{"id":3075,"date":"2018-04-05T10:04:41","date_gmt":"2018-04-05T13:04:41","guid":{"rendered":"http:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=3075"},"modified":"2021-09-01T15:02:05","modified_gmt":"2021-09-01T18:02:05","slug":"ejercicios-de-potenciacion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=3075","title":{"rendered":"\u00a0Ejercicios de potenciaci\u00f3n"},"content":{"rendered":"

La potenciaci\u00f3n es muy \u00fatil para resolver diversos tipos de problemas, como en la descomposici\u00f3n de n\u00fameros en sus factores primos o en el empleo de la notaci\u00f3n cient\u00edfica. Sin embargo, en estos y muchos otros casos en donde es aplicada la potenciaci\u00f3n, se cumplen algunas propiedades que es indispensable conocerlas.<\/em><\/span><\/p>\n

Elementos de una potencia<\/strong><\/h2>\n

Una potencia es una expresi\u00f3n con la forma an<\/sup><\/em><\/strong>, donde a<\/em><\/strong>\u00a0es la base y n<\/em><\/strong>\u00a0es su \u00edndice o exponente. La definici\u00f3n de una potencia var\u00eda en funci\u00f3n al conjunto num\u00e9rico al cual pertenece el exponente. Sus elementos principales son:<\/p>\n

Base<\/strong>: es el n\u00famero que se debe multiplicar por s\u00ed mismo.<\/p>\n

Exponente<\/strong>: n\u00famero que indica las veces que se debe multiplicar la base por s\u00ed misma, tambi\u00e9n se denomina \u00edndice.<\/p>\n

Potencia:<\/strong> es el resultado de la potenciaci\u00f3n.<\/p>\n

 <\/p>\n

\"\"
Las potencias pueden aplicarse tanto en n\u00fameros reales como en n\u00fameros complejos.<\/figcaption><\/figure>\n
\u00bfC\u00f3mo leer una potencia?<\/strong><\/p>\n

Para leer una potencia, primero se lee el valor de su base y luego su exponente. Por ejemplo, 42<\/sup> se lee como \u201ccuatro elevado al cuadrado\u201d, se usa la expresi\u00f3n cuadrado para expresar que el exponente es el n\u00famero 2. En el caso de que el exponente sea el n\u00famero 3 se usa la expresi\u00f3n cubo, de esta forma, 73<\/sup> se leer\u00eda \u201csiete elevado al cubo\u201d. Para los dem\u00e1s exponentes se emplean los n\u00fameros ordinales: \u201csiete elevado a la quinta\u201d, \u201cnueve elevado a la sexta\u201d, etc.<\/div><\/div>\n

 <\/p>\n

\"\"
Cuando el exponente de la potencia es 1, simplemente se coloca la base sin exponente porque cualquier n\u00famero multiplicado por uno da el mismo n\u00famero.<\/figcaption><\/figure>\n

Repaso de las propiedades<\/strong><\/h2>\n

Las propiedades de la potenciaci\u00f3n o de las potencias permiten resolver ejercicios que involucran potencias.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n
Propiedades de la potencia<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
1<\/td>\nPotencia de exponente 0<\/td>\n\"a^{0}=1\"<\/td>\n<\/tr>\n
2<\/td>\nPotencia de exponente 1<\/td>\n\"a^{1}=a\"<\/td>\n<\/tr>\n
3<\/td>\nPotencia con exponente negativo<\/td>\n\"a^{-n}=\\frac{1}{a^{n}}\"<\/td>\n<\/tr>\n
4<\/td>\nMultiplicaci\u00f3n de potencias de igual base<\/td>\n\"a^{m}\\times<\/td>\n<\/tr>\n
5<\/td>\nDivisi\u00f3n de potencias de igual base<\/td>\n\"\\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\"<\/td>\n<\/tr>\n
6<\/td>\nPotencia de una potencia<\/td>\n\"\\left<\/td>\n<\/tr>\n
7<\/td>\nPotencia de un producto<\/td>\n\"\\left<\/td>\n<\/tr>\n
8<\/td>\nPotencia de una divisi\u00f3n<\/td>\n\"\\left<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
\"\"
Las potencias de base 10 son usadas para expresar cantidades muy grandes o muy peque\u00f1as en un sistema denominado notaci\u00f3n cient\u00edfica.<\/figcaption><\/figure>\n

Propiedades que no se cumplen en la potenciaci\u00f3n<\/strong><\/h2>\n
    \n
  • \n

    Propiedad distributiva<\/h3>\n<\/li>\n<\/ul>\n

    Aunque se cumple para la multiplicaci\u00f3n y la divisi\u00f3n, como se pueden observar en las propiedades 7 y 8 de la tabla anterior, la propiedad distributiva no se cumple con respecto a la adici\u00f3n y a la sustracci\u00f3n.<\/p>\n

    \"{\\color{Red}<\/p>\n

    \"{\\color{Red}<\/p>\n

      \n
    • \n

      Propiedad asociativa<\/h3>\n<\/li>\n<\/ul>\n

      No se cumple en la potenciaci\u00f3n.<\/p>\n

      \"{\\color{Red}<\/p>\n

        \n
      • \n

        Propiedad conmutativa<\/h3>\n<\/li>\n<\/ul>\n

        Solo se cumple cuando la base y el exponente tienen el mismo valor num\u00e9rico (como 55<\/sup>, 77<\/sup>, 44<\/sup>, etc.). Generalmente se cumple que:<\/p>\n

        \"{\\color{Red}<\/p>\n

         <\/p>\n

        \"\"
        No existe una soluci\u00f3n para la expresi\u00f3n 00, en este caso se trata de una indeterminaci\u00f3n.<\/figcaption><\/figure>\n

        Aplicaci\u00f3n de las propiedades<\/strong><\/h2>\n
          \n
        • Aplica las propiedades de la potenciaci\u00f3n para resolver los siguientes ejercicios:<\/li>\n<\/ul>\n

          a) \"\\mathbf{\\frac{5^{7}}{5^{3}}-\\left<\/p>\n

           <\/p>\n

          Primero empleamos la propiedad 5 para la divisi\u00f3n:<\/span><\/p>\n

          \"{\\color{Blue}<\/p>\n

          Luego aplicamos la propiedad 6 para la segunda parte del ejercicio:<\/p>\n

          \"5^{4}-\\left<\/p>\n

          Resolvemos ambas potencias:<\/p>\n

          \"5^{4}=5\\times<\/p>\n

          \"3^{4}=3\\times<\/p>\n

          Finalmente sustituimos los valores:<\/p>\n

          \"5^{4}-3^{4}=625-81=\\mathbf{544}\"<\/p>\n

          Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n\n\n\n
          \n

          \"\\frac{5^{7}}{5^{3}}-\\left<\/h3>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

           <\/p>\n

          b) \"\\mathbf{\\frac{5^{2}\\times<\/p>\n

          Por la propiedad 1 sabemos que 60<\/sup> = 1, as\u00ed que, al ser multiplicaciones, su valor no afectar\u00e1 el resultado. La expresi\u00f3n queda de la siguiente forma:<\/p>\n

          \"\\frac{5^{2}\\times<\/p>\n

          Luego calculamos las potencias:<\/p>\n

          \"5^{2}=5\\times<\/p>\n

          \"2^{3}=2\\times<\/p>\n

          \"2^{2}=2\\times<\/p>\n

          Sustituimos los resultados de las potencias:<\/p>\n

          \"\\frac{5^{2}\\times<\/p>\n

          Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n\n\n\n
          \"\\frac{5^{2}\\times<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

           <\/p>\n

          c) \"\\mathbf{2^{3}-7^{2}+\\frac{3^{6}}{3^{4}}}\"<\/p>\n

          Aplicamos la propiedad 5 en la divisi\u00f3n:<\/p>\n

          \"2^{3}-7^{2}+{\\color{Blue}<\/p>\n

          Resolvemos las potencias:<\/p>\n

          \"2^{3}=2\\times<\/p>\n

          \"7^{2}=7\\times<\/p>\n

          \"3^{2}=3\\times<\/p>\n

           <\/p>\n

          Sustituimos los resultados en las potencias y resolvemos:<\/p>\n

          \"2^{3}-7^{2}+3^{2}=8-49+9=\\mathbf{-32}\"<\/p>\n

          Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n\n\n\n
          \"2^{3}-7^{2}+\\frac{3^{6}}{3^{4}}=\\mathbf{-32}\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

          d) \"\\mathbf{\\frac{2^{7}\\times<\/p>\n

          En este problema se pueden resolver las potencias por separado y luego sustituir, pero existe una manera m\u00e1s sencilla de llegar al resultado a trav\u00e9s de las propiedades de la potenciaci\u00f3n. Lo primero que se debe hacer es aplicar la propiedad 7 en el numerador. De este modo, la expresi\u00f3n queda de la siguiente forma:<\/p>\n

          \"\\frac{2^{7}\\times<\/p>\n

          Resolvemos el producto para originar una fracci\u00f3n con potencias de igual base:<\/p>\n

          \"\\frac{\\left<\/p>\n

          Aplicamos la propiedad 5:<\/p>\n

          \"\\frac{6^{7}}{6^{4}}=6^{7-4}=6^{3}\"<\/p>\n

          Resolvemos:<\/p>\n

          \"6^{3}=6\\times<\/p>\n

          Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n\n\n\n
          \"\\frac{2^{7}\\times<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

           <\/p>\n

          e) \"\\mathbf{(2)^{2}\\times<\/p>\n

           <\/p>\n

          Para empezar, calculamos las potencias:<\/p>\n

          \"\\left<\/p>\n

          \"\\left<\/p>\n

           <\/p>\n

          Despu\u00e9s sustituimos las potencias en la expresi\u00f3n inicial y resolvemos:<\/p>\n

          \"(2)^{2}\\times<\/p>\n

          Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n\n\n\n
          \"(2)^{2}\\times<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
          \"\"
          En las potencias con base negativa se debe aplicar la regla de los signos.<\/figcaption><\/figure>\n

          Aplicaci\u00f3n en expresiones algebraicas<\/strong><\/h2>\n

          Adem\u00e1s de lo \u00fatiles que son las propiedades de la potenciaci\u00f3n para resolver problemas num\u00e9ricos, tambi\u00e9n pueden emplearse en expresiones algebraicas complejas con la finalidad de hacerlas m\u00e1s sencillas. A continuaci\u00f3n se muestran algunos ejemplos.<\/p>\n

            \n
          • Reduce a la \u00fanica potencia:<\/li>\n<\/ul>\n

            a) \"\\mathbf{\\frac{\\left<\/p>\n

            Aplicamos la propiedad 6 en el numerador:<\/p>\n

            \"\\frac{\\left<\/p>\n

            Como se obtuvo una divisi\u00f3n de potencias de igual base, empleamos la propiedad 5:<\/p>\n

            \"\\frac{a^{6}}{a}=a^{6-1}=a^{5}\"<\/p>\n

            Soluci\u00f3n:<\/strong><\/p>\n\n\n\n
            \"\\frac{\\left<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

             <\/p>\n

            b) \"\\mathbf{\\left<\/p>\n

            Al aplicar la propiedad 5 en la fracci\u00f3n se obtiene que:<\/p>\n

            \"\\left<\/p>\n

            Por medio de la propiedad 6 se obtiene la siguiente expresi\u00f3n:<\/p>\n

            \"\\left<\/p>\n

            Soluci\u00f3n:<\/h3>\n\n\n\n
            \"\\left<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n
            \"\"
            Existe la potenciaci\u00f3n con exponentes racionales que se denotan en forma de fracci\u00f3n.<\/figcaption><\/figure>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

            La potenciaci\u00f3n es muy \u00fatil para resolver diversos tipos de problemas como en la descomposici\u00f3n de n\u00fameros en sus factores primos o en el empleo de la notaci\u00f3n cient\u00edfica. Sin embargo, en \u00e9stos y muchos otros casos en donde es aplicada la potenciaci\u00f3n, se cumplen algunas propiedades que es indispensable conocerlas.<\/p>\n","protected":false},"author":9,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[19],"tags":[4493,4487,4494,4495,4486,1707,4267,4492,831,4490,4488,4491,4489,1704,4441],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3075"}],"collection":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/9"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=3075"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3075\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":19341,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/3075\/revisions\/19341"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=3075"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=3075"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=3075"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}