{"id":6459,"date":"2020-09-22T10:12:29","date_gmt":"2020-09-22T13:12:29","guid":{"rendered":"http:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/?p=6459"},"modified":"2020-09-22T10:12:29","modified_gmt":"2020-09-22T13:12:29","slug":"capitulo-7-tema-5","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/?p=6459","title":{"rendered":"CAP\u00cdTULO 7 \/ TEMA 5"},"content":{"rendered":"

FUNCI\u00d3N LINEAL<\/h1>\n

Cuando dos magnitudes se relacionan de manera directamente proporcional pueden representarse como una funci\u00f3n de expresi\u00f3n algebraica y = mx + b. Estas funciones pueden identificarse r\u00e1pidamente\u00a0por medio de su gr\u00e1fica, pues en el plano cartesiano siempre estar\u00e1n representadas con una l\u00ednea recta ascendente o descendente.<\/b><\/span><\/em><\/p>\n

GR\u00c1FICA DE UNA FUNCI\u00d3N<\/strong><\/h2>\n

Si conocemos la funci\u00f3n matem\u00e1tica que relaciona a dos variables, podemos construir su gr\u00e1fica, o al menos una aproximaci\u00f3n de ella. Para esta tarea solo calculamos, a partir de la funci\u00f3n, una serie de puntos que cumplan con la soluci\u00f3n. Debemos tener en cuenta que cuantos m\u00e1s puntos utilicemos para graficar una funci\u00f3n, mayor precisi\u00f3n obtendremos.<\/p>\n

Algunas funciones matem\u00e1ticas tienen gr\u00e1ficas caracter\u00edsticas en el plano cartesiano, por ejemplo:<\/p>\n\n\n\n\n
Funciones lineales<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

f(x) = mx + b<\/em><\/p>\n<\/td>\n

Funciones potenciales<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

f(x) = x2<\/sup><\/em><\/p>\n<\/td>\n

 <\/p>\n

Funciones exponenciales<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

f(x) = 2x<\/sup><\/em><\/p>\n

 <\/td>\n<\/tr>\n

 <\/p>\n

Funciones irracionales<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

f(x) =\u00a0\u221ax<\/em><\/p>\n<\/td>\n

 <\/p>\n

Funciones racionales<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

f(x) = 1\/x<\/em><\/p>\n<\/td>\n

 <\/p>\n

Funciones trigonom\u00e9tricas<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

f(x) = sen x<\/em><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\"\"
Las funciones lineales se denominan de esta manera ya que su gr\u00e1fica caracter\u00edstica en el plano cartesiano se representa como una recta. Para trazar de forma correcta esta l\u00ednea, basta con que conozcamos dos puntos en el plano. Por lo general se determinan si calculamos los cortes con los ejes o por medio de la ecuaci\u00f3n de la recta.<\/figcaption><\/figure>\n

\u00bfQu\u00e9 es una funci\u00f3n lineal?<\/h2>\n

Una funci\u00f3n lineal\u00a0<\/strong>es una funci\u00f3n cuya gr\u00e1fica es igual a una l\u00ednea recta que pasa por el origen de coordenadas. Su expresi\u00f3n algebraica es la siguiente:<\/p>\n

f(x) = mx<\/em><\/p>\n

Donde:<\/p>\n

m <\/em><\/strong>=<\/em>\u00a0constante de proporcionalidad o pendiente de la recta<\/p>\n

\u00bfSab\u00edas qu\u00e9?<\/div>
Las funciones lineales tambi\u00e9n son llamadas “funciones de proporcionalidad directa”.<\/div><\/div>\n

– Ejemplo:<\/p>\n

Un tren tiene una velocidad media de 160 km\/h. La relaci\u00f3n entre la distancia y el tiempo se puede observa en la siguiente tabla:<\/p>\n\n\n\n\n
Tiempo (h<\/em>) = x<\/strong><\/td>\n0<\/td>\n1<\/td>\n2<\/td>\n3<\/td>\n4<\/td>\n<\/tr>\n
Distancia (km<\/em>) = y<\/strong><\/td>\n0<\/td>\n160<\/td>\n320<\/td>\n480<\/td>\n640<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Por medio de esta tabla vemos que las dos magnitudes (tiempo y distancia) son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta, la otra tambi\u00e9n lo hace. Si realizamos una gr\u00e1fica entre estas dos magnitudes nos resulta una l\u00ednea recta como esta:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Nota que la recta pasa por el origen (0, 0) y va en aumento, por lo tanto, la recta es continua y creciente. La constante de proporcionalidad es 160, as\u00ed que la expresi\u00f3n algebraica de esta funci\u00f3n es:<\/p>\n

f(x) = 160x<\/em><\/p>\n

Funci\u00f3n af\u00edn<\/h2>\n

Una funci\u00f3n af\u00edn<\/strong> es un tipo de funci\u00f3n lineal que no pasa por el origen de coordenadas<\/strong>. Su expresi\u00f3n algebraica es:<\/p>\n

f(x) = mx + b<\/em><\/p>\n

Donde:<\/p>\n

m<\/em><\/strong> = pendiente de la recta<\/p>\n

b<\/em><\/strong> = ordenada en el origen: la recta corta al eje de ordenada en el punto (0, n)<\/p>\n

– Ejemplo:<\/p>\n

Se ha determinado el pago de agua en una casa. Cada recibo indica que por cada metro c\u00fabico de agua consumida se pagan $ 5, mientras que por la distribuci\u00f3n y depuraci\u00f3n se pagan $ 10. Con estos datos elaboramos la siguiente tabla:<\/p>\n\n\n\n\n
Agua consumida (m3<\/sup>) = x<\/em><\/b><\/td>\n0<\/td>\n1<\/td>\n2<\/td>\n3<\/td>\n4<\/td>\n<\/tr>\n
Pago ($) = y<\/em><\/strong><\/td>\n10<\/td>\n15<\/td>\n20<\/td>\n25<\/td>\n30<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

La expresi\u00f3n algebraica de esta funci\u00f3n es f(x) = 5x + 10<\/em>, cuya gr\u00e1fica se muestra a continuaci\u00f3n:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Observa que la l\u00ednea recta no pasa por el origen, sino que corta en el punto (0, 10).<\/p>\n

\"\"
La funci\u00f3n de costo lineal se usa frecuentemente en las operaciones de las peque\u00f1as empresas. El costo es el total de dinero necesario para producir q<\/em> unidades de un producto. La funci\u00f3n se representa con la expresi\u00f3n C(q) que incluye tanto a los costos fijos (independientes) como a los costos variables (dependientes).<\/figcaption><\/figure>\n

ecuaci\u00f3n de la recta<\/h2>\n

La ecuaci\u00f3n de la recta<\/strong> es una expresi\u00f3n algebraica que describe una l\u00ednea recta y relaciona la variaci\u00f3n de y<\/em>\u00a0con respecto a x<\/em>, la cual se puede graficar en el plano cartesiano seg\u00fan los componentes en cada uno de los ejes. De manera general la ecuaci\u00f3n de una recta se representa as\u00ed:<\/p>\n

y = mx + b<\/em><\/p>\n

Donde:<\/p>\n

y<\/em><\/strong> =\u00a0eje de las ordenadas<\/p>\n

x<\/em><\/strong> =\u00a0eje de las abscisas<\/p>\n

m<\/em><\/strong> = pendiente de la recta<\/p>\n

b<\/em><\/strong> =\u00a0punto de intersecci\u00f3n de la recta con el eje\u00a0y<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

Para determinar la pendiente de la recta usamos la f\u00f3rmula:<\/p>\n

\"m=\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\"<\/p>\n

– Ejemplo:<\/p>\n

Hallemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (\u22121, 1) y B (1, 7).<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Primero identificamos los valores de los ejes. Como ya sabemos, los pares ordenados siempre tienen primero la coordenada del eje x<\/em> y luego de la coma va la coordenada del eje y;<\/em>\u00a0entonces:<\/p>\n

En el punto A\u00a0(\u22121, 1), x1<\/sub><\/em> =\u00a0\u22121<\/strong>\u00a0y y1<\/sub><\/em> = 1<\/strong><\/p>\n

En el punto B (1, 7), x2<\/sub><\/em> = 1<\/strong>\u00a0y y2<\/sub><\/em> = 7<\/strong><\/p>\n

Ahora solo sustituimos en la f\u00f3rmula general:<\/p>\n

\"m=\\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\\frac{7-1}{1-(-1)}=\\frac{6}{2}=\\boldsymbol{3}\"<\/p>\n

Sabemos que la ecuaci\u00f3n de esta recta es y\u00a0= mx + b <\/em>porque no pasa por el origen, es decir, representa una funci\u00f3n af\u00edn. Tambi\u00e9n sabemos que la pendiente (m<\/em>) es 3, por lo tanto, y\u00a0= 3x + b;<\/em>\u00a0as\u00ed que faltar\u00eda hallar el valor de\u00a0b.<\/em><\/p>\n

Para calcula b<\/em> podemos tomar cualquiera de los puntos A o B. Planteamos la ecuaci\u00f3n y luego despejamos.<\/p>\n

\"A(-1,<\/p>\n

\"B(1,\\:<\/p>\n

De este modo sabemos que la recta que pasa por los puntos A y B tiene por ecuaci\u00f3n:<\/p>\n

y = 3x + 4<\/em><\/p>\n

Pendiente de la recta y = mx<\/em><\/h3>\n

Para un funci\u00f3n lineal f(x) = mx<\/em>, el coeficiente m<\/em> se llama pendiente y representa el aumento o disminuci\u00f3n de la variable dependiente en relaci\u00f3n a la variable independiente.<\/p>\n

– Ejemplo:<\/p>\n