{"id":6250,"date":"2020-09-07T16:39:26","date_gmt":"2020-09-07T19:39:26","guid":{"rendered":"http:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/?p=6250"},"modified":"2020-09-07T17:15:31","modified_gmt":"2020-09-07T20:15:31","slug":"capitulo-2-tema-3-7","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/?p=6250","title":{"rendered":"CAP\u00cdTULO 2 \/ TEMA 3"},"content":{"rendered":"

M\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo Y M\u00e1ximo com\u00fan divisor<\/h1>\n

Todo n\u00famero natural se puede descomponer con la multiplicaci\u00f3n de sus factores o n\u00fameros primos. La utilidad para descomponerlos de esta manera es que nos permitir\u00e1 calcular el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo y el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de dos o m\u00e1s n\u00fameros. Y con ellos resolver diversos problemas.<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n

m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo Y M\u00e1ximo com\u00fan divisor<\/h2>\n

El m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo<\/strong> (mcm), tambi\u00e9n conocido como m\u00faltiplo com\u00fan menor<\/strong>\u00a0de dos o m\u00e1s n\u00fameros naturales, es el menor m\u00faltiplo com\u00fan<\/strong> de ambos n\u00fameros que sea distinto de cero.<\/p>\n

El m\u00e1ximo com\u00fan divisor<\/strong> (mcd), tambi\u00e9n conocido como divisor com\u00fan mayor<\/strong> entre dos o m\u00e1s n\u00fameros naturales,\u00a0es el mayor divisor entre ambos<\/strong>, es decir, el mayor n\u00famero por el que son divisibles dos o m\u00e1s n\u00fameros.<\/p>\n

C\u00c1LCULO DEL M\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo<\/h2>\n

Para calcular el mcm entre dos o m\u00e1s n\u00fameros podemos seguir los siguientes pasos:<\/p>\n

    \n
  1. Descomponer los n\u00fameros en sus factores primos.<\/li>\n
  2. Escribir los n\u00fameros como la multiplicaci\u00f3n de sus factores primos.<\/li>\n
  3. Escribir en en la parte inferior el\u00a0mcm que ser\u00e1 igual al producto de todos los factores comunes y no comunes de los n\u00fameros a la mayor potencia. Es decir, si entre los n\u00fameros a los que se le realiz\u00f3 la descomposici\u00f3n se observa un factor que se repite pero con exponente diferente, se considera el que tiene el mayor exponente.<\/li>\n
  4. Resolver el producto del mcm.<\/li>\n<\/ol>\n

    Por ejemplo:<\/p>\n

    -Hallar el mcm entre 40 y 60.<\/strong><\/p>\n

    Lo primero es descomponer los dos n\u00fameros en factores primos y expresar dicha descomposici\u00f3n en forma de multiplicaci\u00f3n:<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Luego se eligen los factores comunes y no comunes. En el caso del 2, est\u00e1 en ambas expresiones con diferente exponente, en este caso se considera el 23<\/sup> porque es mayor. De esta forma, el\u00a0mcm de ambos n\u00fameros es:<\/p>\n

    mcm (40, 60) = 23\u00a0<\/sup>\u00b7 3\u00a0\u00b7 5<\/p>\n

    Al resolver el producto obtenido el resultado es:<\/p>\n

    mcm (40, 60) = 23\u00a0<\/sup>\u00b7 3\u00a0\u00b7 5 = 2\u00a0\u00b7 2\u00a0\u00b7 2\u00a0\u00b73\u00a0\u00b7 5 = 120<\/strong><\/p>\n

    De esta forma, el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo entre 40 y 60 es 120.<\/p>\n

    C\u00c1LCULO DEL M\u00e1ximo com\u00fan divisor<\/h2>\n

    Para calcular el mcd entre dos o m\u00e1s n\u00fameros se pueden seguir los siguientes pasos:<\/p>\n

      \n
    1. Descomponer los n\u00fameros en sus factores primos.<\/li>\n
    2. Escribir los n\u00fameros como la multiplicaci\u00f3n de sus factores primos.<\/li>\n
    3. Escribir en la parte inferior el\u00a0mcd que ser\u00e1 igual al producto de los factores que tienen en com\u00fan a la menor potencia. Es decir, si se repite un factor se considera el que tiene la menor potencia.<\/li>\n
    4. Resolver el producto del\u00a0mcd.<\/li>\n<\/ol>\n

      Por ejemplo:<\/p>\n

      -Hallar el mcd entre 56 y 48.<\/strong><\/p>\n

      Primero se descomponen ambos n\u00fameros en sus factores primos:<\/p>\n

      \"\"<\/p>\n

      Luego se seleccionan \u00fanicamente los factores que tienen en com\u00fan. En este caso, el factor en com\u00fan entre ambos n\u00fameros es el 2 que se encuentra expresado en diferente potencia: 23<\/sup> y 24<\/sup>. Para calcular el\u00a0mcd se toma \u00fanicamente la menor potencia, en este caso ser\u00eda 23<\/sup>. De esta manera, el\u00a0mcd queda expresado de la siguiente manera:<\/p>\n

      mcd (56, 48) =\u00a023<\/sup><\/p>\n

      Al resolver la potencia se obtiene el resultado:<\/p>\n

      mcd (56, 48) = 8<\/p>\n

      De esta manera, el\u00a0mcd entre 56 y 48 es el n\u00famero 8.<\/p>\n

      \u00bfSab\u00edas qu\u00e9?<\/div>
      Calculamos el m\u00e1ximo com\u00fan divisor porque si calculamos el m\u00ednimo com\u00fan divisor entre dos n\u00fameros siempre ser\u00eda 1, porque el 1 es divisor de todos los n\u00fameros.<\/div><\/div>\n

      \n

      El mcd de los n\u00fameros de Fibonacci<\/strong><\/p>\n

      Los n\u00fameros de la secuencia de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 89 y siguen hasta el infinito. Esta secuencia consiste en sumar los dos n\u00fameros anteriores para hallar el siguiente n\u00famero. Por ejemplo, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 2 + 3 = 5, y as\u00ed sucesivamente hasta el infinito.<\/p>\n

      Lo curioso de estos n\u00fameros es que si calculamos el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de dos n\u00fameros de Fibonacci obtenemos otro n\u00famero de la secuencia de Fibonacci. Por ejemplo, el mcd (3, 21) = 3.<\/p>\n

      \"\"<\/p>\n

      <\/div><\/div>\n

      VER INFOGRAF\u00cdA<\/a><\/p>\n

      problemas de aplicaci\u00f3n<\/h2>\n

      Para resolver problemas de mcm y mcd hay que tener en cuenta los datos del problema y la pregunta que nos hace, en ella estar\u00e1 la clave para saber si el problema se resuelve con mcm y mcd. Veremos unos ejemplos donde se tenga que aplicar alguno de los dos c\u00e1lculos:<\/p>\n

      1. En una ciudad, el reloj de la catedral indica la hora a trav\u00e9s de campanadas que suenan cada 3 horas, y el reloj de la torre de la plaza lo hace cada 8 horas. \u00bfCada cu\u00e1ntas horas ambos relojes sonar\u00e1n al mismo tiempo?<\/strong><\/p>\n

      Los datos del problema indican que el reloj de la catedral suena cada 3 horas y el de la municipalidad cada 8 horas. Al descomponer ambos n\u00fameros se obtiene:<\/p>\n

      \"\"<\/p>\n

      En este caso, se trata de un problema de m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo, y se debe calcular el mismo entre ambos n\u00fameros para determinar cada cu\u00e1ntas horas sonar\u00e1n al mismo tiempo los relojes.<\/p>\n

      mcm (3, 8) = 3\u00a0\u00b7 23<\/sup><\/p>\n

      mcm (3, 8) = 24<\/p>\n

      De esta manera, se determin\u00f3 que los relojes suenan al mismo tiempo cada 24 horas.<\/p>\n

      2. En la tienda de Jorge hay una caja con 12 naranjas y otra con 18 peras. Jorge quiere distribuir las frutas en cajas m\u00e1s peque\u00f1as de forma que todas las cajas tengan la misma cantidad de fruta. Cada caja solo puede tener peras o naranjas y las cajas deben ser lo m\u00e1s grande posible. \u00bfCu\u00e1ntas frutas debe haber en cada caja?<\/strong><\/p>\n

      Los datos del problema son cajas de 12 naranjas y 18 peras. Al descomponer dichos n\u00fameros en factores primos se obtiene:<\/p>\n

      \"\"<\/p>\n

      En este problema debemos separar o dividir las frutas en diferentes cajas, por lo tanto se resuelve a trav\u00e9s del mcd.<\/p>\n

      mcd (12, 18) = 2\u00a0\u00b7 3<\/p>\n

      mcd (12, 18) = 6<\/p>\n

      De esta manera, se determin\u00f3 que en cada caja debe haber 6 frutas.<\/p>\n

      \n

      \u00a1A practicar!<\/strong><\/p>\n

        \n
      1. Calcula el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo entre los siguientes n\u00fameros.<\/li>\n<\/ol>\n

        a) 30, 60 y 90\u00a0

        <\/span>SOLUCI\u00d3N<\/div>
        \"\"<\/p>\n

        mcm (30,60,90) =\u00a023<\/sup>\u00a0.\u00a032<\/sup>\u00a0. 5 = 180\u00a0 <\/div><\/div>\n

        b)\u00a015, 30, 20 y 40\u00a0

        <\/span>SOLUCI\u00d3N<\/div>
        \"\"<\/p>\n

        mcm (15,30,20,40) =\u00a023<\/sup>\u00a0.\u00a03\u00a0. 5 = 120<\/p>\n

        <\/div><\/div>\n

        2.\u00a0Calcula el m\u00e1ximo com\u00fan divisor entre los siguientes n\u00fameros.<\/p>\n

        a) 18, 26 y 40\u00a0

        <\/span>SOLUCI\u00d3N<\/div>
        \"\"<\/p>\n

        mcd (18,26,40) =\u00a02<\/p>\n

        <\/div><\/div>\n

        b)\u00a054, 60, 80 y 100\u00a0

        <\/span>SOLUCI\u00d3N<\/div>
        \"\"<\/p>\n

        mcd (54,60,80,100) =\u00a02<\/p>\n

        <\/div><\/div>\n

        3.\u00a0Marcos tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo m\u00e1s largos posible. \u00bfCu\u00e1nto medir\u00e1 cada trozo de cuerda?\u00a0

        <\/span>SOLUCI\u00d3N<\/div>
        \"\"<\/p>\n

        mcd (120,96) =\u00a023<\/sup>\u00a0.\u00a03\u00a0= 24<\/p>\n

        Cada trozo medir\u00e1 24 metros.<\/div><\/div>\n

        4.\u00a0Un jardinero riega el c\u00e9sped de un parque cada 5 d\u00edas y lo corta cada 8 d\u00edas. \u00bfCada cu\u00e1ntos d\u00edas coincidir\u00e1n sus funciones de riego y de corte del c\u00e9sped?\u00a0

        <\/span>SOLUCI\u00d3N<\/div>
        \"\"<\/p>\n

        mcm (5,8) =\u00a023<\/sup>\u00a0.\u00a05 = 40<\/p>\n

        Las funciones de riego y corte de c\u00e9sped coincidir\u00e1n cada 40 d\u00edas.<\/div><\/div>\n

        5.\u00a0Una tienda compra memorias USB de diferentes colores. Para Navidad hizo un pedido de 84 memorias rojas, 196 azules y 252 verdes. Para guardar la mercanc\u00eda de forma organizada, exigi\u00f3 que le enviaran las memorias en cajas iguales, sin mezclar los colores y con el mayor n\u00famero posible de memorias. \u00bfCu\u00e1ntas memorias habr\u00e1 en cada caja?\u00a0

        <\/span>SOLUCI\u00d3N<\/div>
        \"\"<\/p>\n

        mcd (84,196,252) =\u00a022<\/sup>\u00a0. 7\u00a0= 4 . 7 = 28<\/p>\n

        En cada caja habr\u00e1 28 memorias.<\/div><\/div>\n

        6.\u00a0Adri\u00e1n es un deportista de alto rendimiento que practica despu\u00e9s del colegio. Cada 3 d\u00edas recorre un trayecto en bicicleta por la ciudad, cada 4 d\u00edas juega f\u00fatbol y cada 12 d\u00edas juega al hockey. \u00bfCu\u00e1ntos d\u00edas pasar\u00e1n para que realice las tres actividades en el mismo d\u00eda?\u00a0

        <\/span>SOLUCI\u00d3N<\/div>
        \"\"<\/p>\n

        mcm (3,4,12) =\u00a022<\/sup>\u00a0.\u00a03\u00a0= 4 . 3 = 12<\/p>\n

        Pasar\u00e1n 12 d\u00edas para que haga las tres actividades el mismo d\u00eda.<\/div><\/div>\n

        <\/div><\/div>\n

        <\/span>RECURSOS PARA DOCENTES<\/div>
        \n

        Art\u00edculo “Factorizaci\u00f3n de n\u00fameros”<\/h3>\n

        Este recurso permite profundizar el tema de la factorizaci\u00f3n de n\u00fameros y el c\u00e1lculo del mcm y el mcd.<\/p>\n

        VER<\/a><\/p>\n

        Art\u00edculo “M\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo y M\u00e1ximo com\u00fan divisor”<\/h3>\n

        Este recurso proporciona situaciones problem\u00e1ticas en las que se aplica el c\u00e1lculo del mcm y el mcd.<\/p>\n

        VER<\/a><\/p>\n

        <\/div><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        Todo n\u00famero natural se puede descomponer con la multiplicaci\u00f3n de sus factores o n\u00fameros primos. La utilidad para descomponerlos de esta manera es que nos permitir\u00e1 calcular el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo y el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de dos o m\u00e1s n\u00fameros. Y con ellos resolver diversos problemas.<\/p>\n","protected":false},"author":21,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[7],"tags":[1196,1195,1194,1192,1191,1193,43],"class_list":["post-6250","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-6to-grado","tag-calculo-del-mcd","tag-calculo-del-mcm","tag-maximo-comun-divisor","tag-mcd","tag-mcm","tag-minimo-comun-multiplo","tag-problemas"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/6250"}],"collection":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/21"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=6250"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/6250\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":10598,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/6250\/revisions\/10598"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=6250"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=6250"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=6250"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}