{"id":6837,"date":"2020-09-22T10:44:29","date_gmt":"2020-09-22T13:44:29","guid":{"rendered":"http:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/?p=6837"},"modified":"2024-11-28T10:21:56","modified_gmt":"2024-11-28T13:21:56","slug":"capitulo-7-tema-6","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/?p=6837","title":{"rendered":"CAP\u00cdTULO 7 \/ TEMA 6"},"content":{"rendered":"<h1>PROPORCIONES<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong><em><span style=\"color: #808080;\">La proporci\u00f3n es una medida que utilizamos casi de manera intuitiva para expresar relaciones entre dos magnitudes, tales como la longitud, la masa, el tiempo o las unidades monetarias. El concepto de proporciones est\u00e1 impl\u00edcito cuando graficamos funciones lineales o al aplicar una regla de tres.<\/span><\/em><\/strong><\/p>\n<figure id=\"attachment_6839\" aria-describedby=\"caption-attachment-6839\" style=\"width: 1080px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-6839 size-full\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/iStock-518587472.jpg\" alt=\"\" width=\"1080\" height=\"720\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/iStock-518587472.jpg 1080w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/iStock-518587472-300x200.jpg 300w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/iStock-518587472-768x512.jpg 768w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/iStock-518587472-1024x683.jpg 1024w\" sizes=\"(max-width: 1080px) 100vw, 1080px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-6839\" class=\"wp-caption-text\">Si para elaborar 10 panes se necesitan 300 g de harina y t\u00fa deseas preparar 20 panes, de seguro concluir\u00e1s en que para duplicar la cantidad de panes, debes duplicar la cantidad de ingredientes, es decir, que utilizar\u00e1s 600 g de harina. La relaciones (300 g de harina: 10 panes \/ 600 g de harina: 20 panes) se mantienen constantes, es decir, son proporcionales.<\/figcaption><\/figure>\n\n<!-- iframe plugin v.6.0 wordpress.org\/plugins\/iframe\/ -->\n<iframe loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/elbibliote.com:8443\/bibliote-com-web\/others\/vervideojs.jsp?id=ff5775\" width=\"100%\" height=\"500\" scrolling=\"yes\" class=\"iframe-class\" frameborder=\"0\"><\/iframe>\n\n<h2>proporci\u00f3n num\u00e9rica<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Las proporciones expresan <strong>relaciones entre dos o m\u00e1s razones<\/strong> que se dan de manera constante, es decir, si el cociente entre dos razones (divisiones) diferentes da el mismo resultado, entonces, las dos razones son proporcionales. Supongamos que tenemos dos razones:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{a}{b}&amp;space;\\:&amp;space;y\\:&amp;space;\\frac{c}{d}\" alt=\"\\frac{a}{b} \\: y\\: \\frac{c}{d}\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<p>Decimos que ambas razones son proporcionales si se cumple que:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{a}{b}=\\frac{c}{d}\" alt=\"\\frac{a}{b}=\\frac{c}{d}\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<p>&#8211; Ejemplo:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{3}{4}=\\frac{21}{28}\" alt=\"\\frac{3}{4}=\\frac{21}{28}\" align=\"absmiddle\" \/>, ya que\u00a0<img decoding=\"async\" class=\"alignnone\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{3}{4}=0,75\" alt=\"\\frac{3}{4}=0,75\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0y\u00a0<img decoding=\"async\" class=\"alignnone\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{21}{28}=0,75\" alt=\"\\frac{21}{28}=0,75\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<div class=\"su-note destacado\"  style=\"border-color:#009ed7;\"><div class=\"su-note-inner su-u-clearfix su-u-trim\" style=\"background-color:#00b8f1;border-color:#ccffff;color:#ffffff;\">\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong>Propiedad de las proporciones<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">En una proporci\u00f3n, siempre se debe cumplir que el producto de los valores medios, debe ser igual al producto de los valores extremos:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"aligncenter\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?\\frac{a}{b}=\\frac{c}{d}\\Leftrightarrow&amp;space;a\\times&amp;space;d=b\\times&amp;space;c\" alt=\"\\frac{a}{b}=\\frac{c}{d}\\Leftrightarrow a\\times d=b\\times c\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<p>Donde:<\/p>\n<p><strong><em>a<\/em><\/strong> y <strong><em>d<\/em><\/strong>: valores extremos<\/p>\n<p><strong><em>b<\/em><\/strong> y <strong><em>c<\/em><\/strong>: valores medios<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>En el ejemplo anterior, <img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?\\frac{3}{4}=\\frac{21}{28}\" alt=\"\\frac{3}{4}=\\frac{21}{28}\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0porque\u00a03\u00a0\u00d7 28 = 84 y 4 \u00d7 21 = 84.<\/p>\n<\/div><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&#8211; Otro ejemplo:<\/p>\n<p>Determina si los rect\u00e1ngulos A y B son proporcionales.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-9737 aligncenter\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/2-9-300x226.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"226\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/2-9-300x226.png 300w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/2-9-768x578.png 768w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/2-9.png 988w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Para saber si ambos rect\u00e1ngulos son proporcionales debemos comparar la relaci\u00f3n de sus lados, en otras palabras, dividir la base entre la altura (o puede ser tambi\u00e9n la altura entre la base) de cada rect\u00e1ngulo, y si dicho cociente es el mismo, decimos que los rect\u00e1ngulos A y B son proporcionales.<\/p>\n<p>Rect\u00e1ngulo A: (9,50\u00a0\u00f7 7,50) = 1,27<\/p>\n<p>Rect\u00e1ngulo B: (4,75\u00a0\u00f7 3,75) = 1,27<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Puesto que ambos rect\u00e1ngulos tienen la misma relaci\u00f3n de proporci\u00f3n, concluimos en que <strong>s\u00ed son proporcionales<\/strong>.<\/p>\n<h2 style=\"text-align: justify;\">PROPORCIONALIDAD DIRECTA<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dos magnitudes son <strong>directamente proporcionales<\/strong> si al aumentar una cantidad, la otra tambi\u00e9n aumenta; o si al disminuir una cantidad, la otra tambi\u00e9n disminuye. La raz\u00f3n entre dos cantidades siempre ser\u00e1 la misma y se llama <strong>constante de proporcionalidad.<\/strong><\/p>\n<p>&#8211; Ejemplo:<\/p>\n<p>El boleto para entrar al cine cuenta $ 2, 2 boletos cuestan $ 4, 3 boletos cuestan $ 6, &#8230;<\/p>\n<table style=\"width: 686.5px;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #8fe0eb; width: 43px; text-align: center;\"><strong>Cantidad de boletos<\/strong><\/td>\n<td style=\"background-color: #8fe0eb; width: 37px; text-align: center;\"><strong>Precio ($)<\/strong><\/td>\n<td style=\"background-color: #8fe0eb; width: 580.5px; text-align: center;\"><strong>Constante de proporcionalidad<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 43px; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 37px; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 580.5px; text-align: center;\">2\/1 = <strong>2<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 43px; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 37px; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"width: 580.5px; text-align: center;\">4\/2 = <strong>2<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 43px; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 37px; text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"width: 580.5px; text-align: center;\">6\/3 = <strong>2<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 43px; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"width: 37px; text-align: center;\">8<\/td>\n<td style=\"width: 580.5px; text-align: center;\">8\/4 = <strong>2<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Observa que al dividir el valor de una magnitud entre otra, el resultado siempre es el mismo, es decir, es constante. Como una magnitud aumenta a medida que la otra aumenta, esta relaci\u00f3n (cantidad de boletos-precio) es directamente proporcional.<\/p>\n<div class=\"su-box su-box-style-default sabiasque\" id=\"\" style=\"border-color:#0085be;border-radius:0px;\"><div class=\"su-box-title\" style=\"background-color:#00b8f1;color:#FFFFFF;border-top-left-radius:0px;border-top-right-radius:0px\">\u00bfSab\u00edas qu\u00e9?<\/div><div class=\"su-box-content su-u-clearfix su-u-trim\" style=\"border-bottom-left-radius:0px;border-bottom-right-radius:0px\">Una magnitud es cualquier cualidad de un objeto que podemos medir, como la masa, la longitud, el tiempo o el n\u00famero de alumnos, por ejemplo.<\/div><\/div>\n<figure id=\"attachment_9738\" aria-describedby=\"caption-attachment-9738\" style=\"width: 1264px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-9738 size-full\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/3-8.png\" alt=\"\" width=\"1264\" height=\"990\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/3-8.png 1264w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/3-8-300x235.png 300w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/3-8-768x602.png 768w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/3-8-1024x802.png 1024w\" sizes=\"(max-width: 1264px) 100vw, 1264px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-9738\" class=\"wp-caption-text\">En una empresa se conoce que por cada art\u00edculo que se venda se obtiene una ganancia de $ 2\/art\u00edculo, de manera que si se realiza una gr\u00e1fica que relacione las ventas de art\u00edculos en funci\u00f3n de las ganancias obtenidas, observaremos una recta inclinada en sentido creciente, lo que indica que la proporci\u00f3n es directa.<\/figcaption><\/figure>\n<p style=\"text-align: justify;\">Desde el punto de vista gr\u00e1fico podemos deducir que una proporci\u00f3n es directa si la recta que relaciona a los valores de una proporci\u00f3n es creciente de izquierda a derecha, es decir, si su pendiente es positiva.<\/p>\n<h3>\u00bfC\u00f3mo resolver problemas de proporcionalidad directa?<\/h3>\n<p id=\"subtitulo\" style=\"text-align: justify;\">Las proporciones, al igual que la regla de tres, se utilizan para resolver problemas de proporcionalidad. Sirven para hallar el cuarto t\u00e9rmino de una proporci\u00f3n si conocemos tres valores.<\/p>\n<p>&#8211; Ejemplo:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong>1. Si 3 l\u00e1pices cuestan $ 9, \u00bfcu\u00e1ntos costar\u00e1n 9 l\u00e1pices?<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Lo primero que debemos ver en este problema son las magnitudes que intervienen, y en este caso son dos: el n\u00famero de l\u00e1pices y el precio. Ambas magnitudes son directamente proporcionales porque a medida que una aumenta tambi\u00e9n lo hace la otra.<\/p>\n<p>De este problema conocemos 3 cantidades de estas magnitudes y desconoces una cuarta: lo que cuestan 9 l\u00e1pices.<\/p>\n<p>Resolvemso de la siguiente manera:<\/p>\n<table style=\"width: 173.5px; border-color: #ffffff;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><strong>L\u00e1pices<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><strong>Precio ($)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">\u2192<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">9<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">9<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">\u2192<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">x<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Planteamos la proporci\u00f3n, luego despejamos <em>x<\/em>:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{3}{9}=\\frac{9}{x}\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow\\:&amp;space;\\:&amp;space;3x=9\\times&amp;space;9\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;\\:&amp;space;3x=81\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;\\:&amp;space;x=\\frac{81}{3}=\\boldsymbol{27}\" alt=\"\\frac{3}{9}=\\frac{9}{x}\\: \\: \\Leftrightarrow\\: \\: 3x=9\\times 9\\: \\: \\Leftrightarrow \\: \\: 3x=81\\: \\: \\Leftrightarrow \\: \\: x=\\frac{81}{3}=\\boldsymbol{27}\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Por lo tanto, 9 l\u00e1pices costar\u00e1n <strong>$ 27<\/strong>.<\/p>\n<hr \/>\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong>2.\u00a0Un ciclista recorre 80 kil\u00f3metros en 2 horas. Si mantiene siempre la misma velocidad, \u00bfcu\u00e1ntos kil\u00f3metros recorrer\u00e1 en 4 horas?<\/strong><\/p>\n<table style=\"width: 173.5px; border-color: #ffffff;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><strong>Horas<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><strong>Kil\u00f3metros<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">\u2192<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">80<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">\u2192<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><em>x<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Planteamos la proporci\u00f3n, luego despejamos <em>x<\/em>:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{2}{4}=\\frac{80}{x}\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;\\:&amp;space;2x=4\\times&amp;space;80\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;\\:&amp;space;2x=320\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;\\:&amp;space;x=\\frac{320}{2}=\\boldsymbol{160}\" alt=\"\\frac{2}{4}=\\frac{80}{x}\\: \\: \\Leftrightarrow \\: \\: 2x=4\\times 80\\: \\: \\Leftrightarrow \\: \\: 2x=320\\Leftrightarrow \\: \\: x=\\frac{320}{2}=\\boldsymbol{160}\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>El ciclista recorrer\u00e1 <strong>160 kil\u00f3metros<\/strong> en 4 horas.<\/p>\n<h2>PROPORCIONALIDAD INVERSA<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dos magnitudes son<strong> inversamente proporcionales<\/strong> si al incrementar el valor de una, el valor de la otra disminuye; o si al disminuir el valor de una, la otra aumenta. El producto entre dos cantidades siempre ser\u00e1 la misma y se llama <strong>constante de proporcionalidad.<\/strong><\/p>\n<p>&#8211; Ejemplo:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Una empleada fabrica un paquete de cajas en 9 horas, dos empleadas fabrican un paquete en 4 horas y media, tres empleadas fabrican un paquete de cajas en 3 horas, &#8230;<\/p>\n<table style=\"width: 686.5px;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"background-color: #8fe0eb; width: 43px; text-align: center;\"><strong>Cantidad de empleadas<\/strong><\/td>\n<td style=\"background-color: #8fe0eb; width: 37px; text-align: center;\"><strong>Horas<\/strong><\/td>\n<td style=\"background-color: #8fe0eb; width: 580.5px; text-align: center;\"><strong>Constante de proporcionalidad<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 43px; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 37px; text-align: center;\">9<\/td>\n<td style=\"width: 580.5px; text-align: center;\">9 \u00d7 1 = <strong>9<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 43px; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 37px; text-align: center;\">4,5<\/td>\n<td style=\"width: 580.5px; text-align: center;\">4, 5\u00a0\u00d7 2 = <strong>9<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 43px; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 37px; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 580.5px; text-align: center;\">3\u00a0\u00d7 3 = <strong>9<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 43px; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"width: 37px; text-align: center;\">2,25<\/td>\n<td style=\"width: 580.5px; text-align: center;\">2,25\u00a0\u00d7 4 = <strong>9<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Observa que al multiplicar el valor de una magnitud entre otra el resultado siempre es el mismo, es decir, es constante. Como una magnitud aumenta a medida que la otra disminuye, esta relaci\u00f3n (cantidad de empleadas-horas) es inversamente proporcional.<\/p>\n<figure id=\"attachment_9747\" aria-describedby=\"caption-attachment-9747\" style=\"width: 1532px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-9747 size-full\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/7-7.png\" alt=\"\" width=\"1532\" height=\"990\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/7-7.png 1532w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/7-7-300x194.png 300w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/7-7-768x496.png 768w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/7-7-1024x662.png 1024w\" sizes=\"(max-width: 1532px) 100vw, 1532px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-9747\" class=\"wp-caption-text\">Ciertas proporciones se dan de manera inversa. En la imagen observamos una gr\u00e1fica que muestra una recta decreciente, la cual indica que al aumentar la dosis de antibi\u00f3tico en un paciente, disminuye la concentraci\u00f3n de bacterias en su organismo. La pendiente de esta recta ser\u00eda negativa y su valor absoluto indicar\u00eda la constante de proporcionalidad.<\/figcaption><\/figure>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3>\u00bfC\u00f3mo resolver problemas de proporcionalidad inversa?<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">La regla de tres inversa o las mismas proporciones nos ayudan a resolver situaciones problem\u00e1ticas que involucren magnitudes inversamente proporcionales.<\/p>\n<p>&#8211; Ejemplo:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><strong>1. Si 10 alba\u00f1iles pueden realizar una construcci\u00f3n en 30 d\u00edas, \u00bfcu\u00e1nto demorar\u00e1n en realizar la misma construcci\u00f3n 20 alba\u00f1iles?<\/strong><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Lo primero que vemos son las magnitudes: el n\u00famero de alba\u00f1iles y los d\u00edas. Estas dos magnitudes son inversamente proporcionales porque a medida que una aumenta la otra disminuye.<\/p>\n<p>Por lo tanto, planteamos las magnitudes conocidas y desconocidas:<\/p>\n<table style=\"width: 173.5px; border-color: #ffffff;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><strong>Alba\u00f1iles<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><strong>D\u00edas<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">10<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">\u2192<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">30<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">20<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">\u2192<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><em>x<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">A partir de estas relaciones, planteamos la proporci\u00f3n. Como la relaci\u00f3n es inversamente proporcional<strong> invertimos la segunda raz\u00f3n<\/strong>. Luego despejamos x:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{10}{20}=\\frac{x}{30}\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;\\:&amp;space;30\\times&amp;space;10=20x\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;\\:&amp;space;300=20x\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;x=\\frac{300}{20}=\\boldsymbol{15}\" alt=\"\\frac{10}{20}=\\frac{x}{30}\\: \\: \\Leftrightarrow \\: \\: 30\\times 10=20x\\: \\: \\Leftrightarrow \\: \\: 300=20x\\: \\: \\Leftrightarrow x=\\frac{300}{20}=\\boldsymbol{15}\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>As\u00ed que 20 alba\u00f1iles demorar\u00e1n <strong>15 d\u00edas<\/strong> en hacer la misma construcci\u00f3n.<\/p>\n<hr \/>\n<p><strong>2.\u00a0En un campo, 12 caballos consumen una determinada cantidad de alimento en 3 d\u00edas. Si la cantidad de caballos se triplica, \u00bfpara cu\u00e1ntos d\u00edas alcanza el alimento?<\/strong><\/p>\n<p>Como 12\u00a0\u00d7 3 = 36, realizamos la tabla con estos valores:<\/p>\n<table style=\"width: 173.5px; border-color: #ffffff;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><strong>Caballos<\/strong><\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><strong>D\u00edas<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">12<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">\u2192<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">36<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\">\u2192<\/td>\n<td style=\"border-color: #ffffff; text-align: center;\"><em>x<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Planteamos la proporci\u00f3n, invertimos la segunda raz\u00f3n y luego despejamos <em>x<\/em>:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{12}{36}=\\frac{x}{3}\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;\\:&amp;space;3\\times&amp;space;12=36x\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;\\:&amp;space;36=36x\\:&amp;space;\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;\\:&amp;space;x=\\frac{36}{36}=\\boldsymbol{1}\" alt=\"\\frac{12}{36}=\\frac{x}{3}\\: \\: \\Leftrightarrow \\: \\: 3\\times 12=36x\\: \\: \\Leftrightarrow \\: \\: 36=36x\\: \\: \\Leftrightarrow \\: \\: x=\\frac{36}{36}=\\boldsymbol{1}\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Por lo tanto, si se triplica la cantidad de caballo el alimento alcanzar\u00e1 para <strong>un d\u00eda<\/strong>.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"su-note destacado\"  style=\"border-color:#009ed7;\"><div class=\"su-note-inner su-u-clearfix su-u-trim\" style=\"background-color:#00b8f1;border-color:#ccffff;color:#ffffff;\">\n<p><strong>\u00a1A practicar!<\/strong><\/p>\n<p>1.\u00a0Determina si las siguientes razones son proporcionales:<\/p>\n<p>a) <img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?\\frac{5}{7}\\;&amp;space;y\\;&amp;space;\\frac{35}{49}\" alt=\"\\frac{5}{7}\\; y\\; \\frac{35}{49}\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<div class=\"su-spoiler su-spoiler-style-simple su-spoiler-icon-plus respuestas su-spoiler-closed\" data-scroll-offset=\"0\" data-anchor-in-url=\"no\"><div class=\"su-spoiler-title\" tabindex=\"0\" role=\"button\"><span class=\"su-spoiler-icon\"><\/span>Soluci\u00f3n<\/div><div class=\"su-spoiler-content su-u-clearfix su-u-trim\">S\u00ed, porque 5 \u00d7 49 = 245 y 7 \u00d7 35 = 245. Entonces,\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{5}{7}=\\frac{35}{49}\" alt=\"\\frac{5}{7}=\\frac{35}{49}\" align=\"absmiddle\" \/> <\/div><\/div>\n<p>b) <img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?\\frac{64}{21}\\,&amp;space;y\\:&amp;space;\\frac{8}{9}\" alt=\"\\frac{64}{21}\\, y\\: \\frac{8}{9}\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<div class=\"su-spoiler su-spoiler-style-simple su-spoiler-icon-plus respuestas su-spoiler-closed\" data-scroll-offset=\"0\" data-anchor-in-url=\"no\"><div class=\"su-spoiler-title\" tabindex=\"0\" role=\"button\"><span class=\"su-spoiler-icon\"><\/span>Soluci\u00f3n<\/div><div class=\"su-spoiler-content su-u-clearfix su-u-trim\">No, porque 64 \u00d7 9 = 576 y 21 \u00d7 8 = 168. Entonces,\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{64}{21}\\neq&amp;space;\\frac{8}{9}\" alt=\"\\frac{64}{21}\\neq \\frac{8}{9}\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0<\/div><\/div>\n<p>c) <img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/svg.latex?\\frac{11}{13}\\;&amp;space;y\\;&amp;space;\\frac{44}{52}\" alt=\"\\frac{11}{13}\\; y\\; \\frac{44}{52}\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><div class=\"su-spoiler su-spoiler-style-simple su-spoiler-icon-plus respuestas su-spoiler-closed\" data-scroll-offset=\"0\" data-anchor-in-url=\"no\"><div class=\"su-spoiler-title\" tabindex=\"0\" role=\"button\"><span class=\"su-spoiler-icon\"><\/span>Soluci\u00f3n<\/div><div class=\"su-spoiler-content su-u-clearfix su-u-trim\">S\u00ed, porque 11 \u00d7 52 = 572 y 13 \u00d7 44 = 572. Entonces,\u00a0<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{11}{13}=\\frac{44}{52}\" alt=\"\\frac{11}{13}=\\frac{44}{52}\" align=\"absmiddle\" \/>\u00a0<\/div><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">2.\u00a0Los rect\u00e1ngulos A y B son proporcionales, \u00bfqu\u00e9 altura debe tener X para que el rect\u00e1ngulo A sea proporcional al rect\u00e1ngulo B?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-9751\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/11-5-300x252.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"252\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/11-5-300x252.png 300w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/11-5-768x646.png 768w, https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/11-5.png 870w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<div class=\"su-spoiler su-spoiler-style-simple su-spoiler-icon-plus respuestas su-spoiler-closed\" data-scroll-offset=\"0\" data-anchor-in-url=\"no\"><div class=\"su-spoiler-title\" tabindex=\"0\" role=\"button\"><span class=\"su-spoiler-icon\"><\/span>Soluci\u00f3n<\/div><div class=\"su-spoiler-content su-u-clearfix su-u-trim\">\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/latex.codecogs.com\/gif.latex?\\frac{3}{4}=\\frac{x}{8}\\:&amp;space;\\Leftrightarrow\\:&amp;space;3\\times&amp;space;8=4x\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;24=4x\\:&amp;space;\\Leftrightarrow&amp;space;\\:&amp;space;x=\\frac{24}{4}=\\boldsymbol{6}\" alt=\"\\frac{3}{4}=\\frac{x}{8}\\: \\Leftrightarrow\\: 3\\times 8=4x\\: \\Leftrightarrow \\: 24=4x\\: \\Leftrightarrow \\: x=\\frac{24}{4}=\\boldsymbol{6}\" align=\"absmiddle\" \/><\/p>\n<p>X debe ser igual a <strong>6 m.<\/strong><\/div><\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">3.\u00a0Dada la siguiente tabla de valores, determina la constante de proporcionalidad que relaciona los valores:<\/p>\n<table style=\"width: 258.5px;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 7px; text-align: center;\"><strong>x<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 108px; text-align: center;\"><strong>y<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 233.5px; text-align: center;\"><strong>Constante<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 7px; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 108px; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 233.5px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 7px; text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"width: 108px; text-align: center;\">7,5<\/td>\n<td style=\"width: 233.5px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 7px; text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"width: 108px; text-align: center;\">9<\/td>\n<td style=\"width: 233.5px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 7px; text-align: center;\">8<\/td>\n<td style=\"width: 108px; text-align: center;\">12<\/td>\n<td style=\"width: 233.5px; text-align: center;\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<div class=\"su-spoiler su-spoiler-style-simple su-spoiler-icon-plus respuestas su-spoiler-closed\" data-scroll-offset=\"0\" data-anchor-in-url=\"no\"><div class=\"su-spoiler-title\" tabindex=\"0\" role=\"button\"><span class=\"su-spoiler-icon\"><\/span>Soluci\u00f3n<\/div><div class=\"su-spoiler-content su-u-clearfix su-u-trim\">\n<table style=\"width: 376.5px;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 7px; text-align: center;\"><strong>x<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 108px; text-align: center;\"><strong>y<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 351.5px; text-align: center;\"><strong>Constante<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 7px; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 108px; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 351.5px; text-align: center;\">3 \u00f7 2 = <strong>1,5<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 7px; text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"width: 108px; text-align: center;\">7,5<\/td>\n<td style=\"width: 351.5px; text-align: center;\">7,5\u00a0\u00f7 5 = <strong>1, 5<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 7px; text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"width: 108px; text-align: center;\">9<\/td>\n<td style=\"width: 351.5px; text-align: center;\">9\u00a0\u00f7 6 = <strong>1,5<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 7px; text-align: center;\">8<\/td>\n<td style=\"width: 108px; text-align: center;\">12<\/td>\n<td style=\"width: 351.5px; text-align: center;\">12\u00a0\u00f7 8 = <strong>1,5<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div><\/div>\n<\/div><\/div>\n<div class=\"su-spoiler su-spoiler-style-simple su-spoiler-icon-plus material_docente su-spoiler-closed\" data-scroll-offset=\"0\" data-anchor-in-url=\"no\"><div class=\"su-spoiler-title\" tabindex=\"0\" role=\"button\"><span class=\"su-spoiler-icon\"><\/span>RECURSOS PARA DOCENTES<\/div><div class=\"su-spoiler-content su-u-clearfix su-u-trim\">\n<h3>Art\u00edculo \u201cProporcionalidad directa e inversa\u201d<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">En este art\u00edculo encontrar\u00e1s una explicaci\u00f3n y ejemplos relacionados con los c\u00e1lculos de proporcionalidad.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/Temas\/Matematica\/MATEMATICAS_proporcion_proporcionalidad.pdf\">VER<\/a><\/p>\n<h3>V\u00eddeo \u201cProporcionalidad directa e inversa\u201d<\/h3>\n<p style=\"text-align: justify;\">Este v\u00eddeo contiene la explicaci\u00f3n para determinar la constante de proporcionalidad en una relaci\u00f3n.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/elbibliote.com:8443\/bibliote-com-web\/others\/vervideojs.jsp?id=cc8e625e\">VER<\/a><\/p>\n<\/div><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La proporci\u00f3n es una medida que utilizamos casi de manera intuitiva para expresar relaciones entre dos magnitudes, tales como la longitud, la masa, el tiempo o las unidades monetarias. El concepto de proporciones est\u00e1 impl\u00edcito cuando graficamos funciones lineales o al aplicar una regla de tres.<\/p>\n","protected":false},"author":22,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[8],"tags":[1336,1335,1339,1337,1334,212,1127,1128,1338,211,1333],"class_list":["post-6837","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-7mo-grado","tag-constante-de-proporcionalidad","tag-creciente","tag-decreciente","tag-k","tag-pendiente","tag-proporcion","tag-proporcionalidad","tag-proporcionalidad-directa","tag-proporcionalidad-inversa","tag-proporciones","tag-proporsion"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/6837"}],"collection":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/22"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=6837"}],"version-history":[{"count":22,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/6837\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":12184,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/6837\/revisions\/12184"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=6837"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=6837"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/libro-pedia\/manual_matematica\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=6837"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}