación determinada. Veamos cómo se define.

Si en un instante t0 un móvil está en el punto P0 cuyo vector de posición es r(t0), una fracción de segundo más tarde, es decir, en el instante t0 + ∆t, estará en otro punto P cuyo vector de posición será r(t0 +  ∆t). La velocidad media del móvil durante el intervalo de tiempo ∆t sería entonces:

Si consideramos cada vez fracciones de segundo más pequeñas, es decir, ∆t más pequeños, el punto P se va acercando al punto P0, y la dirección del vector desplazamiento r(t0 + ∆t) – r(t0) se va acercando a la recta tangente a la trayectoria en el punto P0.

Ejemplo

Como el vector velocidad media,, tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, también la dirección dese irá acercando a la recta tangente a la trayectoria en P0.

Además de acercarse en dirección a la tangente, el vector desplazamiento, r(t 0 +  ∆t) – r(t 0), a medida que vamos considerando ∆t más reducidos, es cada vez más corto, es decir, que su módulo es cada vez más pequeño.

En el límite, esto es, cuando ∆t sea cero y el punto P se confunda con el punto P0, el vector desplazamiento se anulará.

Con el vector no ocurre lo mismo, ya que este vector es el cociente entre el vector desplazamiento y el incremento de tiempo considerado, o sea, el cociente entre r(t0 + ∆t) – r(t0) y ∆t. Al irse acercando P a P0, es decir, al irse haciendo cada vez más pequeño ∆t, el numerador y el denominador de ese cociente se van haciendo los dos cada vez más pequeños, pero el valor del propio cociente puede aumentar o disminuir, dependiendo de si el numerador decrece de forma más rápida o más lenta que el denominador.

Tenemos por lo tanto que al ir disminuyendo ∆t, la línea de acción del vectorse va acercando a la recta tangente a la trayectoria en P 0, mientras que el módulo dese va acercando a un determinado valor. Así el vector tiende a convertirse en un vector V(t0) aplicado en P0 y situado sobre la tangente a la trayectoria en ese punto. Ese vector V(t0) es la velocidad instantánea del móvil en el punto P0 o, lo que es lo mismo, en el instante t 0.

No particularizando un valor de t, notaremos este vector como V(t) o simplemente V.

Ejemplo

El proceso que hemos seguido para definir la velocidad instantánea se denomina paso al límite. Diríamos así que la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el incremento de tiempo tiende a cero (∆t → 0).

Cuando ∆t → 0, la celeridad o velocidad media sobre la trayectoria se va aproximando al módulo del vector velocidad media (la cuerda se aproxima al arco), con lo que la velocidad instantánea también puede definirse como un vector tangente a la trayectoria en el punto considerado cuyo módulo es el límite a que tiende la celeridad cuando  ∆t→ 0

Dimensiones y unidades de la velocidad

La velocidad tiene las dimensiones de una longitud dividida por un tiempo [L]·[T]-1. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en metros por segundo (m/s), y en el CGS en centímetros por segundo (cm/s). En la práctica también se utilizan unidades basadas en múltiplos del metro y del segundo (km/h). Los marinos emplean una unidad propia: el nudo, que equivale a una milla marina por hora (1,85 km/hora).

Trucos para aprender las tablas de multiplicar

La multiplicación es una de las operaciones básicas de matemática y su conocimiento es esencial durante la resolución de problemas. Para realizar multiplicaciones sencillas y complejas es necesario conocer las tablas de multiplicar, las cuales también se emplean en otras operaciones como la división.

Una gran herramienta

La multiplicación es la operación matemática que consiste en determinar el resultado de un número que se haya sumado tantas veces como indique otro. La palabra multiplicación proviene del latín de la palabra multus que significa “mucho” y plico que quiere decir “doblar”. En este sentido, multiplicar es doblar o repetir un número muchas veces.

 En símbolo “x” fue utilizado por primera vez como signo de multiplicación en 1631 por el matemático inglés William Oughtred.
En símbolo “x” fue utilizado por primera vez como signo de multiplicación en 1631 por el matemático inglés William Oughtred.

La expresión 4 x 2 indica que el 4 se debe sumar a sí mismo 2 veces, es decir, que el resultado de esa operación sería 8 porque 4 + 4 = 8. Ese es el principio de esta operación matemática, sin embargo; existen multiplicaciones un poco más complejas como 9 x 8, 7 x 9, o 6 x 8, que para poder resolverlas hay que realizar sumas muy largas, lo que resultaría tedioso y poco práctico durante los cálculos.

Para hacer cálculos de multiplicaciones se idearon las tablas de multiplicar, que no son más que un atajo para realizar sumas largas de forma rápida. La forma más común de representar las tablas de multiplicación es, como su nombre lo indica, a través de tablas. Normalmente se muestran las tablas del 1 al 10 y cada una de ellas indica las multiplicaciones del número que representan del 1 al 10 o del 0 al 10.

Aprender las tablas, no memorizarlas
Aprender las tablas, no memorizarlas

Muchas veces los estudiantes se esmeran en memorizar las tablas y no en aprenderlas, por lo cual al poco tiempo las olvidan. Esto se debe a que no entiende el significado de la multiplicación, de sus propiedades y de sus elementos principales, memorizar las tablas sin ningún aprendizaje significativo es similar a leer una receta de cocina que al poco tiempo se olvida. Los maestros y padres deben trabajar por indagar más sobre la multiplicación, de esta forma sin necesidad de memorizaciones tediosas sin sentido, el estudiante las recordará porque sabe para qué sirven y cómo funcionan.

La matemática no tiene que ser una tortura. Padres y maestros deben trabajar porque el aprendizaje de los niños sea siempre significativo.
La matemática no tiene que ser una tortura. Padres y maestros deben trabajar porque el aprendizaje de los niños sea siempre significativo.

Elementos de la multiplicación

En una multiplicación se pueden observar los siguientes elementos:

Factores: son todos aquellos números que se multiplican. Dentro de los factores se encuentra un multiplicando que, como su nombre lo indica, es el número que se multiplica y el multiplicador que es el número que indica el número de veces que se suma el multiplicando por sí mismo.

Producto: es el resultado de la multiplicación de los factores.

Signo: es el símbolo que representa a la operación de la multiplicación, comúnmente se representa con la letra equis (x) pero en algunos casos puede ser expresado con un punto.

En el ejemplo anterior 4 x 2 = 8, los factores son 4 y 2 de los cuales el multiplicando es el 4 y el multiplicador es el 2. Por su parte, el producto en dicha multiplicación es 8.

 Los factores también son denominados coeficientes.

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación, al igual que las demás operaciones matemáticas básicas, tiene algunas propiedades que cumple. Estas propiedades permiten simplificar la resolución de problemas y también ayudan a entender cómo funciona esta operación.

Propiedad conmutativa

Esta propiedad establece que al multiplicar varios números, no importa el orden de los factores, el resultado siempre será el mismo.

4 x 2 = 8
2 x 4 = 8

Propiedad asociativa

Cuando se multiplican tres o más factores, pueden multiplicarse los dos primeros y el resultado multiplicarlo por el tercero, o multiplicar los dos últimos y el resultado multiplicarlo por el primero, en todo caso, sin importar cómo se agrupen los factores el resultado siempre será el mismo.

2 x 3 x 1 = (2 x 3) x 1 = 6 x 1 = 6
2 x 3 x 1 = 2 x (3 x 1) = 2 x 3 = 6

Propiedad del elemento neutro

El producto de cualquier número multiplicado por 1 siempre será igual al mismo número.

Ejemplo:

7 x 1 = 7
9 x 1 = 9
2 x 1 = 2

Propiedad distributiva

Al multiplicar un número por una suma o resta se puede resolver primero la suma o resta y el resultado multiplicarlo por el número o se puede multiplicar el número por cada uno de los elementos de la suma o resta y luego sumar o restar según sea el caso. En ambos casos, el resultado siempre es el mismo.

3 x (2 + 4) = 3 x 6 = 18
3 x (2 + 4) = (3 x 2) + (3 x 4) = 6 + 12 = 18

2 x (7 -2) = 2 x 5 = 10

2 x (7 -2) = (2 x 7) – (2 x 2) = 14 – 4 = 10

Las propiedades de la multiplicación son muy útiles para resolver problemas.

Algunos trucos

Después de reconocer los elementos esenciales de la multiplicación y sus propiedades, existen algunos trucos que permiten aprender las tablas con mayor facilidad y se presentan a continuación:

Tabla del 0: aunque no es común ver esta tabla, es importante saber que todos los números multiplicados por 0 dan como resultado el número 0.

Tabla del 1: como se mencionó con anterioridad en la propiedad del elemento neutro, todo número multiplicado por 1 da como resultado al mismo número.

Tabla del 2: en esta tabla el resultado de un número multiplicado por 2 es igual al doble del número.

Tabla del 5: los números de esta tabla terminan en 0 o en 5.

Tabla del 9: esta tabla presenta cierta regularidad en los productos mostrados. La siguiente imagen permite observar cómo las primeras cifras de los productos siguen una secuencia ascendente mientras que las demás cifras siguen una secuencia descendente.

Truco de la tabla del 9.
Truco de la tabla del 9.

Tabla del 10: en este caso solamente es necesario agregar un 0 al lado del multiplicando.

¿Sabías qué...?
Mientras aprendes las tablas es normal que no recuerdes el resultado de alguna multiplicación, en estos casos puedes recurrir mentalmente a la propiedad conmutativa, es decir, invertir la posición de los factores para saber el resultado.

Relación de la biología con otras ciencias

La biología es el estudio de la vida, que incluye el origen, la evolución, la función, la estructura y la distribución de los organismos vivos. Esta ciencia se ocupa también de la clasificación de los organismos y de la interacción de éstos dentro de un entorno.

No se puede negar la interrelación que existe entre las diferentes ramas de la ciencia. Cada una de ellas se relaciona con otras y en particular la biología, ya que esta necesita como base la inclusión de otras ciencias para el estudio de los organismos. Esto constituye la base de las ciencias interdisciplinarias.

La biología está ligada a otras ciencias de la siguiente manera:

Física

La física proporciona la base para la biología. Sin espacio, materia, energía y tiempo, que son los componentes que conforman el universo, los organismos vivientes no existirían.

La física ayuda a explicar cómo los murciélagos usan ondas de sonido para volar en la oscuridad y cómo las alas dan a los insectos la capacidad de moverse por el aire.
La física ayuda a explicar cómo los murciélagos usan ondas de sonido para volar en la oscuridad y cómo las alas dan a los insectos la capacidad de moverse por el aire.

En algunos casos, la biología ayuda a probar las leyes y las teorías físicas. El físico Richard Feynman afirma que la biología ayudó a los científicos a elaborar la ley de conservación de la energía.

La interacción entre estas dos ciencias dio origen a la biofísica, que se ocupa del estudio de los principios de la física, aplicables a los fenómenos biológicos. Por ejemplo, hay una similitud entre los principios de trabajo de la palanca en la física y las extremidades de los animales en la biología.

Química

La química y la biología no sólo están relacionadas, sino que están completamente entrelazadas, ya que todos los procesos biológicos derivan de procesos químicos. Así que la capacidad de crecimiento, reproducción, actividad funcional y cambio continuo en los seres vivos no puede ocurrir sin reacciones químicas.

Incluso los procesos aparentemente físicos, tales como el movimiento muscular, requieren de la liberación de energía química, que siguen procesos ordenados por el código de ADN de un organismo.

El ADN es en sí mismo una cadena codificada de sustancias químicas que implementa sus instrucciones mediante procesos químicos.

Es allí, por tanto, que entra la bioquímica una rama específica del estudio biológico que se centra en los soportes químicos de la vida misma. Trata del estudio de la química de los diferentes compuestos y procesos que se producen en los organismos vivos.

El estudio de los metabolismos básicos de la fotosíntesis y la respiración se basan en reacciones químicas.
El estudio de los metabolismos básicos de la fotosíntesis y la respiración se basan en reacciones químicas.

Estrecha relación con la Física y la Química

Inicialmente, la biología era una ciencia descriptiva que buscaba estudiar la morfología de los seres vivos y su organización sistemática en grupos y subgrupos basados en similitudes y diferencias.

El conocimiento actual en el campo de la biología se ha logrado con la ayuda de ciencias como la física y la química. Este enfoque multidisciplinario es esencial por diversos motivos:

  1. Todos los organismos vivos están formados por compuestos orgánicos e inorgánicos disueltos en agua.
  2. Los compuestos inorgánicos se presentan en forma de iones. Estos influyen en el ambiente interno de los seres vivos y, en consecuencia, en los procesos de la vida.
  3. El equilibrio ácido-base mantiene el pH específico dentro de los organismos para proporcionar el entorno más adecuado en la realización de diversas reacciones bioquímicas.
  4. La tensión superficial y la capilaridad producida por la fuerza cohesiva y adhesiva de los líquidos también ayudan en ciertos procesos de vida.
  5. La difusión y la ósmosis son responsables del movimiento de iones y moléculas dentro y fuera de las células.
  6. La transferencia de energía y la transformación de energía son dos acontecimientos importantes en todas las células vivas.

Matemática

A diferencia de la física y la química, la biología no suele ser una ciencia asociada a las matemáticas. Pero debido a que hay aspectos cuantificables de las ciencias de la vida, las matemáticas juegan un papel importante en la comprensión del mundo natural.

La biología matemática es un campo de investigación que examina las representaciones matemáticas de los sistemas biológicos.
La biología matemática es un campo de investigación que examina las representaciones matemáticas de los sistemas biológicos.

Ejemplo cuantificable

Un biólogo que estudia migraciones de mariposas entra en el campo y cuenta una población de la muestra en una región confinada y después multiplica los números de la muestra por el rango geográfico total para conseguir una estimación de la población.

A continuación, vuelve a su laboratorio y revisa los informes de otros investigadores que describen el lapso del patrón de migración y el uso de cálculos vectoriales para predecir su futuro recorrido. Finalmente, examina los datos de años anteriores sobre el número de mariposas y la ubicación para establecer un margen de error probable para su predicción.

En cada paso de este proceso, intervienen las matemáticas para medir, predecir y comprender los fenómenos naturales.

Un sub-campo de la ciencia biológica es el campo de la bioestadística, en el cual se usan análisis estadísticos para describir y explicar las ciencias de la vida, con el propósito de encontrar correlaciones o relaciones interdependientes entre variables y comparar variables entre sí.

Geografía

La geografía y la biología se relacionan en el estudio de la ocurrencia y distribución de diferentes especies de organismos en las distintas regiones geográficas del mundo, esto es lo que se conoce como biogeografía.

La biogeografía aplica el conocimiento de las características particulares de las regiones geográficas para determinar las de los organismos vivos allí encontrados.

Antropología

La antropología biológica es el estudio de la evolución de la especie humana y se ocupa especialmente de comprender las causas de la diversidad humana actual. Dentro de esta definición abarca campos tan heterogéneos como la paleontología humana, la biología evolutiva, la genética humana, la anatomía comparada y la fisiología, el comportamiento de los primates, la ecología del comportamiento humano y la biología humana.

La biología y la antropología se unen en la búsqueda de fósiles que permitan explicar el origen y evolución de la humanidad.
La biología y la antropología se unen en la búsqueda de fósiles que permitan explicar el origen y evolución de la humanidad.

Agronomía

La relación se da por medio de la agricultura biológica, la cual entiende la necesidad de equilibrio entre los tres aspectos del suelo, físico, químico y biológico para sostener la vida.

Todo proviene del suelo y vuelve al suelo, es un sistema no vivo con billones de organismos que reciclan nutrientes y sostienen la vida.

La forma en que se maneja el suelo y la vida microbiana determina la vitalidad de los alimentos de origen vegetal que consumimos.
La forma en que se maneja el suelo y la vida microbiana determina la vitalidad de los alimentos de origen vegetal que consumimos.

La pareja dispareja

Hay casos en que la física no puede explicar los sucesos biológicos y viceversa. La física y la biología no pueden explicar el origen de la vida o cómo los objetos inorgánicos pasaron a la vida orgánica. La Universidad de Cornell de Nueva York afirma que la teoría biológica de la evolución contradice la segunda ley de la termodinámica, puesto que la naturaleza no puede crear el orden a partir del desorden y la evolución es un proceso que crea niveles crecientes de orden.

Cálculo de los valores de una proporción matemática

Hallar el valor de un extremo.

1) a/b = c/x

Según la primera propiedad

a · x = b · c

por lo que se tiene que:

O sea, en toda proporción un extremo es igual al producto de los medios divididos por el otro extremo.

Ejemplo
Hallar el valor de un extremo en una proporción continua.
1) a / b = b / x
Según la primera propiedad
a · x = b · b
se pasa a al otro miembro

; o bien:

2) En toda proporción continua un extremo es igual al cuadrado del medio proporcional dividido por el otro extremo.
Ejemplo
Hallar el valor del medio de una proporción.
1) a / x = c / d
De acuerdo con la primera propiedad
a · d = c · x
y el factor c pasa al otro miembro
3) En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.
Ejemplo
Hallar el valor del medio de una proporción continua.
a / x = x / d
De acuerdo con la primera propiedad


En toda proporción continua el medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Las matemáticas en la música

Los sonidos emitidos por los instrumentos de cuerda tales como violín, guitarra, piano, etc., resultan de la vibración de las cuerdas que dicho instrumento posee.

Ahora bien, la altura de la nota musical dada depende tanto de la longitud de la cuerda con que se emite, como de la tensión que esta última soporta.

El monocordio de Pitágoras

Ya Pitágoras había descubierto a través de la utilización de un monocordio, que: “Si una cuerda y su tensión permanecen inalteradas, pero se varía su longitud, el período de vibración es proporcional a su longitud”. Supongamos que un fabricante de pianos utilizara, siguiendo a Pitágoras, cuerdas de idéntica estructura pero de diferentes longitudes para lograr la gama de frecuencias de que goza dicho instrumento. En un piano, con notas de frecuencia comprendida entre 27 y 4.096, la cuerda de mayor longitud resultaría 150 veces más larga que la de menor longitud.

Las leyes de Mersenne

Obviamente, ello hubiera impedido la construcción del piano de nuestro ejemplo, de no mediar las dos leyes del matemático francés Mersenne. La primera dice que: “Para cuerdas distintas de la misma longitud e igual tensión, el período de vibración es proporcional a la raíz cuadrada del peso de la cuerda”. El mayor peso se consigue, generalmente, arrollándole en espiral un alambre más delgado. Así se evita la excesiva longitud de las cuerdas asignadas a los graves.

La segunda ley expresa: “Cuando una cuerda y su longitud permanecen inalteradas pero se varía la tensión, la frecuencia de la vibración es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión”. Siguiendo esta ley se evita que las cuerdas resulten demasiado cortas en los agudos, aumentando su tensión. La incorporación de marcos de acero a los modernos pianos, ha posibilitado tensar los alambres hasta valores insospechados antiguamente y que rondan las 30 toneladas.

¿Hay proporciones geométricas en un piano?

Desde fines del siglo XVIII existe la escala temperada que divide la octava en 12 semitonos iguales de distancia. Los intervalos entre notas en dicha escala siguen una progresión geométrica de razón 12 2. Así están afinados, por ejemplo, todos los pianos modernos.

Dinámica de la población

Los cambios que sufre una población biológica son estudiados por una rama de la ecología conocida como ecología de las poblaciones o ecología demográfica. En la cual se estudian las características de la población en cuanto a su tamaño y variación del número de individuos a través del tiempo.

¿Qué es la dinámica de la población?

La dinámica de una población se refiere al estudio que se realiza de una población biológica, específicamente en la manera como ésta varía a lo largo del tiempo.

Una población es el conjunto de individuos de la misma especie que ocupan un determinado lugar en un momento dado.

El número de individuos en una población es variable en algunos períodos de tiempo, sin embargo, las poblaciones en general suelen mantenerse relativamente “estables” con el paso de los años. Por esta razón, en trabajos relacionados con la ecología, se suele estudiar a la organización población y no al individuo.

Diversos factores inciden en el tamaño de una población como lo son la natalidad, mortalidad y migración.
Diversos factores inciden en el tamaño de una población como lo son la natalidad, mortalidad y migración.

Dinámica poblacional y matemática

La mayor parte del esfuerzo de la ecología demográfica se encuentra orientado a establecer modelos matemáticos que permitan conocer la dinámica de las poblaciones estudiadas a través de la observación y del trabajo experimental.

La expresión dN/dt = rN[(K-N)/K] describe al modelo logístico, en el cual una población varía su tamaño en función del tamaño de la población.
La expresión dN/dt = rN[(K-N)/K] describe al modelo logístico, en el cual una población varía su tamaño en función del tamaño de la población.

Crecimiento poblacional

Se define como el aumento o disminución del número total de individuos de una población. Cada población tiene una tasa de nacimiento que es el número de individuos que nacen por unidad de tiempo y de población, también posee una tasa de mortalidad que es el número de defunciones por unidad de tiempo y una tasa de crecimiento. Los nacimientos constituyen el principal agente de crecimiento de una población mientras que las muertes son su principal agente de descenso.

Cuanto la tasa de nacimiento es mayor a la de mortalidad, la población crece. Si ocurre lo contrario, la población decrece.

Factores que regulan el crecimiento de la población

Natalidad

Es la relación entre la cantidad de individuos que nacen por una unidad de tiempo y el tamaño de la población. El resultado de dicho cociente se conoce como tasa de natalidad. No todas las poblaciones tienen los mismos patrones de reproducción, por lo cual algunas se reproducen constantemente mientras que otras lo hacen en una época determinada.

Existen una serie de factores como los predadores, el clima, la disponibilidad de alimento y agua, que podrían afectar la natalidad.

Mortalidad

Se refiere a la cantidad de individuos que mueren en un período de tiempo dado. Es importante señalar que muchos individuos mueren antes de dejar descendencia, por lo cual, para estimar la mortalidad real se deben considerar aquellos factores que afecten a la población, como una catástrofe natural (erupción volcánica, incendios forestales, inundaciones).

Migración

Involucra a todos aquellos procesos relacionados con movimientos de toda la población o de una porción de ésta desde un ecosistema a otro en un momento determinado. Generalmente, las migraciones ocurren en relación a las estaciones del año (primavera, verano, otoño e inverno). Las migraciones pueden ser de dos tipos: inmigraciones o emigraciones. El movimiento de organismos cuando ocurre la llegada de individuos de la misma especie a la población se denomina inmigración. Cuando ocurre la salida de organismos de la población a otro lugar se denomina emigración.

El tamaño de la población aumenta con las inmigraciones y disminuye con las emigraciones.
El tamaño de la población aumenta con las inmigraciones y disminuye con las emigraciones.

Distribución de la población

La forma en la que los miembros de una población se ubican en el espacio puede ser variable. Existen tres tipos de distribución en las poblaciones:

Distribución al azar: los individuos se distribuyen irregularmente cuando el medio es homogéneo y los recursos son disponibles de forma regular en toda el área.

Distribución uniforme: los organismos de la población se encuentran distribuidos de forma más o menos regular. Se puede observar en los casos donde la dispersión de recursos es escasa.

Distribución aglomerada: se produce debido a la dispersión heterogénea de recursos en el medio y a la tendencia social de algunas especies para vivir en grupos. Es la forma de distribución de población más frecuente en la naturaleza.


La población de cebras sigue una distribución aglomerada.

Importancia de la Dinámica poblacional

La dinámica poblacional además de ser aplicada en la ecología poblacional, es usada por otras disciplinas como la biología matemática. Su conocimiento permite una mejor gestión de los recursos biológicos en actividades como la pesquería y en la evaluación de las consecuencias de la acción humana en el medioambiente. También es importante para el campo de la investigación en la medicina, específicamente en las poblaciones celulares.

Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades

La matemática está constituida por numerosos tipos de operaciones, sin embargo, existen 4 operaciones básicas que todo individuo debe conocer. Estas operaciones son: la suma, la resta, la multiplicación y la división. A continuación estudiaremos las propiedades de dichas operaciones.

Operaciones básicas de la matemática.
Operaciones básicas de la matemática.

Propiedades de la suma

  • Propiedad asociativa: en esta propiedad al sumar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden en el cual se efectúan los sumandos, es decir, el orden en el cual se sumen los factores no altera el resultado.
  • Propiedad conmutativa: en esta propiedad al sumar dos o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los sumandos, es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.
  • Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es el cero. La suma de cualquier número y cero da como resultado el número original, es decir, el mismo número.
Símbolos de suma y resta.
Símbolos de suma y resta.

Propiedades de la resta

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la resta es el cero. La resta de cualquier número y cero da como resultado el número original, es decir, el mismo número.
  • Elemento simétrico: restar un número con su opuesto, es decir, un número con el mismo valor, produce como resultado el elemento neutro de la resta 0.

Propiedades de la multiplicación

  • Propiedad asociativa: en esta propiedad al multiplicar tres o más números, el resultado es el mismo sin importan como se agrupen o efectúen los factores.
  • Propiedad conmutativa: en esta propiedad al multiplicar dos o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos, es decir, el orden de los factores no altera el producto.
  • Elemento neutro: el elemento neutro de la multiplicación es el uno. La multiplicación de cualquier número y uno da como resultado el número original, es decir, el mismo número.
  • Propiedad distributiva: en esta propiedad, al multiplicar un número por una suma o una resta, se multiplica el número por cada uno de los elementos contenidos en el paréntesis y luego se suma o resta según sea el caso.

 

Tablas de multiplicar.
Tablas de multiplicar.

Propiedades de la división

  • Cuando se dividen dos números naturales o enteros, el resultado no siempre es otro número natural o entero, es decir, la división no es una operación interna de este tipo de números.
  • Cuando se intercambian de lugar el divisor con el dividendo no se obtiene el mismo resultado, es decir, la división no es una operación conmutativa.
  • Como consecuencia de que no existe ningún cociente que multiplicado por cero sea igual al dividendo, no se puede dividir por dicho número.
  • Una división es exacta si el dividendo es igual al divisor por el cociente y es entera si el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

Ejemplo 1

→ División exacta

Donde:

20 = dividendo

4 = divisor

5 = cociente

0 = resto

Ejemplo 2

→ División entera

Donde:

18 = dividendo

5 = divisor

3 = cociente

4 = resto

Indica la propiedad efectuada en las siguientes operaciones:

Para practicar

  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades necesarias:
  • Resultado: 13
  • Resultado: 20
  • Resultado: 72
  • Resultado: 80
  • Resultado: 22
  • Resultado: 10
  • Resultado: 8
  • Resultado: -100

Números romanos (sistemas de numeración)

Antes de implementarse la numeración arábiga existieron cientos de sistemas de numeración desarrollados por diferentes poblaciones. A pesar de que actualmente la mayoría de estos sistemas han sido eliminados, los números romanos aún están en vigencia y son utilizados en casos esenciales.

SISTEMA DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

La numeración romana es un sistema basado en el uso de letras mayúsculas, las cuales poseen un valor designado. Este sistema fue implementado por el Imperio romano y los números se representan mediante combinaciones de letras y métodos de adición y sustracción para la creación de cifras.

Los primeros pobladores en utilizar el sistema de numeración romano fueron los etruscos, una comunidad que habitó en Italia entre los siglos VII y IV antes de Cristo. Posteriormente, los romanos comenzaron a implementar este sistema mediante métodos de adición y sustracción.

La numeración romana se representa mediante letras mayúsculas.

Usos de los números romanos

Actualmente, los números romanos son poco utilizados debido a su dificultad en cuanto a lectura y escritura. Sin embargo, aún son utilizados en los siguientes casos:

  • En los nombres de personas de la realeza como reyes, emperadores y papas.

Ejemplo

El papa Juan Pablo II

Actualmente los números romanos son utilizados para designar nombres de personas de la realeza, como se observa en el monumento de la Puerta de Alcalá en Madrid, España.
  • En los números de capítulos y tomos de un libro u obra literaria.

Ejemplo

Capítulo II tomo I

  • En los actos y escenas de una representación teatral.

Ejemplo

Acto número V

  • En la designación de los nombres de congresos, olimpiadas, certámenes, etc.

Ejemplo

IX Congreso Nacional

Reglas de la numeración romana

  1. La representación de la numeración romana se basa en las siguientes siete letras mayúsculas:

I → 1

V → 5

X → 10

L → 50

C → 100

D → 500

M → 1000

  1. Si a la derecha de un número romano dentro de una cifra se escribe otro número igual o menor se aplica el método de adición y se suma su valor a la cifra anterior.

Ejemplo

XVI → 16

XVII → 17

  1. El método de sustracción se aplica en los siguientes casos:
  • Cuando la I va a la izquierda de la V → IV = 4
  • Cuando la I va a la izquierda de la X → IX = 9
  • Cuando la X va a la izquierda de la L → XL = 40
  • Cuando la X va a la izquierda de la C → XC = 90
  • Cuando la C va a la izquierda de la D → CD = 400
  • Cuando la C va a la izquierda de la M → CM = 900
  1. Ningún número romano puede repetirse más de tres veces dentro de una misma cifra.
  1. Las letras V, L y D no pueden repetirse ya que otras letras representan su valor duplicado.
  1. Al colocar una línea horizontal sobre un número romano, este multiplica su valor por 1.000 tantas veces como líneas tenga el mismo.

Ejemplo

M → 1.000.000

Números romanos Equivalencia en números arábigos Escritura en letras
I 1 Uno
II 2 Dos
III 3 Tres
IV 4 Cuatro
V 5 Cinco
VI 6 Seis
VII 7 Siete
VIII 8 Ocho
IX 9 Nueve
X 10 Diez
XI 11 Once
XII 12 Doce
XIII 13 Trece
XIV 14 Catorce
XV 15 Quince
XVI 16 Dieciseis
XVII 17 Diecisiete
XVIII 18 Dieciocho
XIX 19 Diecinueve
XX 20 Veinte
XXI 21 Veintiuno
XXII 22 Veintidos
XXIII 23 Veintitres
XXIV 24 Veinticuatro
XXV 25 Veinticinco
XVI 26 Veintiseis
XVII 27 Veintisiete
XVIII 28 Veintiocho
XXIX 29 Veintinueve
XXX 30 Treinta
XXXI 31 Treinta y uno
XXXII 32 Treinta y dos
XXXIII 33 Treinta y tres
XXXIV 34 Treinta y cuatro
XXXV 35 Treinta y cinco
XXXVI 36 Treinta y seis
XXXVII 37 Treinta y siete
XXXVIII 38 Treinta y ocho
XXXIX 39 Treinta y nueve
XL 40 Cuarenta
XLI 41 Cuarenta y uno
XLII 42 Cuarenta y dos
XLIII 43 Cuarenta y tres
XLIV 44 Cuarenta y cuatro
XLV 45 Cuarenta y cinco
XLVI 46 Cuarenta y seis
XLVII 47 Cuarenta y siete
XLVIII 48 Cuarenta y ocho
XLIX 49 Cuarenta y nueve
L 50 Cincuenta
LI 51 Cincuenta y uno
LII 52 Cincuenta y dos
LIII 53 Cincuenta y tres
LIV 54 Cincuenta y cuatro
LV 55 Cincuenta y cinco
LVI 56 Cincuenta y seis
LVII 57 Cincuenta y siete
LVIII 58 Cincuenta y ocho
LVIX 59 Cincuenta y nueve
LX 60 Sesenta
LXI 61 Sesenta y uno
LXII 62 Sesenta y dos
LXIII 63 Sesenta y tres
LXIV 64 Sesenta y cuatro
LXV 65 Sesenta y cinco
LXVI 66 Sesenta y seis
LXVII 67 Sesenta y siete
LXVIII 68 Sesenta y ocho
LXIX 69 Sesenta y nueve
LXX 70 Setenta
LXXI 71 Setenta y uno
LXXII 72 Setenta y dos
LXXIII 73 Setenta y tres
LXXIV 74 Setenta y cuatro
LXXV 75 Setenta y cinco
LXXVI 76 Setenta y seis
LXXVII 77 Setenta y siete
LXXVIII 78 Setenta y ocho
LXXIX 79 Setenta y nueve
LXXX 80 Ochenta
LXXXI 81 Ochenta y uno
LXXXII 82 Ochenta y dos
LXXXIII 83 Ochenta y tres
LXXXIV 84 Ochenta y cuatro
LXXXV 85 Ochenta y cinco
LXXXVI 86 Ochenta y seis
LXXXVII 87 Ochenta y siete
LXXXVIII 88 Ochenta y ocho
LXXXIX 89 Ochenta y nueve
XC 90 Noventa
XCI 91 Noventa y uno
XCII 92 Noventa y dos
XCIII 93 Noventa y tres
XCIV 94 Noventa y cuatro
XCV 95 Noventa y cinco
XCVI 96 Noventa y seis
XCVII 97 Noventa y siete
XCVIII 98 Noventa y ocho
XCIX 99 Noventa y nueve
C 100 Cien
CC 200 Doscientos
CCC 300 Trescientos
CD 400 Cuatrocientos
D 500 Quinientos
DC 600 Seiscientos
DCC 700 Setecientos
DCCC 800 Ochocientos
CM 900 Novecientos
M 1000 Mil
¿Sabías qué...?
Actualmente, muchos diseñadores utilizan números romanos para la creación de piezas decorativas como relojes.

Ecuaciones y despejes

Saber despejar una ecuación es de suma importancia no sólo para resolver problemas matemáticos, sino también para realizar cálculos en otras asignaturas como Química o Física. Existe una serie de reglas que permiten despejar ecuaciones de forma fácil.

¿Qué es una ecuación?

Es la igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los demás. En este sentido, una ecuación es una igualdad matemática entre dos miembros o expresiones que se encuentran separados por el signo igual.

La igualdad matemática o equivalencia es la relación entre dos expresiones diferentes que representan una misma cantidad.

Elementos de una ecuación

Existen varios tipos de ecuaciones, desde una simple ecuación lineal de una incógnita hasta ecuaciones con identidades trigonométricas, o incluso con números complejos. Sin embargo, en las ecuaciones se pueden identificar varios elementos básicos. Observa el siguiente ejemplo:

  • Miembro: es la expresión algebraica que se encuentra separada por el signo igual. En el caso del ejemplo, representa el miembro izquierdo y 5 el derecho.

  • Término: cada uno de los sumandos que se encuentran en cada miembro de la igualdad, por ende, están precedidos por los signos más o menos. En el caso del ejemplo podemos observar tres términos.

  • Incógnita: letra o variable que figura en la ecuación y representa los valores desconocidos. Generalmente se usan las últimas letras del alfabeto para denotarlas. En el ejemplo la incógnita es “x”.

  • Grado: en el caso de ecuaciones con una incógnita, el grado de éstas se define como el número de su mayor exponente siempre y cuando no se encuentre ni dentro de un signo radical ni en el denominador. El ejemplo se trata de una ecuación de grado 1, porque el mayor exponente de la incógnita “x” es 1, este tipo de ecuación también se denomina ecuación de primer grado.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones pueden ser de dos tipos: literales y numéricas. Se denomina ecuación literal aquella en la que por lo menos un elemento conocido se encuentra representado por una letra. Una ecuación numérica en cambio es aquella en la cual sus elementos conocidos son números.

En el caso del ejemplo anterior de ecuación literal, los literales a y b son tratados como constantes para resolver la ecuación.

Solución de una ecuación

El valor o valores de la incógnita de una ecuación que hacen que la igualdad de la misma sea cierta se denominan solución de la ecuación o raíces de la ecuación

Resolver una ecuación es hallar el o los valores que verifican la igualdad de la misma.

Cuando una ecuación tiene solución se denomina compatible, en caso contrario se denomina incompatible.

Las ecuaciones que presentan la misma solución son llamadas ecuaciones equivalentes.

Reglas para resolver ecuaciones

Para resolver ecuaciones se emplean una serie de reglas y operaciones que permiten confinar la incógnita en un lado de la igualdad, es decir, despejarla de otros términos que la acompañan. De esta manera, el valor obtenido al otro lado de la igualdad corresponde a la solución o soluciones de la misma.

  • Regla de la suma

Esta regla explica que al sumar la misma expresión algebraica a ambos lados de la igualdad se obtiene una ecuación equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:

Se puede sumar 3 en ambos miembros de la ecuación:

Al resolver se obtiene:

A partir de ese principio, la regla de la suma también se denomina regla de transposición de términos debido a que, para cambiar un término a otro miembro, se tiene que cambiar su signo.

Por ejemplo:

Para despejar la “x” lo único que se debe hacer es pasar los números 3 y -4 con signo contrario al otro lado de la igualdad.

Al resolver se obtiene:

  • Regla del producto

Establece que al multiplicar o dividir por un mismo número en ambos miembros de la ecuación el resultado es una ecuación equivalente de la primera. Por ejemplo:

Si se dividen ambos miembros por 4, se obtiene:

Al resolver:

Por medio de esta regla se deduce que lo los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar.

Por ejemplo:

Para despejar la “x”, el 3 que la multiplica pasa al otro lado a dividir:

Al resolver se obtiene:

A través de las dos reglas anteriormente estudiadas se puede resolver la primera ecuación de este artículo:

Por medio de la regla de transposición se puede pasar el 3 al otro lado de la igualdad.

El 2 que multiplica a la “x” pasa al otro lado a dividir.

Al resolver se obtiene:


Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

  1. Quitar los paréntesis en caso de que existieran (a través de la propiedad distributiva u otras operaciones).
  2. Quitar los denominadores en caso de que existieran.
  3. Ubicar los términos que tienen incógnitas en un miembro y los que no tienen incógnita en otro.
  4. Sumar los términos semejantes.
  5. Despejar la incógnita a través de la regla del producto.
  6. Simplificar el resultado obtenido en caso de que sea una fracción.

Ejemplo:

  1. Se eliminan los paréntesis, para lograrlo se aplica la propiedad distributiva. Es decir, se multiplica el 5 por cada uno de los elementos que están en paréntesis.

  1. Se quita el denominador de la fracción, para lograrlo el 2 pasa a multiplicar a todos los términos que se encuentran al otro lado de la igualdad. Se colocan paréntesis para indicar que el 2 pasó a multiplicar a todos los términos del miembro derecho.

Se eliminan los paréntesis a través de la propiedad distributiva:

  1. Se ubican los miembros que tienen incógnitas en un mismo miembro y los que no tienen incógnitas en otro. Para lograrlo se aplica la regla de la suma o de transposición.

  1. Se suman los términos semejantes.

Recuerda que no se pueden sumar términos con incógnitas diferentes o con constantes (números sin incógnitas).

  1. Se despeja la incógnita, para lograrlo se aplica la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuación.

  1. Se simplifica el resultado, en este caso se trata de una fracción que se puede resolver, si fuera una fracción irreducible, el resultado sería dicha fracción.

Otros casos

De la misma forma como se explicó al inicio de este artículo, es importante tener presente que hay diferentes tipos de ecuaciones, que involucran términos particulares con radicales, funciones trigonométricas, logaritmos, etc. En este artículo solamente se abordó la resolución de ecuaciones de primer grado debido a lo extenso del contenido. Es importante que el estudiante tenga presente que cada ecuación tiene sus características propias y diversas formas de llegar a la solución.

Las reglas mostradas también son usadas para despejar fórmulas, que son expresiones de una ley o principio general que se expresa por símbolos y letras.