{"id":3583,"date":"2020-08-11T09:32:15","date_gmt":"2020-08-11T12:32:15","guid":{"rendered":"http:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/?p=3583"},"modified":"2024-11-28T10:09:55","modified_gmt":"2024-11-28T13:09:55","slug":"capitulo-2-tema-3-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/?p=3583","title":{"rendered":"CAP\u00cdTULO 2 \/ TEMA 3"},"content":{"rendered":"

ECUACI\u00d3N<\/h1>\n

Cuando vemos operaciones matem\u00e1ticas con valores desconocidos es muy probable que estemos frente a ecuaciones. Estas son relaciones equivalentes con dos miembros separados por un s\u00edmbolo de igualdad. Para saber cu\u00e1nto valen estos t\u00e9rminos desconocidos debemos despejar, es decir, dejar “sola” a la inc\u00f3gnita, lo que se hace por medio de diversos pasos mostrados a continuaci\u00f3n.<\/em><\/strong><\/span><\/p>\n

La ecuaci\u00f3n y sus elementos<\/h2>\n

Una ecuaci\u00f3n es una igualdad<\/strong> que posee uno o m\u00e1s t\u00e9rminos desconocidos llamados inc\u00f3gnitas<\/strong>. El valor num\u00e9rico de dichas inc\u00f3gnitas es el \u00fanico que cumple la igualdad.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Los elementos de toda ecuaci\u00f3n son los siguientes:<\/p>\n

    \n
  • Primer miembro:<\/strong>\u00a0es el conjunto de t\u00e9rminos que se encuentra del lado izquierdo de la igualdad.<\/li>\n
  • Segundo miembro:\u00a0<\/strong>es el conjunto de t\u00e9rminos que se encuentra del lado derecho de la igualdad.<\/li>\n
  • T\u00e9rminos:<\/strong>\u00a0son todos los n\u00fameros y letras que conforman la ecuaci\u00f3n.<\/li>\n
  • Inc\u00f3gnita:<\/strong>\u00a0es el valor desconocido en la igualdad. En una ecuaci\u00f3n puede haber m\u00e1s de una inc\u00f3gnita.<\/li>\n<\/ul>\n

    \u00bfSab\u00edas qu\u00e9?<\/div>
    Si una inc\u00f3gnita aparece sola se sobreentiende que el coeficiente es 1, es decir, que est\u00e1 multiplicada por 1.<\/div><\/div>\n
    \"\"
    Una ecuaci\u00f3n es una igualdad establecida que permite determinar alguno de sus elementos respecto a los valores de los dem\u00e1s. Pueden ser literales o num\u00e9ricas. Son literales cuando por lo menos un elemento conocido est\u00e1 representado por una letra; y son num\u00e9ricas cuando sus elementos conocidos son n\u00fameros.<\/figcaption><\/figure>\n

    Ecuaciones seg\u00fan el grado<\/h3>\n

    El grado de una ecuaci\u00f3n es la mayor potencia a la que est\u00e1 elevada la inc\u00f3gnita. Seg\u00fan el grado las ecuaciones pueden ser:<\/p>\n

    Ecuaciones de primer grado<\/strong><\/p>\n

    Son aquellas ecuaciones donde la inc\u00f3gnita est\u00e1 elevada a la primera potencia. Tambi\u00e9n se las conoce como ecuaciones lineales. Por ejemplo:<\/p>\n

    \"\\boldsymbol{2x+5=3x-1}\"<\/p>\n

    Ecuaciones de segundo grado<\/strong><\/p>\n

    Son las igualdades cuya inc\u00f3gnita est\u00e1 elevada a la segunda potencia, es decir, al cuadrado. Por ejemplo:<\/p>\n

    \"\\boldsymbol{2x^{{\\color{Red}<\/p>\n

    Ecuaciones de tercer grado<\/strong><\/p>\n

    Son aquellas que contienen la inc\u00f3gnita elevada al cubo en al menos uno de sus t\u00e9rminos. Por ejemplo:<\/p>\n

    \"\\boldsymbol{4x^{{\\color{Red}<\/p>\n

    \n

    \u00a1Es tu turno!<\/strong><\/p>\n

    Observa esta ecuaci\u00f3n y responde:<\/p>\n

    \"\\boldsymbol{x^{3}-7x^{2}+4x+12=0}\"<\/p>\n

      \n
    • \u00bfCu\u00e1ntos t\u00e9rminos tiene en el primer miembro?<\/li>\n<\/ul>\n
      <\/span>Soluci\u00f3n<\/div>
      Tiene 4 t\u00e9rminos. <\/div><\/div>\n
        \n
      • \u00bfDe qu\u00e9 grado es la ecuaci\u00f3n?<\/li>\n<\/ul>\n
        <\/span>Soluci\u00f3n<\/div>
        La ecuaci\u00f3n es de tercer grado.<\/div><\/div>\n
          \n
        • \u00bfCu\u00e1ntas inc\u00f3gnitas tiene?<\/li>\n<\/ul>\n
          <\/span>Soluci\u00f3n<\/div>
          Tiene una sola inc\u00f3gnita: x.<\/div><\/div>\n<\/div><\/div>\n

          \u00bfSab\u00edas qu\u00e9?<\/div>
          Las inc\u00f3gnitas aparecen en las ecuaciones con una letra, generalmente es la x<\/em>, pero puede ser cualquiera.<\/div><\/div>\n
          \"\"
          Las ecuaciones pueden estar conformadas por una o m\u00e1s inc\u00f3gnitas y su soluci\u00f3n no siempre es un n\u00famero. De hecho, hay ecuaciones que tienen varias soluciones o incluso, hay otras que no tienen soluci\u00f3n. En todos los casos, es imprescindible dominar los procedimientos de despejes para poder analizarlas.<\/figcaption><\/figure>\n

          REGLAS DE DESPEJE DE ECUACIONES<\/h2>\n

          Para hallar la soluci\u00f3n de una ecuaci\u00f3n de primer grado debemos despejar la inc\u00f3gnita, esto significa que es necesario dejar a la inc\u00f3gnita “sola” en un miembro de la igualdad. Para esto seguimos las siguientes reglas:<\/p>\n

          Regla de la suma<\/h3>\n

          Consiste en sumar la misma expresi\u00f3n algebraica en ambos lados de la igualdad, de este modo obtenemos una ecuaci\u00f3n equivalente y por ende el mismo resultado. Por ejemplo:<\/p>\n

          \"x-8=24\"<\/p>\n

          Si sumamos 8 en ambos miembros de la ecuaci\u00f3n tenemos:<\/p>\n

          \"x-8+\\boldsymbol{8}=24+\\boldsymbol{8}\"<\/p>\n

          Al resolverlo:<\/p>\n

          \"x=\\boldsymbol{32}\"<\/p>\n

          A partir de ese principio, la regla de la suma tambi\u00e9n se denomina regla de transposici\u00f3n de t\u00e9rminos<\/strong> debido a que, para cambiar un t\u00e9rmino a otro miembro, se tiene que cambiar su signo. Por lo tanto, todo n\u00famero que se encuentre en forma de suma en un miembro de la igualdad pasa al otro miembro en forma de resta y viceversa.<\/p>\n

          Entonces, para despejar la inc\u00f3gnita lo \u00fanico que debemos hacer es pasar el\u00a0\u22128 como +8 al segundo miembro de la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n

          \"x-8=24\"<\/p>\n

          \"x=24+8\"<\/p>\n

          \"x=\\boldsymbol{32}\"<\/p>\n

          Regla del producto<\/h3>\n

          Establece que al multiplicar o dividir por un mismo n\u00famero en ambos miembros de la ecuaci\u00f3n el resultado es una ecuaci\u00f3n equivalente de la primera. Por ejemplo:<\/p>\n

          \"5x=20\"<\/p>\n

          Si dividimos entre 5 ambos miembros de la ecuaci\u00f3n tenemos:<\/p>\n

          \"\\frac{5x}{\\boldsymbol{5}}=\\frac{20}{\\boldsymbol{5}}\"<\/p>\n

          Al resolverlo:<\/p>\n

          \"x=\\boldsymbol{4}\"<\/p>\n

          Por medio de esta regla se deduce que los elementos que multiplican pasan al otro lado a dividir y los elementos que dividen pasan al otro lado a multiplicar. En el ejemplo anterior basta con pasar el 5 que multiplica a la inc\u00f3gnita a dividir el segundo miembro de la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n

          \"5x=20\"<\/p>\n

          \"x=\\frac{20}{5}\"<\/p>\n

          \"x=\\boldsymbol{4}\"<\/p>\n

          \u00bfc\u00f3mo solucionar una ecuaci\u00f3n de primer grado?<\/h2>\n

          Las ecuaciones de primer grado o lineales se caracterizan por tener su inc\u00f3gnita elevada a la primera potencia. Los pasos para solucionar este tipo de ecuaci\u00f3n son:<\/p>\n

            \n
          1. Quita los par\u00e9ntesis en caso de que existieran (a trav\u00e9s de la propiedad distributiva u otras operaciones).<\/li>\n
          2. Quita los denominadores en caso de que existieran.<\/li>\n
          3. Ubica los t\u00e9rminos que tienen inc\u00f3gnitas en un miembro y los que no tienen inc\u00f3gnita en otro.<\/li>\n
          4. Suma los t\u00e9rminos semejantes.<\/li>\n
          5. Despeja la inc\u00f3gnita a trav\u00e9s de la regla del producto.<\/li>\n
          6. Simplifica el resultado obtenido en caso de que sea una fracci\u00f3n.<\/li>\n<\/ol>\n
            \"\"
            El valor o los valores de la inc\u00f3gnita de una ecuaci\u00f3n que hacen que la igualdad de la misma sea cierta, se denominan soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n o ra\u00edces de la ecuaci\u00f3n. Cuando una ecuaci\u00f3n tiene soluci\u00f3n, se denomina compatible, en caso contrario, se denomina incompatible. Las ecuaciones que presentan la misma soluci\u00f3n son llamadas ecuaciones equivalentes.<\/figcaption><\/figure>\n

            – Ejemplo:<\/p>\n

            \"5(2x+3)-4x=-3+3(x-4)\"<\/p>\n

            Primero eliminamos los par\u00e9ntesis. Para eso, aplicamos la propiedad distributiva. En el primer caso, multiplicamos 5 por cada t\u00e9rmino dentro de los par\u00e9ntesis (2x + 3)<\/em>, en el segundo caso, multiplicamos 3 por cada t\u00e9rmino dentro de los par\u00e9ntesis (x \u2212 4)<\/em>.<\/p>\n

            \"10x+15-4x=-3+3x-12\"<\/p>\n

            Despu\u00e9s ubicamos los t\u00e9rminos que tienen inc\u00f3gnitas en un mismo miembro y los que no tienen inc\u00f3gnitas en otro. Para lograrlo aplicamos la regla de la suma o de transposici\u00f3n.<\/p>\n

            \"10x-4x-3x=-3-12-15\"<\/p>\n

            Luego sumamos o restamos los t\u00e9rminos semejantes.<\/p>\n

            \"3x=-30\"<\/p>\n

            Despejamos la inc\u00f3gnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 3 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n

            \"x=\\frac{-30}{3}=\\boldsymbol{-10}\"<\/p>\n

            Observa que simplificamos el resultado al resolver la fracci\u00f3n.<\/p>\n

            – Otro ejemplo:<\/p>\n

            \"5(x+2)=1+\\frac{x}{2}\"<\/p>\n

            Eliminamos los par\u00e9ntesis por medio de la propiedad distributiva.<\/p>\n

            \"5x+10=1+\\frac{x}{2}\"<\/p>\n

            Quitamos el denominador al multiplicar todos los t\u00e9rminos de la ecuaci\u00f3n por ese denominador, en este caso es 2.<\/p>\n

            \"2<\/p>\n

            Luego efectuamos las divisiones correspondientes.<\/p>\n

            \"10x+20=2+x\"<\/p>\n

            Ubicamos los t\u00e9rminos que tienen inc\u00f3gnitas en un mismo miembro y los que no tienen inc\u00f3gnitas en otro. Para lograrlo, aplicamos la regla de la suma o de transposici\u00f3n.<\/p>\n

            \"10x-x=2-20\"<\/p>\n

            Sumamos o restamos los t\u00e9rminos semejantes.<\/p>\n

            \"9x=-18\"<\/p>\n

            Despejamos la inc\u00f3gnita. Para lograrlo, aplicamos la regla del producto por medio de la cual el 9 que multiplica pasa a dividir al otro miembro de la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n

            \"x=-\\frac{18}{9}=\\boldsymbol{-2}\"<\/p>\n

            \n

            \u00bfC\u00f3mo comprobar una ecuaci\u00f3n?<\/strong><\/p>\n

            \u00a1Muy sencillo! Solo tienes que sustituir\u00a0en la ecuaci\u00f3n el valor de la inc\u00f3gnita y resolver. Si la igualdad se cumple, el ejercicio est\u00e1 resuelto correctamente. En caso contrario, debes revisar d\u00f3nde estuvo el error.<\/p>\n

            Despejemos esta ecuaci\u00f3n:<\/p>\n

            \"2x+6=10\\:<\/p>\n

            Como x = 2, sustituimos y comprobamos.<\/p>\n

            \"2(2)+6=10\\:<\/p>\n

            Por lo tanto, como las igualdades se cumplen, la ecuaci\u00f3n est\u00e1 despejada correctamente.<\/p>\n

            \"\"<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n