CAPÍTULO 5 / EJERCICIOS

movimientos

Características del movimiento

1. Investiga sobre la frase “El movimiento es relativo” y explica lo que significa con tus propias palabras.

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2. Escribe el  nombre del término al que corresponde cada definición.

  • ______________________________: punto o posición desde donde comienza el movimiento.
  • ______________________________: representación gráfica del movimiento.
  • ______________________________: eje de las coordenadas representado con la letra Y.
  • ______________________________: eje de las abcisas representado con la letra X.

rapidez, velocidad y aceleración

1. En las siguientes oraciones, responde con una V si es verdadero o F si es falso. En caso de ser falso, justifica la respuesta.

  • Cuando decimos que un vehículo viaja a 100 km/h nos referimos a su trayectoria.  (   )

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  • La velocidad incluye la rapidez y la dirección de un móvil.  (   )

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  • La medida de la velocidad se conoce como vectorial, ya que dispone de un valor escalar y una dirección.  (   )

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  • En la velocidad media, la dirección y el sentido son diferentes.  (   )

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2. Realiza con tus propias palabras una definición para cada una las siguientes opciones y explica de qué manera se puede graficar.

  • Velocidad instantánea: _______________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________.

  • Aceleración: _______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________.

3. Resuelve los siguientes ejercicios:

  • Un automóvil tiene una velocidad inicial de 30 m/s y 10 segundos más tarde alcanza una velocidad final de 60 m/s ¿Cuál es su aceleración?

Solución:

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  • Una pelota rueda hacia la derecha en línea recta y recorre una distancia de 15 m en 10 s. Calcular la rapidez.

Solución:

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tipos de movimientos

1. Completa las siguientes oraciones:

  • En el movimiento rectilíneo el móvil se desplaza en un solo sentido, con _____________ y _____________ constante, y no pasa por los mismos puntos del recorrido.
  • Todos los cuerpos en caída libre tienen un movimiento _____________.
  • En el _________________________ la velocidad en la que se mueve el vector es invariable en módulo, dirección y sentido.
  • Al movimiento en el que el móvil cae en forma vertical desde cierta altura y sin obstáculos se lo llama ____________________.

2. Describe con un ejemplo los diferentes tipos de movimientos y dibuja su trayectoria.

  • Movimiento rectilíneo uniforme

Ejemplo: ___________________________________________________________________________________.

Trayectoria:

 

 

  • Movimiento rectilíneo uniformemente variado

Ejemplo: ___________________________________________________________________________________.

Trayectoria:

 

 

  • Caída libre

Ejemplo: ___________________________________________________________________________________.

Trayectoria:

 

 

  • Movimiento parabólico

Ejemplo: ___________________________________________________________________________________.

Trayectoria:

 

 

  • Movimiento circular

Ejemplo: ___________________________________________________________________________________.

Trayectoria:

 

 

  • Movimiento ondulatorio

Ejemplo: ___________________________________________________________________________________.

Trayectoria:

 

 

Conceptos fundamentales de cinemática: aceleración 

Cuando un automóvil aumenta su velocidad decimos que está acelerando, y si ese aumento de velocidad se produce en un espacio de tiempo muy corto decimos que el automóvil ha acelerado muy deprisa. La aceleración es, pues, una variación de la velocidad por unidad de tiempo.

Puede ser positiva o negativa, produciendo un aumento o una disminución de la velocidad. En el caso de un movimiento curvilíneo, la aceleración produce una variación del módulo y de la dirección del vector velocidad. Podemos definir de forma rigurosa la aceleración diciendo que es la velocidad de la velocidad. Es decir, que la aceleración representa para el vector velocidad lo mismo que la velocidad para el vector de posición.

Partiendo de esta idea, definiremos la aceleración media de un móvil entre dos puntos de su trayectoria P0 y P (o, lo que es lo mismo, entre dos instantes t0 y t) de forma análoga a como definimos la velocidad media, es decir, como:

Ejemplo

A partir de esta definición de aceleración media, podemos definir la aceleración instantánea mediante un paso al límite similar al que aplicamos para definir la velocidad instantánea. Si el punto P está próximo al punto P 0, podemos escribir:

Cuando ∆t→0 tiende a cero, atiende hacia un vector aplicado en el punto P0. Ese vector es la aceleración instantánea en P0.

Hodógrafa

Cuando un móvil M recorre una determinada trayectoria, en cada punto de ésta tendremos un vector velocidad, que, por ejemplo, en el punto P0 será v(t0).

Ejemplo

Tomamos un punto O  y colocamos en él los vectores velocidad correspondientes a todos los puntos de la trayectoria de M. Los extremos de esos vectores dibujan una curva que es la hodógrafa del movimiento.

Ejemplo

La hodógrafa sería la trayectoria de un móvil M  cuyo vector de posición fuese v(t). El vector velocidad del móvil M  en el punto P  de la hodógrafa coincide con el vector aceleración en el punto P correspondiente de la trayectoria del móvil M, lo que justifica pensar la aceleración como la velocidad de la velocidad.

Polo de la hodógrafa

Punto fijo O’ en el que se sitúan vectores equipolentes a los vectores velocidad del movimiento de un punto material para dibujar la curva hodógrafa.

Dimensiones y unidades de la aceleración

La aceleración es una velocidad dividida por un tiempo, por lo que, como [v] = [L]·[T]-1, las dimensiones de la aceleración serán las de una longitud dividida por un tiempo al cuadrado[a] = [L]·[T]-2. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en m/s2, mientras que en el sistema CGS se mide en cm/s2.

Conceptos fundamentales de cinemática: componentes de la aceleración 

En un movimiento curvilíneo, el vector velocidad está situado sobre la recta tangente a la trayectoria en el punto considerado. En general, es imposible hacer una afirmación de la misma sencillez sobre la dirección del vector aceleración, pero si éste se descompone según dos ejes, uno tangente a la trayectoria y otro normal a éste (componentes intrínsecas de la aceleración) es fácil comprender la variación que la aceleración impone a la velocidad.

Ejemplo

La utilidad de esta descomposición estriba en que, en el caso general, en un movimiento curvilíneo, la aceleración tiene dos efectos:

  1. Cambia el módulo del vector velocidad
  2. Curva la trayectoria o, lo que es lo mismo, cambia la dirección del vector velocidad.

La primera de estas dos acciones se debe a la aceleración tangencial at, que es la componente de la aceleración sobre la recta tangente a la trayectoria en el punto considerado. Esta aceleración, por tener la misma línea de acción que la velocidad, no afecta a la dirección de ésta, sino sólo a su módulo. La segunda acción de la aceleración se debe a la aceleración normal a, que, por ser perpendicular a la dirección del vector velocidad, no afecta a su módulo, pero sí a su dirección.

Mediante métodos propios de la geometría diferencial es posible hallar fórmulas que dan los módulos de at, y apara un movimiento según una trayectoria cualquiera. Dichas fórmulas son:

Cuando 

Donde ρ es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado.

Conceptos fundamentales de la cinemática: velocidad

En cinemática se definen diversos conceptos de velocidad.

Velocidad media e instantánea

La velocidad media de un móvil es la razón de su vector desplazamiento al intervalo de tiempo durante el cual se produce ese desplazamiento. Siendo el cociente de un vector por un escalar, la velocidad media es un vector cuya dirección y sentido son los mismos que los del vector desplazamiento. Si en el instante t0 el móvil está en el punto P0 y su vector de posición es r(t0), y en el instante t el móvil está en el punto P y su vector de posición es r(t), la velocidad media del móvil entre P0 y P será:

Un concepto distinto es el de celeridad o velocidad media sobre la trayectoria, que es una magnitud escalar que se define como el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo.

La velocidad instantánea es una magnitud vectorial que representa la velocidad que tiene el móvil en cierto instante o, lo que es lo mismo, en un punto determinado de su trayectoria. La velocidad instantánea debe representarse por un vector porque se trata de una magnitud que, además de ser cuantificable, tiene una orientación determinada. Veamos cómo se define.

Si en un instante t0 un móvil está en el punto P0 cuyo vector de posición es r(t0), una fracción de segundo más tarde, es decir, en el instante t0 + ∆t, estará en otro punto P cuyo vector de posición será r(t0 +  ∆t). La velocidad media del móvil durante el intervalo de tiempo ∆t sería entonces:

Si consideramos cada vez fracciones de segundo más pequeñas, es decir, ∆t más pequeños, el punto P se va acercando al punto P0, y la dirección del vector desplazamiento r(t0 + ∆t) – r(t0) se va acercando a la recta tangente a la trayectoria en el punto P0.

Ejemplo

Como el vector velocidad media,, tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, también la dirección dese irá acercando a la recta tangente a la trayectoria en P0.

Además de acercarse en dirección a la tangente, el vector desplazamiento, r(t 0 +  ∆t) – r(t 0), a medida que vamos considerando ∆t más reducidos, es cada vez más corto, es decir, que su módulo es cada vez más pequeño.

En el límite, esto es, cuando ∆t sea cero y el punto P se confunda con el punto P0, el vector desplazamiento se anulará.

Con el vector no ocurre lo mismo, ya que este vector es el cociente entre el vector desplazamiento y el incremento de tiempo considerado, o sea, el cociente entre r(t0 + ∆t) – r(t0) y ∆t. Al irse acercando P a P0, es decir, al irse haciendo cada vez más pequeño ∆t, el numerador y el denominador de ese cociente se van haciendo los dos cada vez más pequeños, pero el valor del propio cociente puede aumentar o disminuir, dependiendo de si el numerador decrece de forma más rápida o más lenta que el denominador.

Tenemos por lo tanto que al ir disminuyendo ∆t, la línea de acción del vectorse va acercando a la recta tangente a la trayectoria en P 0, mientras que el módulo dese va acercando a un determinado valor. Así el vector tiende a convertirse en un vector V(t0) aplicado en P0 y situado sobre la tangente a la trayectoria en ese punto. Ese vector V(t0) es la velocidad instantánea del móvil en el punto P0 o, lo que es lo mismo, en el instante t 0.

No particularizando un valor de t, notaremos este vector como V(t) o simplemente V.

Ejemplo

El proceso que hemos seguido para definir la velocidad instantánea se denomina paso al límite. Diríamos así que la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el incremento de tiempo tiende a cero (∆t → 0).

Cuando ∆t → 0, la celeridad o velocidad media sobre la trayectoria se va aproximando al módulo del vector velocidad media (la cuerda se aproxima al arco), con lo que la velocidad instantánea también puede definirse como un vector tangente a la trayectoria en el punto considerado cuyo módulo es el límite a que tiende la celeridad cuando  ∆t→ 0

Dimensiones y unidades de la velocidad

La velocidad tiene las dimensiones de una longitud dividida por un tiempo [L]·[T]-1. En el Sistema Internacional y en el técnico se expresa en metros por segundo (m/s), y en el CGS en centímetros por segundo (cm/s). En la práctica también se utilizan unidades basadas en múltiplos del metro y del segundo (km/h). Los marinos emplean una unidad propia: el nudo, que equivale a una milla marina por hora (1,85 km/hora).