Operaciones en el sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de base 60 que tiene su origen en la antigua Babilonia. En la actualidad se aplica a las medidas del tiempo y a la amplitud de los ángulos.

En la antigüedad, los habitantes de Levante mediterráneo, Mesopotamia y Persia contaban utilizando las tres falanges de los dedos: meñique, anular, medio e índice. Con el dedo pulgar realizaban dicha cuenta, comenzando por el dedo meñique podían llegar a contar hasta 12.

Si se deseaba contar más que 12, se levantaba un dedo de la mano libre cada vez que se completaba el conteo de la docena, de este modo se podía llegar hasta el número 60 (12×5).

¿Sabías qué...?
Para simbolizar minutos se utiliza la abreviatura “min”, ya que la “m” corresponde a metros, unidad de longitud.
Dos dedos evantados: 2 x 12=24 – La mano abierta indica que se contó hasta la falange que representa al 5. Por lo tanto 24+5=29.

Esta forma de contar, sumado a que los babilonios dividían a la circunferencia (360O) en seis partes, siendo 60 el resultado de dividir 360 entre 6 y teniendo en cuenta que el 60 es el mínimo común múltiplo de los seis primeros números naturales, hacen que el sistema en base 60 haya sido fácilmente adoptado en la antigüedad y mantenido en el tiempo.

USOS DEL SISTEMA

El sistema sexagesimal se utiliza para medir tiempos y ángulos. Con respecto al tiempo, sus unidades son horas, minutos y segundos; y a la medición de ángulos le corresponden grados, minutos y segundos.

TIEMPO ÁNGULOS
horas minutos segundos grados minutos segundos
h min s º ’’

Este sistema es posicional y 60 unidades de un orden forman una unidad. Por tanto, se desprende que al medir tiempos:
60 segundos corresponde a 1 minuto.
60 minutos corresponde a 1 hora.
Del mismo modo cuando se miden ángulos:
60‘‘ equivalen a 1’
60’ equivalen a 1º

Se pueden realizar las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división en sistema sexagesimal tanto para medidas de tiempo como para cálculos con ángulos.

SUMA DE ÁNGULOS

35°40’25’’ + 27°23’10’’ =

Para sumar dos ángulos debemos realizar los cálculos en forma vertical:

35°40’25’’
+ 27°23’10’’

Luego realizamos la suma comenzando de derecha a izquierda: primero los segundos, luego sumamos los minutos y finalmente los grados.

35°40’25’’
+ 27°23’10’’
62°63’35’’

Cuando en los segundos o en los minutos los valores sobrepasan al número 59, debemos restar el número 60 tantas veces como sea necesario.

35° 40’ 25’’
+27° 23’ 10’’
62° 63’ 35’’
+ 1° -60’     
63° 3’ 35’’

Siempre que se restan 60’, se debe sumar 10; esto es
debido a la equivalencia correspondiente.

Con este procedimiento obtuvimos el resultado:

35°40’25’’+27°23’10’’ = 63° 3’ 35’’

RESTA DE ÁNGULOS

125° 48’ 20’’- 80°15’30’’=

Del mismo modo que en la suma, colocamos los ángulos encolumnando grados, minutos y segundos.

47’ 80’’
125° 48’ 20’’
– 80° 15’ 30’’
45° 32’ 50’’

Respondemos:
125° 47’ 80’’- 80°15’30’’= 45° 32’ 50’’

Cuándo el minuendo es menor al sustraendo, se pide “prestado” a los minutos.

En este ejercicio, 1’ se convierte en 60’’.
Se suman 20’’+60’’ y el minuendo se convierte en 80’’.
No se debe olvidar restarle ese minuto “prestado” a los 48’, que quedan en 47’.

MULTIPLICACIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO

41° 20’ 33’’. 2 =

Colocamos la multiplicación del siguiente modo:

41° 20’ 33’’
            x 2
82° 40’ 66’’

Ya que 66’’ es mayor a 59’’, debemos proceder a restarle 60’’.

41° 20’ 33’’
            x 2
82° 40’ 66’’
     +1’-60’’
82° 41’ 6’’

Escribimos la respuesta solicitada:

41° 20’ 33’’. 2 = 82° 41’ 6’’

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO

75° 1’36’’ : 3 =

Ubicamos el dividendo y el divisor de la siguiente manera:

75° 4’ 36’’  | 3     
0°                25°

Primero dividimos los grados. Continuamos con la división de los minutos:

75° 4’ 36’’   | 3  
0     1’ 60’’   25°1’

Cuando el resto es distinto de cero, se debe realizar la equivalencia correspondiente.

En este caso convertimos 1’ en 60’’. Al realizarlo, ya no tenemos más minutos para dividir y los segundos se modifican. En el ejercicio que estamos realizando nos queda 36’’+60’’=96’’.

75° 4’ 36’’  | 3  
0°  0’  60’’    25°1’32’’
96’’
0

En forma análoga se trabaja con unidades de tiempo. Veamos un ejemplo de suma:

5h 45 min 12 s + 3h 17min 9 s=

5h 45 min 12 s
3h 17 min 9 s  
8h 62 min 21s
+ 1h -60 min  
9h 2min 21s

60 minutos es equivalente a 1 h, por lo tanto se restan 60 minutos en la
columna de los minutos, pero no se debe olvidar sumar 1 en la columna de las horas.

Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades

La matemática está constituida por numerosos tipos de operaciones, sin embargo, existen 4 operaciones básicas que todo individuo debe conocer. Estas operaciones son: la suma, la resta, la multiplicación y la división. A continuación estudiaremos las propiedades de dichas operaciones.

Operaciones básicas de la matemática.
Operaciones básicas de la matemática.

Propiedades de la suma

  • Propiedad asociativa: en esta propiedad al sumar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden en el cual se efectúan los sumandos, es decir, el orden en el cual se sumen los factores no altera el resultado.
  • Propiedad conmutativa: en esta propiedad al sumar dos o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los sumandos, es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.
  • Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es el cero. La suma de cualquier número y cero da como resultado el número original, es decir, el mismo número.
Símbolos de suma y resta.
Símbolos de suma y resta.

Propiedades de la resta

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la resta es el cero. La resta de cualquier número y cero da como resultado el número original, es decir, el mismo número.
  • Elemento simétrico: restar un número con su opuesto, es decir, un número con el mismo valor, produce como resultado el elemento neutro de la resta 0.

Propiedades de la multiplicación

  • Propiedad asociativa: en esta propiedad al multiplicar tres o más números, el resultado es el mismo sin importan como se agrupen o efectúen los factores.
  • Propiedad conmutativa: en esta propiedad al multiplicar dos o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos, es decir, el orden de los factores no altera el producto.
  • Elemento neutro: el elemento neutro de la multiplicación es el uno. La multiplicación de cualquier número y uno da como resultado el número original, es decir, el mismo número.
  • Propiedad distributiva: en esta propiedad, al multiplicar un número por una suma o una resta, se multiplica el número por cada uno de los elementos contenidos en el paréntesis y luego se suma o resta según sea el caso.

 

Tablas de multiplicar.
Tablas de multiplicar.

Propiedades de la división

  • Cuando se dividen dos números naturales o enteros, el resultado no siempre es otro número natural o entero, es decir, la división no es una operación interna de este tipo de números.
  • Cuando se intercambian de lugar el divisor con el dividendo no se obtiene el mismo resultado, es decir, la división no es una operación conmutativa.
  • Como consecuencia de que no existe ningún cociente que multiplicado por cero sea igual al dividendo, no se puede dividir por dicho número.
  • Una división es exacta si el dividendo es igual al divisor por el cociente y es entera si el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

Ejemplo 1

→ División exacta

Donde:

20 = dividendo

4 = divisor

5 = cociente

0 = resto

Ejemplo 2

→ División entera

Donde:

18 = dividendo

5 = divisor

3 = cociente

4 = resto

Indica la propiedad efectuada en las siguientes operaciones:

Para practicar

  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • → Propiedad: _______________
  • Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades necesarias:
  • Resultado: 13
  • Resultado: 20
  • Resultado: 72
  • Resultado: 80
  • Resultado: 22
  • Resultado: 10
  • Resultado: 8
  • Resultado: -100

Operaciones con números decimales

En las matemáticas hay ocasiones en las que se desea hablar de cantidades de forma más precisa, por lo que se recurre a los números decimales, estos números cuentan con una forma propia de aplicar las operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división.

¿Qué son los números decimales?

Son valores que sirven para expresar números racionales e irracionales. Todo número decimal está formado por una parte entera y una parte decimal. En este sentido, un número que pertenece al conjunto de los números reales, se representa de forma decimal de la siguiente manera:

d = a, a1, a2…an

Dónde:

a: es un número entero cualquiera.

a, a1, a2…an: representan los decimales donde se cumple para cada uno de ellos que 0 ≤ ai ≤ 9

En algunos países como Estados Unidos se usa el símbolo del punto para expresar la coma decimal.

Cifras decimales

Para leer e interpretar el valor posicional de números decimales se debe considerar la ubicación de los decimales.

0,1 Décima
0,01 Centésima
0,001 Milésima
0,0001 Diezmilésima
0,00001 Cienmilésima
0,000001 millonésima

De esta forma, el número 132,486579 se puede descomponer en sus unidades de la siguiente forma:

Centena (C) Decena (D) Unidad (U) Coma decimal Décima (d) Centésima (c) Milésima (m) Diezmilésima Cienmilésima Millonésima
1 3 2 , 4 8 6 5 7 9

De este modo, 132 representa la parte decimal y resto de los números corresponden a su parte decimal.

Operaciones con decimales

  • Suma

Para realizar sumas de números decimales se deben colocar los números uno debajo del otro de forma tal que coincidan cada una de sus unidades. En caso de ser necesario se completa con 0 las unidades que no aparezcan reflejadas en la operación. Una vez hecho esto, se realiza a suma de forma convencional y se ubica la coma decimal en su respectivo lugar.

Por ejemplo:

– Resolver 2,785 + 5,14

Recordemos las unidades de dichos números:

Se colocan los números uno de bajo del otro, como 5,14 no tiene milésimas se coloca un 0 en la columna correspondiente a dicho número:

Se resuelve la suma de forma convencional y se coloca la coma decimal en su respectiva columna:

De manera que el resultado de 2,785 + 5,14 es igual a 7,925.

El número pi (π) es un número decimal y es el resultado de dividir la longitud de cualquier circunferencia entre su radio.
  • Resta

Se resuelve de forma similar a la suma. Es decir se ubican los números uno debajo del otro de manera que coincidan sus unidades correspondientes y luego se resuelve la operación de sustracción de forma convencional. Al final se coloca la coma en su columna respectiva.

Por ejemplo:

-Resuelva 8,513 – 4,372

Recordemos las unidades de dichos números:

Se colocan los números uno debajo del otro de acuerdo a su unidad y se resuelve la resta:

En este caso no se completó con 0 debido a que ambos números tenían la misma cantidad de cifras decimales.

El resultado de 8,513 – 4,372 es igual a 4,141.

  • Multiplicación

En las multiplicaciones puede haber cifras decimales en cualquiera de los dos factores, o incluso en ambos. Las multiplicaciones se resuelven de manera convencional, la única diferencia es que el número de cifras decimales de los factores corresponderá a las cifras decimales del resultado.

Por ejemplo:

-Resolver 635 x 2,5

Se resuelve la multiplicación de manera convencional sin considerar por el momento la coma:

El paso siguiente es colocar la coma en el resultado de manera tal que tenga el mismo número de decimales que los dos factores. En este caso los factores son 635 y 2,5:

635 → no tiene cifras decimales.

2,5 → tiene una sola cifra decimal.

Como 635 no tiene cifras decimales y 2,5 tiene una sola cifra decimal, entonces el resultado deberá tener una cifra decimal, de manera que el resultado de la multiplicación es 1.587,5:

Otra forma de saber la ubicación de la coma es mover la coma a partir de la última cifra de resultado tantos espacios como cifras significativas tengan los factores. De la siguiente forma:

Otro ejemplo:

-Resuelva 1,45 x 3,78

Se resuelve con el mismo procedimiento anterior:

El factor 1,45 tiene 2 cifras decimales y el factor 3,78 también tiene 2 cifras decimales. De manera que el número total de cifras decimales de los dos factores es 4. Es decir, el resultado deberá tener cuatro cifras decimales, por lo tanto será 5,8110:

Las cifras decimales que terminan en cero se pueden omitir, por lo tanto el 5,8110 es lo mismo que 5,811.

Multiplicación por la unidad seguida de cero

Cuando se multiplican decimales por la unidad seguida de cero, el resultado será igual a las mismas cifras que componen del número decimal. La diferencia es que la coma se moverá a la derecha tantos espacios como el número de ceros del número entero.

1,55 x 10 = 15,5

En caso de que el número de ceros de la unidad sea mayor al número de decimales, se completa con ceros has cumplir con los espacios.

2,479 x 10.000 = 24790,0

El mismo resultado se obtiene si se multiplican dichos factores de la forma convencional explicada anteriormente.
  • División

Puede ser de tres formas diferentes: dividendo decimal y divisor entero, dividendo entero y divisor decimal, dividendo decimal y divisor decimal.

Dividendo decimal y divisor entero: se realiza la división como si fueran ambos números enteros, la diferencia, es que se coloca la coma al momento de bajar la primera cifra decimal del dividendo.

Por ejemplo:

-Resuelva 2,84 : 2

Se resuelve la división como si se tratase de divisiones con números enteros:

 Como el 8 es la primera cifra decimal del dividendo, se coloca la coma al momento de bajar dicha cifra mientras se resuelve la división.

El resultado de 2,84 : 2 es 1,42

Dividendo entero y divisor decimal: en este caso se suprime la coma del divisor y se colocan tantos ceros al dividendo como cifras decimales tuviera el divisor inicialmente.

Por ejemplo:

Resolver 896 : 3,2

Se suprime la coma del divisor:

3,2 → 32

Como 3,2 tiene una sola cifra decimal, se agrega un cero al dividendo

896 → 8.960

De manera que la división quedaría 8.960 : 32 y se resuelve como una división convencional sin decimales:

 De esta manera el resultado de 896 : 3,2 es 280

Dividendo decimal y divisor decimal: en este caso se suprime la coma del divisor y se mueve la coma del dividendo hacia la derecha tantos espacios como cifras decimales tenga el divisor.

Por ejemplo:

-Resuelva 4,340 : 3,5

Se elimina la coma del divisor:

3,5 → 35

Se mueve la coma del dividendo tantos espacios a la derecha como cifras decimales tenga el divisor. En este caso, como el divisor es 3,5 tiene una cifra decimal por lo tanto, la coma del dividendo se debe mover un espacio a la derecha:

4,340 → 43,40

De esta manera la división a resolver quedaría 43,40 : 35, es del primer tipo que se explicó anteriormente (dividendo decimal y divisor entero) y se resuelve de la siguiente forma:

De manera que el resultado de 4,240 : 3,5 es 1,24

En caso de ser necesario, se pueden agregar ceros al divisor de la misma forma que se hace en las divisiones sin decimales.

Microsoft Excel

El cálculo matemático ha sido una de las disciplinas ante las cuales el hombre ha sentido la necesidad de abastecerse de tecnologías que facilitasen su resolución y, ya desde la antigüedad, instrumentos como el ábaco han ido restando complejidad al acto de “hacer cuentas”, elemento crucial en la conformación de las sociedades modernas. A partir del siglo XXI, un software que ha ayudado mucho al hombre y sus cálculos matemáticos es Microsoft Excel, del cual hablaremos en este artículo.

Hojas de cálculo

Las hojas de cálculo, al permitir una serie de relaciones lógicas entre cifras según las cuales la disminución o aumento de un valor provoca la variación automática de otros valores a él subordinados, es el paso decisivo en favor de la simplificación de la matemática contable. A través de un lenguaje simple que permite la fácil introducción de fórmulas y funciones, programas como Microsoft Excel convierten la tarea de llevar al día la contabilidad de un negocio o bien el recuento de un stock en un verdadero juego de niños.

La interfaz de Excel

Una hoja de cálculo de Microsoft Excel está formada por una o más cuadrículas de extensión agrupadas en un libro, de modo que puedan englobarse distintas tablas referentes a un mismo asunto en un solo archivo.

Cada hoja de nuestro libro es accesible a través de las pestañas situadas en la parte inferior izquierda de la pantalla, justo encima de la barra de estado. Podemos nombrar las distintas hojas o bien añadir hojas nuevas mediante la pulsación del botón derecho del ratón sobre una de las pestañas existentes, que despliega un sencillo menú contextual.

Determinada la estructura de hojas de nuestro libro, podemos proceder al rellenado de la cuadrícula de cada una de las mismas. Pulsando sobre una casilla cualquiera podemos teclear un valor numérico o bien una cadena de texto. A continuación, y al igual que ocurría con Word, con la barra de formato podemos moldear esta información.

Introducción de funciones en una hoja de cálculo

La verdadera utilidad de una hoja de cálculo no radica en la posibilidad de plasmar en formato tabla una serie de datos y cifras, sino en la capacidad del programa de hacer cálculos que relacionen estas cifras y de que estas fórmulas se muestren sensibles a la modificación de los valores de los que parten. Esto se consigue gracias a la introducción de funciones, accesible a través de la opción “Función…” del menú Insertar o bien por medio del icono de función de la barra estándar. Estos parámetros dan paso a un cuadro de diálogo en el que se pide al usuario que escoja qué tipo de cálculo desea realizar entre un extenso inventario de operaciones matemáticas. Una vez decidido, un segundo cuadro nos permite introducir que tipo de intervalo de celdas van a estar envueltas en la operación matemática, dándonos también la posibilidad de marcar por medio del ratón de qué celdas de la cuadrícula se trata.

Las fórmulas pueden introducirse asimismo de forma manual en los campos en los que deben figurar sus resultados, tecleando en los mismos la fórmula a realizar precedida por el símbolo igual (por ejemplo, para sumar los valores de las celdas A4 y A5 y que el resultado figure en la celda A6, deberíamos teclear en esta última celda = A4 + A5).

Las bases de datos

A lo largo de nuestra vida, por motivos diferentes y casi sin darnos cuenta trabajamos con montones de bases de datos, desde colecciones de discos o listines telefónicos a inventarios de calificaciones académicas o listas de elementos relacionadas con casi cualquier ámbito laboral; es común la necesidad de tener ordenados, según distintos criterios, e interconectados entre sí una serie de datos. Los programas de gestión de bases de datos, con Microsoft Access como claro estándar, permiten precisamente la correcta gestión de los datos de esta naturaleza.

 

Logo de Excel

Estructura de una base de datos

La fuente principal a partir de la cual se vertebra una base de datos, como se extrae de lo que acabamos de decir, es una o varias relaciones entre elementos, o lo que es lo mismo, uno o varios listados que vinculen dos o más datos.

Una tabla en la que se encuentren los nombres de nuestros amigos, la dirección y el teléfono de cada uno de ellos constituye el esqueleto de una base de datos, por ejemplo.

Por todo ello, el requisito principal para la constitución de una base de datos, y por tanto su elemento indispensable, es la tabla.

Una vez introducidas en el programa una o más tablas (de forma manual o bien importando una tabla desde otro programa de la suite de Office), podemos modificar los criterios de ordenación de sus campos y la cantidad de los mismos que deseamos que aparezcan en pantalla creando una consulta. Esta función es también útil para conectar entre sí dos o más tablas con algún dato en común.

Establecidas estas relaciones y determinados los órdenes por los que se regirá la información, podemos conseguir vistosas presentaciones para impresora, o bien crear páginas intuitivas para la introducción de nuevos registros o modificación de los registros existentes por medio de los denominados formularios.

Estas cuatro categorías, junto con las macros y los módulos (que sirven, respectivamente, para englobar una serie de procedimientos avanzados en una única acción y para la incorporación a la base de instrucciones en lenguaje Visual Basic) constituyen los medios que permitirán obtener el mayor rendimiento de una base de datos.

Sumar con tres sumandos

En tercer grado aprendemos a sumar con tres sumandos, es muy fácil, hay que seguir los pasos. No te olvides de ninguno y te convertirás en un experto.

Para resolver sumas con más de dos cifras debemos escribir las unidades, las decenas y las centenas, una debajo de la otra. Esto es porque las unidades se suman con las unidades, las decenas con las decenas y así sucesivamente. Entonces:

En este caso, el 3, el 4 y el 8 son las unidades; los números 5, 2 y 6 de la columna del medio pertenecen a las decenas y por último, el 2, el 1 y el 3 corresponden a las centenas. Comenzamos sumando las unidades:

El 1 que está arriba del 5 es el número que me llevo de sumar

Luego las decenas:

Aquí nuevamente tenemos que llevarnos 1, dada la suma

Por último, sumamos las centenas:

Por lo tanto, la suma de 1+2+1+3=7

En conclusión, cada vez que hay que sumar tres o más sumandos, se deben tener en cuenta los pasos que se hiceron anteriormente.