{"id":8557,"date":"2019-02-13T17:33:21","date_gmt":"2019-02-13T20:33:21","guid":{"rendered":"http:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=8557"},"modified":"2019-02-13T17:33:21","modified_gmt":"2019-02-13T20:33:21","slug":"metodo-de-ruffini","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=8557","title":{"rendered":"M\u00e9todo de Ruffini"},"content":{"rendered":"

El matem\u00e1tico Paolo Ruffini ide\u00f3 un m\u00e9todo para dividir polinomios denominado regla de Ruffini en su honor. Con ella se pueden calcular los coeficientes de la divisi\u00f3n de un polinomio por un binomio x-a. Es una forma que simplifica y facilita este tipo de operaciones matem\u00e1ticas.<\/em><\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

 <\/p>\n

Antes de aplicar la regla de Ruffini se deben revisar los conceptos de teorema del resto y teorema de Gauss.<\/p>\n

TEOREMA DEL RESTO<\/strong><\/h2>\n

Dado un polinomio P(x) y otro Q(x)= x-a, el resto de dividir a P(x) entre Q(x) es P(a).<\/p>\n

P(a) es R, el resto de dicha divisi\u00f3n.<\/p>\n

En otras palabras, el resto de un polinomio P(x) se puede calcular realizando la especializaci\u00f3n del mismo. Es decir, reemplazando el valor num\u00e9rico para x=a. Ejemplo:<\/p>\n

Calcular el resto de la divisi\u00f3n entre P(x) y Q(x).<\/p>\n

P(x)=2x3<\/sup>-2x2<\/sup>+2x-8
\nQ(x)= x-1<\/p>\n

Especializando en x=1 se obtiene:<\/p>\n

P(1)=2\u00b7(1)3<\/sup>-2\u00b7(1)2<\/sup>+2\u00b7(1)-8
\nP(1)=2\u00b71-2\u00b71+2-8
\nP(1)=2-2+2-8=-6<\/p>\n

El resto de la divisi\u00f3n entre P(x) y Q(x) es -6.<\/p>\n

Consecuencias del teorema del resto<\/strong><\/h3>\n

Un polinomio es divisible por (x-a), s\u00ed y s\u00f3lo s\u00ed P(a) =0, s\u00ed y s\u00f3lo s\u00ed “a” es ra\u00edz de P(x).
\nEn el ejemplo anterior P(x) no es divisible por Q(x), ya que el resto es distinto de cero.[\/su_note]\n

m\u00e9todo de gauss<\/h2>\n

Con el teorema de Gauss se pueden hallar las posibles ra\u00edces de un polinomio. \u00c9stas se obtienen realizando el cociente entre los divisores del t\u00e9rmino independiente de un polinomio y los divisores del coeficiente principal. Este m\u00e9todo es \u00fatil para polinomios de grado tres o superiores, dado que en caso de tener un polinomio de grado dos hay otras formas m\u00e1s sencillas de resoluci\u00f3n.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

EJEMPLO<\/strong><\/p>\n

Seg\u00fan el m\u00e9todo de Gauss hallar las posibles ra\u00edces del polinomio: P(x)=2x3<\/sup>+x2<\/sup>+5x-8.<\/p>\n

Los coeficientes de un polinomio corresponden a la parte num\u00e9rica del polinomio.<\/p>\n

\"\"
Cuando la x no tiene escrito un coeficiente a la izquierda, significa que \u00e9ste es 1.<\/figcaption><\/figure>\n

El t\u00e9rmino c\u00fabico es el que tiene a la variable x elevada al cubo y el t\u00e9rmino independiente es aquel que no tiene parte literal. Para realizar el m\u00e9todo de Gauss debe identificarse el t\u00e9rmino cuyo grado sea mayor (de all\u00ed se obtiene el coeficiente principal) y el t\u00e9rmino independiente.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

En este ejemplo, el coeficiente del t\u00e9rmino c\u00fabico es el principal, por lo tanto:<\/p>\n

coeficiente principal: 2<\/span><\/p>\n

t\u00e9rmino independiente: -8<\/span><\/p>\n\n\n\n\n
COEFICIENTE PRINCIPAL<\/strong><\/span><\/td>\nDIVISORES\u00a0<\/strong><\/span><\/td>\n<\/td>\nT\u00c9RMINO INDEPENDIENTE\u00a0<\/strong><\/span><\/td>\nDIVISORES<\/strong><\/span><\/td>\n<\/tr>\n
2<\/span><\/td>\n-1,-2,1,2<\/span><\/td>\n-8<\/span><\/td>\n-8,-4,-2,-1,1,2,4,8<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Se efect\u00faan todos los posibles cocientes:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Se toma el primer divisor del t\u00e9rmino independiente y se lo divide por todos los divisores del coeficiente principal:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

De aqu\u00ed se obtienen cuatro posibles ra\u00edces: 4, 8, -8 y -4.<\/p>\n

Se debe hacer el mismo procedimiento con cada uno de los divisores del t\u00e9rmino independiente. Otro ejemplo:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Se puede observar que algunos resultados se repiten, por lo tanto hasta el momento las posibles ra\u00edces son:<\/p>\n

4, 8, -8, -4, 2, -2<\/p>\n

Se contin\u00faa con el c\u00e1lculo de las ra\u00edces probables (si deseas puedes hacerlo). Una vez calculadas todas ellas se obtienen las siguientes posibilidades:<\/p>\n

-1\/2, 1\/2, -1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8<\/p>\n

Para saber si son o no ra\u00edces se puede aplicar el teorema del resto.<\/p>\n

En el polinomio estudiado anteriormente se tiene que una de las ra\u00edces posibles es 1, se especializa entonces en a=1.<\/p>\n

P(x)=2x3<\/sup>+x2<\/sup>+5x-8<\/p>\n

P(1)=2\u00b7(1)3<\/sup>+(1)2<\/sup>+5(1)-8 = 2+1+5-8 =0<\/p>\n

Y como P(1)=0, entonces 1 es ra\u00edz del polinomio\u00a0P(x)=2x3<\/sup>+x2<\/sup>+5x-8.<\/p>\n

Esto significa que\u00a0P(x)=2x3<\/sup>+x2<\/sup>+5x-8 es divisible por x-1.<\/p>\n

Del mismo modo se realiza con las otras posibles ra\u00edces para hallar que otro u otros valores verifican que P(x)=0.<\/p>\n

“Un polinomio puede tener tantas ra\u00edces como su grado. Es decir, un polinomio de grado 3 puede tener hasta 3 ra\u00edces. Aunque no siempre todas las ra\u00edces obtenidas pertenecen al conjunto de los n\u00fameros reales.”<\/em><\/p>\n

REGLA DE RUFFINI<\/h2>\n
\"\"
Paolo Ruffini, matem\u00e1tico, m\u00e9dico y fil\u00f3sofo italiano.<\/figcaption><\/figure>\n

La regla de Ruffini es de gran utilidad para la factorizaci\u00f3n de polinomios. Se la considera una divisi\u00f3n simplificada para los casos en que el divisor es un polinomio de grado 1 y m\u00f3nico, es decir con coeficiente 1.<\/p>\n

Polinomios que se pueden dividir con el m\u00e9todo Ruffini:<\/p>\n

P(x)=2x3<\/sup>+4x2<\/sup>+5x-6 y Q(x)= x-1<\/p>\n

P(x)=x4<\/sup>-x3<\/sup>-3x2<\/sup>+x-8 y Q(x)= x+5<\/p>\n

Polinomios que NO se pueden dividir con la regla de Ruffini:<\/p>\n

P(x)=2x4<\/span><\/sup>+x3<\/span><\/sup>+x2<\/sup>+5x-8 y Q(x)=3x-1 no es posible ya que el divisor Q(x) no es m\u00f3nico, no tiene coeficiente 1, sino 3.<\/p>\n

P(x)=2x3<\/sup>+x2<\/sup>+5x-8\u00a0 \u00a0y Q(x) = x2<\/sup>-1 no es posible porque Q(x) no es un polinomio de grado uno.<\/p>\n

EJEMPLO 1:<\/strong><\/p>\n

Realizar la divisi\u00f3n entre P(x)=3x3<\/sup>-5x2<\/sup>-16x+12 y Q(x)=(x+2)<\/p>\n

Se trazan dos l\u00edneas de la siguiente forma:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Luego se colocan los coeficientes de P(x):<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

La ra\u00edz se ubica en la siguiente posici\u00f3n:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Recordar que Q(x) = x+2, entonces la ra\u00edz es -2 porque Q(-2) =-2+2=0<\/p>\n

Se coloca el primer coeficiente debajo de la l\u00ednea horizontal:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Luego se procede a multiplicar la ra\u00edz por ese primer coeficiente:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

A continuaci\u00f3n se realiza la suma algebraica en la fila conformada por el segundo coeficiente y el resultado de la multiplicaci\u00f3n antedicha:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Siguiendo el mismo procedimiento se contin\u00faa resolviendo:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Cuando se llega a la \u00faltima fila, el resultado es el resto de la divisi\u00f3n, en este caso es 0.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Los coeficientes que se obtuvieron como resultado pertenecen a un polinomio de un grado menor al dividendo. Observar que inicialmente el polinomio era de grado 3, ahora queda expresado en dos factores, un polinomio de grado dos y (x+2).<\/p>\n

P(x)=(3x2<\/sup> -11x+6)(x+2)<\/p>\n

3x2<\/sup> -11x+6 es el cociente de la divisi\u00f3n entre P(x) y Q(x).<\/p>\n

Se puede seguir factorizando, para ello se puede utilizar nuevamente Ruffini o directamente aplicar la f\u00f3rmula de Bhaskara.<\/a><\/p>\n

En esta oportunidad se realizar\u00e1 nuevamente la regla de Ruffini para (3x2<\/sup> -11x+6). Se pueden calcular las posibles ra\u00edces con el teorema de Gauss para ir probando cu\u00e1l de ellas genera un resto cero. En este caso se continuar\u00e1 con el m\u00e9todo de Ruffini, utilizaremos el valor 3 como ra\u00edz.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Una vez obtenido resto cero, se reescribe el polinomio P(x):<\/p>\n

P(x)=(3x2<\/sup> -11x+6)(x+2)<\/p>\n

P(x)=(3x-2)<\/span>(x-3)(x+2)<\/p>\n

Como la factorizaci\u00f3n implica que dentro de los par\u00e9ntesis los polinomios sean m\u00f3nicos, se debe extraer el 3 que se encuentra junto a la x de la siguiente forma:<\/p>\n

(3x-2) = 3(x-2\/3) se realiz\u00f3 factor com\u00fan 3.<\/span><\/span><\/p>\n

Los pasos que se han ido realizando en la factorizaci\u00f3n son:<\/p>\n

P(x)=3x3<\/sup>-5x2<\/sup>-16x+12
\nP(x)=(3x2<\/sup> -11x+6)(x+2)
\nP(x)=(3x-2)<\/span>(x-3)(x+2)
\nP(x)=3(x-2\/3)<\/span>(x-3)(x+2) Polinomio factorizado.<\/p>\n

EJEMPLO 2:<\/strong><\/p>\n

Hallar el resto de dividir P(x) entre Q(x):<\/p>\n

P(x)=2x3<\/sup>-2x2<\/sup>+2x-8
\nQ(x)= x-1<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

El resto R es igual a -6.
\nLos polinomios que intervienen son los mismos que los utilizados en el ejemplo del teorema del resto. Ambos m\u00e9todos sirven para hallar el resto. Pero si se desea factorizar, la opci\u00f3n a utilizar es la regla de Ruffini.<\/p>\n

A PRACTICAR LO APRENDIDO<\/h2>\n

1.<\/strong> Hallar el resto al dividir P(x) entre Q(x) en los siguientes casos:
\na)\u00a0P(x)=x3<\/sup>-7x2<\/sup>+14x-21 y Q(x)= x-2
\nb)\u00a0P(x)=x3<\/sup>-x+2 y Q(x)= x+5
\nc)\u00a0P(x)=x3<\/sup>-6x2<\/sup>+5x+11 y Q(x)= x-2<\/p>\n

2.<\/strong> Dividir P(x) entre Q(x) utilizando el m\u00e9todo de Ruffini e indicar su cociente y resto.
\na)\u00a0P(x)=2x3<\/sup>+4x2<\/sup>-5x-3 y Q(x)= x-2
\nb)P(x)=4x3<\/sup>-8x2<\/sup>-9x+7 y Q(x)= x-3
\nc) P(x)=2x3<\/sup>+5x2<\/sup>-4x+2 y Q(x)= x+3<\/p>\n

respuestas<\/h2>\n

1.<\/strong>
\na) R=-13
\nb) R= -118
\nc) R= 5<\/p>\n

2.<\/strong>
\na) Cociente: 2x2<\/sup>+8x+11, Resto: 19
\nb) Cociente: 4x2<\/sup>+4x+3, Resto: 16
\nc)\u00a0Cociente: 2x2<\/sup>-x-1, Resto: 5<\/p>\n

\u00bfSab\u00edas qu\u00e9...?<\/div>
Una de las aplicaciones de los polinomios de Zernike (establecidos por el f\u00edsico Fritz Zernike) es en el campo de la medicina. Intervienen en los c\u00e1lculos para la correcci\u00f3n de defectos visuales como miop\u00eda y astigmatismo. <\/div><\/div>\n

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El matem\u00e1tico Paolo Ruffini ide\u00f3 un m\u00e9todo para dividir polinomios denominado regla de Ruffini en su honor. Con ella, se pueden calcular los coeficientes de la divisi\u00f3n de un polinomio por un binomio x-a. Es una forma que simplifica y facilita este tipo de operaciones matem\u00e1ticas.<\/p>\n","protected":false},"author":19,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[19],"tags":[8088,8101,8097,8096,8147,8100,8083,8087,8085,8082,8086,8084,8102,8099,8098],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/8557"}],"collection":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/19"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=8557"}],"version-history":[{"count":24,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/8557\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8865,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/8557\/revisions\/8865"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=8557"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=8557"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=8557"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}