{"id":8409,"date":"2019-02-12T14:36:38","date_gmt":"2019-02-12T17:36:38","guid":{"rendered":"http:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=8409"},"modified":"2021-09-09T16:38:47","modified_gmt":"2021-09-09T19:38:47","slug":"ecuaciones-con-valor-absoluto-o-modulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=8409","title":{"rendered":"Ecuaciones con valor absoluto o m\u00f3dulo"},"content":{"rendered":"

El valor absoluto o m\u00f3dulo con frecuencia es utilizado para representar distancia, por lo tanto, siempre se lo considera un n\u00famero positivo. Las ecuaciones con m\u00f3dulo se resuelven de manera particular, para ello es necesario conocer todas las propiedades del valor absoluto.<\/em><\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales | |. Puede contener n\u00fameros o expresiones algebraicas:<\/p>\n

|8|, |\u22125|, |2x + 1|, etc.<\/p>\n

DEFINICI\u00d3N de valor absoluto<\/h2>\n

Este concepto se define como:<\/p>\n

a<\/mi><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced>=<\/mo>a<\/mi>,<\/mo> <\/mo>s<\/mi>i<\/mi> <\/mo>a<\/mi>≥<\/mo> <\/mo>0<\/mn><\/mtd><\/mtr>–<\/mo>a<\/mi>,<\/mo> <\/mo>s<\/mi>i<\/mi> <\/mo>a<\/mi> <\/mo><<\/mo> <\/mo>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n

“Si un n\u00famero es positivo o cero, su valor absoluto coincide con dicho n\u00famero. Si en cambio el n\u00famero es negativo, su valor absoluto es el inverso aditivo del mismo (es decir un n\u00famero positivo)”.<\/p>\n

Ejemplos:<\/p>\n

|12| = 12<\/p>\n

|1\/2| = 1\/2<\/p>\n

|3| = 3<\/p>\n

|\u22123| = 3<\/p>\n

En el caso de |3|, a = 3 siendo a > 0, a es positivo, por lo tanto:<\/p>\n

|3| = 3<\/p>\n

Por otra parte en |\u22123|, a = \u22123 siendo a < 0, a es negativo, entonces:<\/p>\n

|\u22123| = \u2212(\u22123) = 3\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\u2212(\u22123) es el inverso aditivo de 3<\/span><\/p>\n

En definitiva, el valor absoluto siempre es positivo.<\/p>\n

VALOR ABSOLUTO Y DISTANCIA<\/h2>\n

\"\"<\/p>\n

Al observar la recta num\u00e9rica se puede apreciar que la distancia de un n\u00famero al origen es siempre es positiva.<\/p>\n

|x| representa la distancia de x a 0. Entonces:<\/p>\n

    \n
  • La distancia de x al 0 es x, si x es positivo.<\/li>\n
  • La distancia de x al 0 es -x, si x es negativo.<\/li>\n<\/ul>\n

    La notaci\u00f3n para la distancia de x al cero es:<\/p>\n

    d(x;0) = |x|<\/p>\n

    Tambi\u00e9n puede expresarse en forma de m\u00f3dulo la distancia entre dos n\u00fameros cualesquiera:<\/p>\n

    d(a;b) = |a \u2212 b|<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Se puede observar que la distancia entre “a” y “b” corresponde al m\u00f3dulo de a-b.<\/p>\n

    Ejemplo: <\/strong><\/p>\n

    Calcular la distancia entre \u22122 y 5.<\/strong><\/p>\n

    d(a;b) = |a \u2212 b|<\/p>\n

    d(-2;5) = |\u22122 \u2212 5| = |\u22127| = 7<\/p>\n

    PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO<\/strong><\/p>\n
      \n
    1. |a \u00b7 b| = |a| \u00b7 |b|<\/li>\n
    2. |a\/b|= |a|\/|b|<\/li>\n
    3. |a + b| \u2264 |a| + |b|\u00a0 Desigualdad triangular<\/li>\n
    4. |\u2212a| = |a|<\/li>\n
    5. |a|2<\/sup>\u00a0= a2<\/sup><\/div><\/div><\/li>\n<\/ol>\n
      \"\"
      Las nociones de valor absoluto fueron postuladas por Euclides 300 a\u00f1os antes de Cristo.<\/figcaption><\/figure>\n

      RA\u00cdZ CUADRADA Y VALOR ABSOLUTO<\/h2>\n

      a<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/msqrt>=<\/mo>|<\/mo>a<\/mi>|<\/mo><\/math><\/p>\n

      Un error com\u00fan cuando se intenta resolver una ra\u00edz par es aplicar la ra\u00edz al radicando y dar como respuesta un \u00fanico resultado.<\/p>\n

      r<\/mi>a<\/mi>d<\/mi>i<\/mi>c<\/mi>a<\/mi>n<\/mi>d<\/mi>o<\/mi><\/mrow>í<\/mi>n<\/mi>d<\/mi>i<\/mi>c<\/mi>e<\/mi><\/mrow><\/mroot>=<\/mo> <\/mo>r<\/mi>a<\/mi>í<\/mi>z<\/mi><\/math><\/p>\n

      Por ejemplo:<\/p>\n

      4<\/mn> <\/mo><\/msqrt> <\/mo>=<\/mo> <\/mo>2<\/mn><\/math><\/p>\n

      El resultado es correcto, pero no el \u00fanico, se estar\u00eda omitiendo otra posible soluci\u00f3n. Entonces, deber\u00eda resolverse de la siguiente forma:<\/p>\n

      4 = 22<\/sup><\/p>\n

      4 =(-2)2<\/sup><\/p>\n

      Por lo tanto:<\/p>\n

      4<\/mn><\/msqrt>=<\/mo>2<\/mn>2<\/mn><\/msup><\/msqrt> <\/mo><\/mspace>4<\/mn><\/msqrt>=<\/mo>(<\/mo>–<\/mo>2<\/mn>)<\/mo>2<\/mn><\/msup><\/msqrt> <\/mo><\/math><\/p>\n

      Esto significa que las respuestas son dos:<\/p>\n

      2<\/mn>2<\/mn><\/msup><\/msqrt>=<\/mo>2<\/mn><\/mspace>(<\/mo>–<\/mo>2<\/mn>)<\/mo>2<\/mn><\/msup><\/msqrt>=<\/mo>–<\/mo>2<\/mn><\/math><\/p>\n

      Por ello se utiliza el concepto de valor absoluto en estos casos:<\/p>\n

      a<\/mi>2<\/mn><\/msup><\/msqrt>=<\/mo>|<\/mo>a<\/mi>|<\/mo><\/math><\/p>\n

       <\/p>\n

      4<\/mn><\/msqrt>=<\/mo>2<\/mn>2<\/mn><\/msup><\/msqrt>=<\/mo>(<\/mo>–<\/mo>2<\/mn>)<\/mo>2<\/mn><\/msup><\/msqrt>=<\/mo>|<\/mo>2<\/mn>|<\/mo><\/math><\/p>\n

      Al ser una ra\u00edz cuadrada tiene dos soluciones:<\/p>\n

      x<\/mi>1<\/mn><\/msub>=<\/mo>2<\/mn> <\/mo><\/mspace>x<\/mi>2<\/mn> <\/mo><\/mrow><\/msub>=<\/mo>–<\/mo>2<\/mn><\/math><\/p>\n

      Ejercicios resueltos de valor absoluto<\/h2>\n

      Expresar sin los s\u00edmbolos de valor absoluto:<\/p>\n

      Ejercicio 1:|x-3|<\/strong><\/p>\n

      Caso 1<\/p>\n

      |x\u22123| = x \u2212 3<\/p>\n

      Cuando x \u2212 3 \u2265 0,\u00a0 x \u2265 3.<\/p>\n

      Caso 2<\/p>\n

      |x \u2212 3| = \u2212(x \u2212 3) = \u2212x + 3<\/p>\n

      Cuando x \u2212 3 < 0, x < 3.<\/p>\n

      La respuesta se expresa de la siguiente forma:<\/p>\n

       <\/p>\n

      x<\/mi>–<\/mo>3<\/mn><\/mrow><\/mfenced>=<\/mo>x<\/mi>–<\/mo>3<\/mn>,<\/mo> <\/mo>s<\/mi>i<\/mi> <\/mo>x<\/mi>≥<\/mo>3<\/mn><\/mtd><\/mtr>–<\/mo>x<\/mi>+<\/mo>3<\/mn>,<\/mo> <\/mo>s<\/mi>i<\/mi> <\/mo>x<\/mi><<\/mo>3<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n

       <\/p>\n

      Ejercicio 2: |x<\/strong>2<\/sup>\u00a0+ 1|<\/strong><\/p>\n

      En este caso, la expresi\u00f3n dentro de las barras de valor absoluto corresponde a un n\u00famero positivo, dado que para cualquier valor de x su cuadrado es positivo.<\/p>\n

      Y si a un valor positivo se le suma 1, se obtiene otro valor positivo. Entonces x2<\/sup>\u00a0+ 1 > 0. De esta forma:<\/p>\n

      |x2<\/sup>\u00a0+ 1| =\u00a0 x2<\/sup>\u00a0+ 1 Es la \u00fanica respuesta posible.<\/p>\n

      RESOLUCI\u00d3N DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO<\/h2>\n

      Antes de trabajar con ecuaciones de valor absoluto es necesario tener en cuenta las siguientes reglas para modificar cualquier ecuaci\u00f3n:<\/p>\n

        \n
      • Si se suma o resta una cantidad a ambos lados de una ecuaci\u00f3n, las soluciones no se modifican.<\/li>\n<\/ul>\n

        EJEMPLO:<\/p>\n

        2x + 3 = x + 1<\/p>\n

        2x + 3\u00a0\u2212 x<\/span> = x + 1\u2212 x<\/span><\/p>\n

        x + 3 = 1<\/p>\n

        x + 3\u00a0\u2212\u00a0<\/span>3\u00a0<\/span>= 1\u00a0\u2212\u00a0<\/span>3<\/span><\/p>\n

        x = \u2212<\/span>2<\/p>\n

          \n
        • Cuanto se divide o multiplica un mismo n\u00famero (distinto de cero) a ambos lados de la ecuaci\u00f3n, las soluciones no se modifican.<\/li>\n<\/ul>\n

          EJEMPLO:<\/p>\n

          2x = 8<\/p>\n

          2x\u00a0: 2\u00a0<\/span>= 8\u00a0: 2<\/span><\/p>\n

          x = 4<\/p>\n

          Estos pasos pueden realizarse simplificando el procedimiento, lo que da como resultado las reglas:<\/p>\n

            \n
          • Todo lo que est\u00e1 sumando de un lado de la igualdad pasa restando y viceversa.<\/li>\n
          • Todo lo que est\u00e1 multiplicando de un lado de la igualdad pasa dividiendo y viceversa.<\/li>\n<\/ul>\n

            Ejercicios resueltos de ecuaciones con valor absoluto<\/strong><\/h3>\n

            Ejercicio 1: |x \u2212 6| = 3<\/strong><\/p>\n

            Existen dos posibilidades |x \u2212 6| = |3| o |x \u2212 6| = |\u22123|, entonces:<\/p>\n

            x<\/mi>–<\/mo>6<\/mn><\/mrow><\/mfenced>=<\/mo>3<\/mn> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo> <\/mo>x<\/mi>–<\/mo>6<\/mn>=<\/mo>3<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtr>x<\/mi>–<\/mo>6<\/mn>=<\/mo>–<\/mo>3<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math><\/p>\n

            Al resolver cada una de las ecuaciones se obtiene:<\/p>\n

            x \u2212 6 = 3<\/p>\n

            x = 3 + 6<\/p>\n

            x = 9<\/p>\n

             <\/p>\n

            x \u2212 6 = \u22123<\/p>\n

            x = \u22123 + 6<\/p>\n

            x = 3<\/p>\n

            Entonces las respuestas posibles son:<\/p>\n

            x1<\/sub>\u00a0= 9 o x2<\/sub>\u00a0= 3<\/p>\n

            VERIFICACI\u00d3N:<\/p>\n

            |x \u2212 6| = 3<\/p>\n

            Para x1<\/sub>\u00a0= 9:<\/p>\n

            |9 \u2212 6| = 3<\/p>\n

            |3| = 3<\/p>\n

            3 = 3<\/p>\n

            Para x2<\/span><\/sub>\u00a0<\/span>= 3:<\/p>\n

            |3 \u2212 6| = 3<\/p>\n

            |\u22123| = 3<\/p>\n

            3 = 3<\/p>\n

            Queda demostrado que ambos valores verifican la igualdad.<\/p>\n

            Ejercicio 2: |2 (x \u2212 1)| = |x \u2212 1|+ 2<\/strong><\/p>\n

            Se aplica la propiedad n\u00famero 1 del valor absoluto,dado que hay una multiplicaci\u00f3n |2(x \u2212 1)|. Entonces la ecuaci\u00f3n se puede reescribir de la siguiente forma:<\/p>\n

            |2||x \u2212 1| = |x \u2212 1| + 2<\/p>\n

            2<\/span>|x \u2212 1|<\/span>\u2212 |x \u2212 1|\u00a0<\/span>= 2\u00a0 Se pasa el valor absoluto de la derecha al lado izquierdo.<\/p>\n

            Como las expresiones dentro del valor absoluto son iguales, se pueden asociar (en este caso se restan).<\/p>\n

            |x \u2212 1| = 2\u00a0\u00a0<\/span><\/p>\n

            Y para hallar la respuesta se tiene que:<\/p>\n

            x \u2212 1 = 2\u00a0 \u00a0o \u00a0x \u2212 1 = \u22122<\/span><\/p>\n

            Se resuelve cada ecuaci\u00f3n por separado:<\/p>\n

            x = 2 + 1\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 x = \u22122 + 1<\/p>\n

            x = 3\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 x = \u22121<\/p>\n

            Los resultados se pueden expresar como:<\/p>\n

            x1<\/sub>\u00a0= 3 o\u00a0 x2<\/sub>\u00a0= \u22121<\/p>\n

            La verificaci\u00f3n se podr\u00eda realizar del mismo modo que en ejercicio anterior. Puedes intentarlo si deseas.<\/p>\n

            A PRACTICAR LO APRENDIDO<\/h2>\n

            \"\"<\/p>\n

              \n
            1. Escribir cada expresi\u00f3n sin los s\u00edmbolos de valor absoluto:<\/li>\n<\/ol>\n

              a) |x + 4|=<\/p>\n

              b) |x3<\/sup>\u00a0+ 1|=<\/p>\n

              2. Hallar la distancia:<\/p>\n

              a) Entre 2 y 3.<\/p>\n

              b) d(\u22123;8)<\/p>\n

              3. Resolver las siguientes ecuaciones:<\/p>\n

              a) |x \u2212 5| = 4<\/p>\n

              b) |\u22123x| + |\u2212x| = 4<\/p>\n

              c) x2<\/sup>\u00a0= 64<\/p>\n

              RESPUESTAS<\/strong><\/p>\n

              a)<\/p>\n

              x<\/mi> <\/mo>+<\/mo> <\/mo>4<\/mn>,<\/mo> <\/mo>s<\/mi>i<\/mi> <\/mo>x<\/mi> <\/mo>≥<\/mo> <\/mo>–<\/mo>4<\/mn><\/mtd><\/mtr>–<\/mo>x<\/mi> <\/mo>–<\/mo> <\/mo>4<\/mn>,<\/mo> <\/mo>s<\/mi>i<\/mi> <\/mo>x<\/mi> <\/mo><<\/mo> <\/mo>–<\/mo>4<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n

               <\/p>\n

              b)<\/p>\n

              x<\/mi>3<\/mn><\/msup> <\/mo>+<\/mo> <\/mo>1<\/mn>,<\/mo> <\/mo>s<\/mi>i<\/mi> <\/mo>x<\/mi>≥<\/mo> <\/mo>–<\/mo>1<\/mn><\/mtd><\/mtr>–<\/mo>x<\/mi>3<\/mn><\/msup>–<\/mo> <\/mo>1<\/mn>,<\/mo> <\/mo>s<\/mi>i<\/mi> <\/mo>x<\/mi> <\/mo><<\/mo> <\/mo>–<\/mo>1<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n

               <\/p>\n

              2.<\/p>\n

              a) 1<\/p>\n

              b) 11<\/p>\n

              3.<\/p>\n

              a) x1\u00a0<\/sub>= 1 o x2\u00a0<\/sub>= 9<\/p>\n

              b) x1\u00a0<\/sub>= 1 o x2\u00a0<\/sub>= \u22121<\/p>\n

              c)\u00a0x1\u00a0<\/sub>= \u22128 o x2\u00a0<\/sub>= 8<\/p>\n

              \u00bfSab\u00edas qu\u00e9...?<\/div>
              La obra de Euclides Los elementos<\/em> ordena y contiene postulados de conocimientos sobre geometr\u00eda y matem\u00e1tica en la Antig\u00fcedad. Es el matem\u00e1tico m\u00e1s le\u00eddo de la historia de las ciencias. <\/div><\/div>\n

               <\/p>\n

               <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

              El valor absoluto o m\u00f3dulo con frecuencia es utilizado para representar distancia, por lo tanto siempre se lo considera un n\u00famero positivo. Las ecuaciones con m\u00f3dulo se resuelven de manera particular, para ello es necesario conocer todas las propiedades del valor absoluto.<\/p>\n","protected":false},"author":19,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[19],"tags":[8065,8066,8063,8064,8069,8070,8062,8067,8068,8061],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/8409"}],"collection":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/19"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=8409"}],"version-history":[{"count":24,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/8409\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":19414,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/8409\/revisions\/19414"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=8409"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=8409"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=8409"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}