{"id":8730,"date":"2019-02-14T11:40:05","date_gmt":"2019-02-14T14:40:05","guid":{"rendered":"http:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=8730"},"modified":"2019-02-14T11:40:05","modified_gmt":"2019-02-14T14:40:05","slug":"sistemas-de-ecuaciones-lineales-aplicacion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=8730","title":{"rendered":"Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaci\u00f3n"},"content":{"rendered":"<p><span style=\"color: #808080;\"><em>Un sistema de ecuaciones lineales con dos inc\u00f3gnitas es aquel cuyas soluciones, si las tiene, satisfacen al mismo tiempo a las dos ecuaciones que conforman dicho sistema. Para resolver este tipo de ejercicios se utilizan varios m\u00e9todos: el de reducci\u00f3n, el de sustituci\u00f3n, el gr\u00e1fico y el de determinantes. A continuaci\u00f3n se desarrollar\u00e1n las aplicaciones de este tema a situaciones problem\u00e1ticas de la vida cotidiana.<\/em><\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-8733\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/iStock-470493341.jpg\" alt=\"\" width=\"700\" height=\"467\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/iStock-470493341.jpg 700w, https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/iStock-470493341-300x200.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 700px) 100vw, 700px\" \/><\/p>\n<p>Una ecuaci\u00f3n lineal con dos inc\u00f3gnitas se resuelve mediante infinitas soluciones, por ejemplo:<\/p>\n<p>y=3x+1<\/p>\n<p>Para x=0, y=1; x=1, y=4; x=-1, y = -2<\/p>\n<p>Para cualquier valor por el que se reemplace a x se obtendr\u00e1 un valor asociado de y. De all\u00ed se desprende que:<\/p>\n<ul>\n<li>x es la variable dependiente.<\/li>\n<li>y es la variable independiente.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>SISTEMAS DE ECUACIONES<\/h2>\n<p>Cuando se tienen dos ecuaciones de primer grado y dos inc\u00f3gnitas se presenta un sistema de ecuaciones. Por ejemplo:<\/p>\n<p><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><mfenced open=\"{\" close=\"\"><mtable columnalign=\"left\"><mtr><mtd><mn>3<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">x<\/mi><mo>&#8211;<\/mo><mi mathvariant=\"normal\">y<\/mi><mo>=<\/mo><mn>4<\/mn><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi mathvariant=\"normal\">x<\/mi><mo>+<\/mo><mn>2<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">y<\/mi><mo>=<\/mo><mo>&#8211;<\/mo><mn>2<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n<p>Este tipo de sistemas de ecuaciones requiere que las inc\u00f3gnitas de una ecuaci\u00f3n sean las mismas que de la otra. Es decir:<\/p>\n<p><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><mfenced open=\"{\" close=\"\"><mtable columnalign=\"left\"><mtr><mtd><mn>4<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">a<\/mi><mo>+<\/mo><mn>5<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">b<\/mi><mo>=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi mathvariant=\"normal\">a<\/mi><mo>+<\/mo><mn>2<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">b<\/mi><mo>=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n<p><em>\u00a0Es un sistema de ecuaciones.<\/em><\/p>\n<p><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><mfenced open=\"{\" close=\"\"><mtable columnalign=\"left\"><mtr><mtd><mn>2<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">x<\/mi><mo>+<\/mo><mn>3<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">y<\/mi><mo>=<\/mo><mn>10<\/mn><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mn>4<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">a<\/mi><mo>&#8211;<\/mo><mi mathvariant=\"normal\">b<\/mi><mo>=<\/mo><mn>9<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n<p><em>No es un sistema de ecuaciones.<\/em><\/p>\n<h2>TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES<\/h2>\n<p>Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser:<\/p>\n<ul>\n<li>Compatible determinado (tiene una \u00fanica soluci\u00f3n).<\/li>\n<li>Compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).<\/li>\n<li>Incompatible (no tiene soluci\u00f3n).<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Representaciones gr\u00e1ficas<\/h3>\n<p>En el sistema compatible determinado la soluci\u00f3n es el punto de intersecci\u00f3n de las dos rectas.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-8740\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/rectas-secantes.png\" alt=\"\" width=\"231\" height=\"186\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/rectas-secantes.png 468w, https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/rectas-secantes-300x242.png 300w\" sizes=\"(max-width: 231px) 100vw, 231px\" \/><\/p>\n<p>En el sistema compatible indeterminado existen infinitas soluciones porque ambas rectas son semejantes. Al graficarlas quedan ubicadas una sobre la otra.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-8738\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/compatible-indeterminada.png\" alt=\"\" width=\"241\" height=\"198\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/compatible-indeterminada.png 449w, https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/compatible-indeterminada-300x247.png 300w\" sizes=\"(max-width: 241px) 100vw, 241px\" \/><\/p>\n<p>En el sistema incompatible las dos rectas son paralelas, por ello nunca tendr\u00e1n punto de contacto, es decir, no tendr\u00e1n soluci\u00f3n.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-8739\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/paralelas.png\" alt=\"\" width=\"265\" height=\"220\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/paralelas.png 446w, https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/paralelas-300x249.png 300w\" sizes=\"(max-width: 265px) 100vw, 265px\" \/><\/p>\n<div class=\"su-note destacado\"  style=\"border-color:#c1c1d0;border-radius:3px;-moz-border-radius:3px;-webkit-border-radius:3px;\"><div class=\"su-note-inner su-u-clearfix su-u-trim\" style=\"background-color:#dbdbea;border-color:#ffffff;color:#333333;border-radius:3px;-moz-border-radius:3px;-webkit-border-radius:3px;\"><strong>DIFERENCIA ENTRE FUNCI\u00d3N LINEAL Y ECUACI\u00d3N LINEAL<\/strong><\/p>\n<p>Funci\u00f3n lineal: es una funci\u00f3n polin\u00f3mica de primer grado y se escribe con la notaci\u00f3n f(x)=mx+b<br \/>\nEcuaci\u00f3n lineal: es una igualdad, tambi\u00e9n denominada ecuaci\u00f3n de primer grado, que puede contener una o m\u00e1s variables elevadas a la primera potencia. Ejemplos:<\/p>\n<p>3x+5 = 0\u00a0 \u00a0(ecuaci\u00f3n lineal con una inc\u00f3gnita)<\/p>\n<p>3x+2y = 4\u00a0 (ecuaci\u00f3n lineal con dos inc\u00f3gnitas)<\/p>\n<\/div><\/div>\n<p>Se desarrollar\u00e1 a continuaci\u00f3n un ejemplo de resoluci\u00f3n de sistema de ecuaciones por el m\u00e9todo de igualaci\u00f3n. Si deseas repasar los m\u00e9todos de reducci\u00f3n y sustituci\u00f3n puedes ingresar al art\u00edculo <a href=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=3512\">Sistemas de ecuaciones<\/a>. Si te interesa conocer el m\u00e9todo de determinantes puedes revisar el contenido de <a href=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/Temas\/html\/1804.php\">Regla de Cramer<\/a>, m\u00e9todo ideado por el matem\u00e1tico Gabriel Cramer.<\/p>\n<p>No obstante, cualquiera de los m\u00e9todos es v\u00e1lido para la resoluci\u00f3n de problemas y ejercicios.<\/p>\n<h2>M\u00c9TODO DE IGUALACI\u00d3N<\/h2>\n<p>Dado el siguiente sistema de ecuaciones, hallar los valores de x e y.<\/p>\n<p><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><mfenced open=\"{\" close=\"\"><mtable columnalign=\"left\"><mtr><mtd><mn>2<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">x<\/mi><mo>+<\/mo><mi mathvariant=\"normal\">y<\/mi><mo>&#160;<\/mo><mo>=<\/mo><mo>&#160;<\/mo><mn>4<\/mn><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mn>3<\/mn><mi mathvariant=\"normal\">x<\/mi><mo>+<\/mo><mi mathvariant=\"normal\">y<\/mi><mo>&#160;<\/mo><mo>=<\/mo><mo>&#160;<\/mo><mn>5<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n<p>Para resolver este sistema por igualaci\u00f3n, primero se despeja una de las inc\u00f3gnitas, en este caso es m\u00e1s sencillo despejar la <span style=\"color: #ff0000;\">y<\/span>:<\/p>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\">y<\/span>=4-2x<\/p>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\">y<\/span>=5-3x<\/p>\n<p><em>Recordar que si un t\u00e9rmino se encuentra en un miembro de la igualdad con signo positivo, pasa al otro lado con signo negativo y viceversa.<\/em><\/p>\n<p>Una vez que ambas ecuaciones est\u00e1n despejadas se igualan los miembros de la derecha de ambas.<\/p>\n<p>4-2x =5-3x<\/p>\n<p>Luego se agrupan los t\u00e9rminos con inc\u00f3gnita del lado izquierdo de la igualdad y aquellos que \u00fanicamente son n\u00fameros del lado derecho.<\/p>\n<p>-2x+3x =5-4<br \/>\n<span style=\"color: #ff0000;\">x=1<\/span><\/p>\n<p>Luego de haber obtenido el valor de una de las variables, se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se obtiene el valor de y.<\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">y=4-2\u22c5<span style=\"color: #ff0000;\">1<br \/>\n<\/span><\/span>y=4-2 = 2<\/p>\n<p>Se puede probar en la otra ecuaci\u00f3n:<\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">y=5-3<\/span><span style=\"color: #ff0000;\"><span style=\"color: #000000;\">\u22c5<\/span>1<br \/>\n<\/span>y =5-3 = 2<\/p>\n<p>Por lo tanto este sistema tiene soluci\u00f3n x=1 e y=2, es compatible determinado y su gr\u00e1fica es la siguiente:<\/p>\n<figure id=\"attachment_8744\" aria-describedby=\"caption-attachment-8744\" style=\"width: 295px\" class=\"wp-caption alignnone\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-8744\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/imagen-grafica-ejercicio.png\" alt=\"\" width=\"295\" height=\"303\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/imagen-grafica-ejercicio.png 431w, https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/imagen-grafica-ejercicio-293x300.png 293w\" sizes=\"(max-width: 295px) 100vw, 295px\" \/><figcaption id=\"caption-attachment-8744\" class=\"wp-caption-text\">(1,2) es el punto que se determina por el valor 1 de &#8220;x&#8221; y el valor 2 de &#8220;y&#8221;.<\/figcaption><\/figure>\n<h2>SITUACIONES PROBLEM\u00c1TICAS<\/h2>\n<p>En algunas oportunidades los ejercicios son presentados de la forma que antecede, en otras se debe extraer la informaci\u00f3n de enunciados. Por ejemplo:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-8748 size-full\" src=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/TH-57575982-Close-up-of-various-fruits-and-vegetables.jpg\" alt=\"\" width=\"700\" height=\"591\" srcset=\"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/TH-57575982-Close-up-of-various-fruits-and-vegetables.jpg 700w, https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/wp-content\/uploads\/2019\/02\/TH-57575982-Close-up-of-various-fruits-and-vegetables-300x253.jpg 300w\" sizes=\"(max-width: 700px) 100vw, 700px\" \/><\/p>\n<p>En una verduler\u00eda hay dos ofertas:<\/p>\n<ul>\n<li>2 kg. de tomates y 5 kg de papas por 150 pesos.<\/li>\n<li>4 kg de tomates y 2 kg de papas por 140 pesos.<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u00bfCu\u00e1l es el precio del kilo de tomates y cu\u00e1l del kilo de papas?<\/p>\n<p>Para resolver este problema, primero se procede a escribir en lenguaje simb\u00f3lico lo expresado en lenguaje coloquial. Se identificar\u00e1 cada variable con una letra, en este caso utilizaremos la &#8220;x&#8221; para los tomates y la &#8220;y&#8221; para las papas.<\/p>\n<p>2x+5y=150<br \/>\n4x+2y=140<\/p>\n<p>De este modo ya se ha conformado el sistema de ecuaciones. Luego se resuelve por cualquier m\u00e9todo para resoluci\u00f3n de sistemas de ecuaciones lineales.<\/p>\n<p><strong>Igualaci\u00f3n<\/strong><\/p>\n<p>Se despeja la misma inc\u00f3gnita en cada ecuaci\u00f3n:<\/p>\n<p>2x+5y=150<br \/>\n5y=150-2x<br \/>\ny = 150:5 -2x :5<br \/>\ny = 30 -(2\/5)x<\/p>\n<p>4x+2y = 140<br \/>\n2y = 140 &#8211; 4x<br \/>\ny = 140:2 &#8211; 4x:2<br \/>\ny = 70- 2x<\/p>\n<p>Se realiza la igualaci\u00f3n:<\/p>\n<p>30 -(2\/5)x = 70- 2x<\/p>\n<p>Se despeja x:<\/p>\n<p>-(2\/5)x+2x = 70 &#8211; 30<br \/>\n(8\/5)x=40<br \/>\nx = 40 : 8\/5<br \/>\nx = 25<\/p>\n<p>Se reemplaza x en una de las ecuaciones iniciales:<\/p>\n<p>y = 70- 2x<\/p>\n<p>y = 70 -2\u22c525 = 70 -50 = 20<\/p>\n<p>Los valores obtenidos son:<\/p>\n<p>x=25 e y =20<\/p>\n<p>Rta.: El kilo de tomates cuesta 25 pesos y el kilo de papas 20 pesos.<\/p>\n<h2>A PRACTICAR LO APRENDIDO<\/h2>\n<p>1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:<br \/>\na)<\/p>\n<p><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><mfenced open=\"{\" close=\"\"><mtable columnalign=\"left\"><mtr><mtd><mi mathvariant=\"normal\">x<\/mi><mo>+<\/mo><mi mathvariant=\"normal\">y<\/mi><mo>=<\/mo><mn>30<\/mn><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi mathvariant=\"normal\">x<\/mi><mo>&#8211;<\/mo><mi mathvariant=\"normal\">y<\/mi><mo>=<\/mo><mn>8<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n<p>b)<\/p>\n<p><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><mfenced open=\"{\" close=\"\"><mtable columnalign=\"left\"><mtr><mtd><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mn>4<\/mn><mi>y<\/mi><mo>=<\/mo><mn>14<\/mn><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi>x<\/mi><mo>&#8211;<\/mo><mn>3<\/mn><mi>y<\/mi><mo>=<\/mo><mo>&#8211;<\/mo><mn>7<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n<p>c)<\/p>\n<p><math xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1998\/Math\/MathML\"><mfenced open=\"{\" close=\"\"><mtable columnalign=\"left\"><mtr><mtd><mn>3<\/mn><mi>x<\/mi><mo>&#8211;<\/mo><mn>2<\/mn><mi>y<\/mi><mo>=<\/mo><mn>7<\/mn><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mn>5<\/mn><mi>x<\/mi><mo>+<\/mo><mn>3<\/mn><mi>y<\/mi><mo>=<\/mo><mn>37<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/mfenced><\/math><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>2. Resolver:<br \/>\na) Tres veces la edad de Emilia menos cuatro veces la edad de Mar\u00eda da como resultado tres a\u00f1os. Si hace cuatro a\u00f1os el duplo de la edad de Mar\u00eda exced\u00eda en 1 a\u00f1o a la edad de Emilia. \u00bfQu\u00e9 edad tienen actualmente cada una?<\/p>\n<p>b) El duplo del dinero que tiene Joaqu\u00edn m\u00e1s el triple de lo que tiene Lautaro suma 60 pesos. Si el cu\u00e1druplo de lo que tiene Joaqu\u00edn menos el qu\u00edntuplo de lo que tiene Lautaro es igual a 10 pesos. \u00bfCu\u00e1nto dinero tiene cada uno.<\/p>\n<p>c) La tercera parte de un n\u00famero m\u00e1s la mitad de otro es igual a 13. Si se divide el primero entre el segundo, el cociente es 2 y el resto es 4. Hallar los n\u00fameros.<\/p>\n<h2>RESPUESTAS<\/h2>\n<p>1.<br \/>\na) x=19; y=11<br \/>\nb) x=2; y=3<br \/>\nc) x=5; y=4<\/p>\n<p>2.<br \/>\na) Mar\u00eda tiene 9 a\u00f1os y Emilia tiene 13 a\u00f1os.<br \/>\nb) Joaqu\u00edn tiene 15 pesos y Lautaro 10.<br \/>\nc) Los n\u00fameros son 40 y 12.<\/p>\n<div class=\"su-box su-box-style-default sabiasque\" id=\"\" style=\"border-color:#a8a8b7;border-radius:0px;\"><div class=\"su-box-title\" style=\"background-color:#DBDBEA;color:#484848;border-top-left-radius:0px;border-top-right-radius:0px\">\u00bfSab\u00edas qu\u00e9...?<\/div><div class=\"su-box-content su-u-clearfix su-u-trim\" style=\"border-bottom-left-radius:0px;border-bottom-right-radius:0px\">Los babilonios sab\u00edan resolver sistemas de ecuaciones lineales, sus inc\u00f3gnitas eran la longitud, el \u00e1rea, el volumen, etc. No utilizaban la simbolog\u00eda actual. <\/div><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Un sistema de ecuaciones lineales con dos inc\u00f3gnitas es aquel cuyas soluciones, si las tiene, satisfacen al mismo tiempo a las dos ecuaciones que conforman dicho sistema. 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