Inecuaciones

Las inecuaciones son expresiones matemáticas ampliamente usadas por muchas disciplinas y su solución, a diferencia de la mayoría de las ecuaciones, no comprende valores concretos sino que abarca un conjunto de números.

¿Qué es una inecuación?

Es una expresión matemática que contiene al menos una variable y está caracterizada por incluir signos de desigualdad, de manera que su resultado es un conjunto de valores que la variable puede tomar para que se cumpla la desigualdad planteada.

El conjunto solución de una solución se denomina intervalo.

Símbolos de desigualdad

La desigualdad es una expresión algebraica que sirve para relacionar dos cantidades semejantes mediante signos. Los signos matemáticos más usuales para establecer estas relaciones son:

Símbolo Significado Ejemplo
> Mayor que 15 > 4
< Menor que 3 < 7
Mayor o igual que* a ≥ b
Menor o igual que* b ≤ a

*a y b pueden ser valores iguales o diferentes que permitan hacer cumplir la desigualdad.

Elementos de una inecuación

Algunos elementos son similares entre las ecuaciones y las inecuaciones. Pero se tratan de expresiones algebraicas distintas. Quizá el elemento más resaltante de toda inecuación es el signo de desigualdad. Debido a éste, la solución de dichas expresiones suelen variar un poco de la manera en la que se resuelven las ecuaciones.

  • Miembros: son las partes de una inecuación que están separadas por el signo de la desigualdad. En la imagen el primer miembro corresponde a 4x – 1 mientras que el segundo término corresponde a 2x + 1.
  • Términos: son las expresiones literales o numéricas separadas por los signos más (+) o menos (-). Son términos de la inecuación mostrada: 4x, -1, 2x y 1.
  • Variable: es la letra que representa al conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
  • Grado de la inecuación: se encuentra indicado por el mayor exponente que posea la variable. En el caso del ejemplo mostrado, se trata de una inecuación de primer grado porque su mayor exponente es 1. Si el mayor exponente fuera 2 sería una inecuación de segundo grado y así sucesivamente.
Las inecuaciones pueden presentarse de varias formas como fracción o valor absoluto.

Resolución de ecuaciones de primer grado

El objetivo de la resolución de una inecuación es encontrar todos los valores de la variable para los cuales es válida la expresión. Estos valores pueden pertenecer a uno o más intervalos que pueden graficarse en la recta real.

Al operar con inecuaciones se pueden observar las siguientes reglas:

  1. La inecuación no varía cuando se suma o resta un mismo valor en ambos miembros de la desigualdad.

Por ejemplo:

Si se suma 3 a ambos miembros se obtiene:

Al sumar y restar los términos semejantes se obtiene:

El conjunto solución son todos los valores mayores a 4.

  1. Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación por un mismo número positivo, la inecuación que resulta es equivalente a la inicial.

Se multiplican ambos miembros por 2:

Se resuelven las operaciones:

De esta forma, la ecuación

Es equivalente de la ecuación

y puede resolverse a través de la regla 1 explicada anteriormente.

  1. Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación por un mismo número negativo, la inecuación que resulta cambiará de sentido en su signo de desigualdad y la misma será equivalente de la inecuación inicial.

Por ejemplo:

Se multiplica ambos miembros de la igualdad por -1:

Se resuelve la multiplicación y se cambia el sentido de la desigualdad:

De manera que

Es una inecuación equivalente de

Y es la misma que se resolvió en el ejemplo de la regla 1.

Las inecuaciones serán válidas para unos valores y no serán válidas para otros.

Problemas

Para resolver problemas con inecuaciones se deben aplicar las reglas explicadas anteriormente de forma tal que la variable quede localiza en un miembro de la inecuación y los términos constantes en otro.

En este caso, para eliminar el -3 del primer miembro se debe sumar a ambos miembro el número 3:

Para eliminar la x del segundo miembro se debe restar –x a ambos miembros de la inecuación:

Se resuelven las operaciones:

Por lo tanto, el resultado de la inecuación 

 Es decir, todos los números menores o iguales a 8.

Se puede comprobar el resultado al seleccionar un número menor igual a 8 y luego reemplazarlo en la inecuación, al final debería obtenerse una desigualdad válida.

Por ejemplo, si se selecciona el 5 que es menor a 8, y se reemplaza en la inecuación se obtiene:

Como el 7 es menor que 10, entonces 5 es parte del conjunto solución de la desigualdad.

En caso de que se consideren a los valores diferentes al conjunto solución, la desigualdad que se obtiene no será lógica.

Por ejemplo, se sabe que la solución de este problema son todos los números menores o iguales a 8. Para comprobar si es cierto, seleccionamos un número mayor a 8, para este caso seleccionaremos el 9.

Se cumplen los mismos pasos anteriores:

Como 15 no es menor a 14, entonces 9 no pertenece al conjunto solución de la inecuación.

Hay problemas que involucran paréntesis y se debe aplicar en lo posible alguna propiedad matemática como la distributiva para eliminarlos.

Se multiplican ambos miembros por 3 para eliminar el denominador de la fracción:

Se dividen ambos miembros entre -10, como es un número negativo, la dirección de la desigualdad cambia:

Se multiplican ambos lados por 5 para eliminar el denominador de la variable:

La expresión anterior también puede escribirse de forma inversa. Sólo se debe intercambiar el signo de la desigualdad:

Para tener una mejor idea del conjunto solución se suele convertir la fracción a decimal, de este modo

Lo que quiere decir que el conjunto solución son todos los números mayores o iguales a 9,5.

Una de las aplicaciones de las inecuaciones es para calcular el costo, ingreso y utilidad de una empresa.

Lenguajes de mapas

Desde tiempos muy antiguos, el ser humano ha empleado mapas con la intención de entender el mundo que lo rodea y poder ubicarse. En actualidad, gracias al avance tecnológico, es posible elaborar mapas más precisos y detallados de los terrenos.

¿Qué son los mapas?

Son representaciones gráficas de un territorio. Por lo general se representan de forma bidimensional pero también puede encontrarse de forma esférica en los globos terráqueos y en modelos 3D.

Una de las características esenciales de todo mapa es su exactitud, por lo cual, debe poseer propiedades métricas a escala para permitir relacionar lo que representan con el mundo real. Toda distancia, ángulo o superficie denotada en un mapa debe cumplir con este principio.

Las imágenes satelitales han contribuido en el desarrollo de mapas cada vez más precisos.
La cartografía

Es la disciplina que se encarga de estudiar y producir mapas y cartas cartográficas con el propósito de representar gráficamente regiones de la Tierra.

Elementos de un mapa

Los mapas pertenecen a una forma de comunicación que emplea una serie de símbolos y nomenclaturas que permiten comprender amplias regiones de Tierra en una pequeña porción de papel u otro material. Es por ello que es importante comprender los elementos más importantes de cualquier mapa:

  1. Título del mapa: indica el objeto de estudio que se trata en el mapa. El título debe expresar con claridad el tema que se representa (relieve, distribución demográfica, precipitaciones, etc.). De igual forma, el título debe indicar el recorte espacial, es decir, la zona (continente, país, municipio, etc.) que se representa. Los títulos también pueden indicar el recorte temporal (un período de tiempo) especialmente en los temas relacionados con actividades humanas que pueden cambiar de forma rápida.
  1. Leyenda: presenta la codificación expresada en el mapa, es decir, explica la simbología usada.
La leyenda de un mapa indica la simbología usada en el mismo.
  1. Escala: señala la proporción que existe entre la medida del mapa y la de del terreno real. De esta manera, el lector puede tener una referencia a escala del territorio representado en el mapa. Las escalas pueden representarse de forma explícita cuando se indica por ejemplo, 1 cm = 100 km; de forma numérica cuando se muestra la fracción matemática como por ejemplo, 1/10.000 y de forma de regla graduada.
  1. Referencia de orientación: permite conocer la dirección de los elementos del mapa. Por convencionalismo se suele usar una rosa de los vientos para señalar la ubicación de los puntos cardinales, sin embargo, la orientación puede mostrarse de diversas formas según la persona que elabore el mapa.
La rosa de los vientos se emplea en los mapas desde tiempos muy antiguos y su origen puede remontarse a la navegación.
  1. Coordenadas geográficas: es un sistema de referencia ideado para ubicar con exactitud un lugar en el mundo en función a la longitud y latitud.

Símbolos de un mapa

La nomenclatura y simbología usada en los mapas es muy diversa y varía de acuerdo al tipo de mapa, algunos ejemplos son carreteras, ríos y espacios urbanos, entre otros. De igual forma también se emplean diferentes colores y tonalidades para representar algún elemente como la profundidad oceánica o las elevaciones topográficas. Por esta razón es importante que la leyenda del mapa sea lo más clara posible para evitar confundir al lector al momento de interpretar el mapa.

Tipos de mapas

Existen varios tipos de mapas, los más comunes son:

Mapa físico

Representa la parte geográfica de una zona o región, en este mapa se puede encontrar información sobre el relieve, los valles, ríos, montañas y demás accidentes geográficos. En algunos casos a través de colores se puede señalar las diferencias de altura.

Los mapas físicos señalan los elementos geográficos de un terreno.

Mapa político

Representa de forma gráfica cómo se dividen políticamente los países, estados, municipios, etc. Estos mapas son de los más usados porque permiten conocer límites entre localidades, además indican las ciudades o capitales de mayor relevancia. También se pueden señalar los principales ríos y montañas.

Los mapas políticos indican las divisiones imaginarias que existen entre países, estados, municipios y demás localidades.

Otros mapas

  • Mapa geológico
  • Mapa de suelo
  • Mapa hidrográfico
  • Mapa urbano
  • Mapa topográfico

Importancia de los mapas

Desde siempre el hombre ha necesitado conocer el lugar en donde vive y por eso ha representado por escrito su entorno de forma más precisa a medida que las tecnologías evolucionaban. Como se mencionaba anteriormente, existen varios tipos de mapas que permiten usarlos en muchos áreas. Por ejemplo, los mapas geológicos permiten a los especialistas identificar fallas en el terreno, los mapas de suelo permiten identificar las mejores áreas de cultivo y los mapas topográficos permiten predecir el comportamiento de una inundación.

Muchas de las actividades que a veces ignoramos como el desarrollo urbano emplean mapas para la consecución de proyectos como instalaciones de redes de agua o de gas. Por esta razón, la importancia de los mapas es incalculable en el desarrollo de nuestra sociedad.

Los mapas geológicos permiten identificar fallas.

Estructuras de Lewis

Estudiar cómo se combinan los elementos químicos en la naturaleza es primordial para la química aplicada, es por ello que a lo largo de los años se han planteados diversas teorías y formas de representación que facilitan el entendimiento de los compuestos químicos.

Los átomos se combinan entre sí para formar diversos compuestos o sustancias químicas, esto implica la formación de enlaces químicos entre los átomos involucrados en las reacciones químicas. En función de la naturaleza química se conocen tres tipos de enlace:

  • Enlace iónico: se forma como resultado de las fuerzas electrostáticas existentes entre iones de carga opuesta. Este tipo de enlace implica la transferencia de electrones de un átomo a otro.
  • Enlace covalente: es aquel donde dos átomos comparten electrones, en función del número de electrones compartidos se distinguen tres tipos de enlaces covalente: simple (2 e), doble (4 e) y triple (6 e).
  • Enlace metálico: en este tipo de enlaces los electrones se mueven dentro de la red tridimensional del metal, lo que le confiere al mismo su propiedad característica, la conductividad eléctrica.

Los electrones que participan en un enlace químico se denominan electrones de valencia y son aquellos que se encuentran en la capa más externa de los átomos.

 

Átomo de nitrógeno.

Estructuras de Lewis

Lewis fue un químico estadounidense que propuso simbolizar los electrones de valencia mediante el uso de puntos que se ubican arriba, abajo y a los lados del símbolo químico de cada elemento, esta forma de representación se conoce como símbolos de Lewis.


Los símbolos punto-electrón para construir las denominadas estructuras de Lewis de diversas moléculas o compuestos son una herramienta útil al momento de estudiar los enlaces químicos, formación y tipos.

Regla del octeto

Cuando se forma un enlace químico los átomos pierden, ganan o comparten electrones con la finalidad de emular la configuración electrónica del gas noble más cercano a ellos, los cuales deben su estabilidad al número de electrones que contienen en su capa de valencia.

Símbolos de Lewis de los gases nobles.

 

Con excepción del helio, todos los gases nobles poseen ocho electrones en la capa de valencia, hecho en el que se fundamenta la denominada regla del octeto: los átomos tienden a ganar, perder o compartir electrones hasta estar rodeados por ocho electrones de valencia.

A continuación se muestran algunos ejemplos de estructuras de Lewis:

  • Metano
    • Fórmula química: CH4
    • Tipo de enlace: covalente
    • Configuración electrónica:


  • Estructura de Lewis:


  • Dióxido de carbono
    • Fórmula química: CO2
    • Tipo de enlace: covalente
    • Configuración electrónica:


  • Estructura de Lewis:


  • Agua
    • Fórmula química: H2O
    • Tipo de enlace: covalente
    • Configuración electrónica:


  • Estructura de Lewis:


Estructura de Lewis en compuestos iónicos

Uno de los compuestos iónicos más utilizados es la sal de mesa, compuesta por cloruro de sodio dibujar su estructura de Lewis sigue el siguiente procedimiento:

  1. Escribir la formula química: NaCl
  2. Conocer el tipo de enlace: iónico.
  3. Realizar la configuración electrónica, considerando el efecto de las cargas en el anión y catión.

 

  1. Realizar la estructura de Lewis.


Excepciones de la regla del octeto

La regla del octeto no se cumple para todos los compuestos químicos, las excepciones se pueden resumir en tres casos:

  • Moléculas que tienen un número impar de electrones

La presencia de un número de electrones impar hace imposible que los mismos se apareen totalmente y por tanto al menos uno de los átomos involucrados no alcanza el octeto. Por ejemplo el monóxido de nitrógeno (NO).

Estructura de Lewis del monóxido de nitrógeno.

 

  • Moléculas con menos de ocho electrones

Son aquellas moléculas donde un átomo o ion de la misma no puede alcanzar el octeto, un caso emblemático es el trifloruro de boro (BF3).

Estructura de Lewis del trifloruro de boro.

 

  • Moléculas con más de ocho electrones

Son compuestos químicos donde al menos uno de los átomos o iones sobrepasa los ocho electrones en la capa de valencia. Algunos ejemplos representativos son el pentacloruro de fosforo (PCl5).

Estructura de Lewis del pentacloruro de fosforo.

¿Qué debes saber para dibujar estructuras de Lewis?

Para dibujar una estructura de Lewis es necesario dominar los conceptos básicos de la química y sus elementos. Algunas de las consideraciones a tener en cuenta son:

  1. Determinar los electrones de valencia de los elementos involucrados, para ello se puede usar una tabla periódica. También es importante recordar que en el caso de los iones se deben sumar o restar electrones en la capa de valencia; para los aniones cada carga negativa significa que se debe sumar un electrón, en tanto, para los cationes una carga positiva implica que se debe restar un electrón.
  2. Escribir los símbolos químicos e indicar que tipo de enlace los une. Por lo general, las fórmulas químicas indican el orden de unión de los átomos mientras que la naturaleza del enlace está determinada por la diferencia de electronegatividad que existe entre los mismos.
  3. Completar primero los octetos de los elementos unidos al átomo central.
  4. Colocar los electrones faltantes en el átomo central aun si no cumplen con la regla del octeto.
  5. Cuando el átomo central no cumple con el octeto es recomendable probar con enlaces múltiples.
  6. Conocer las excepciones de la regla del octeto.