{"id":8754,"date":"2019-02-14T15:39:06","date_gmt":"2019-02-14T18:39:06","guid":{"rendered":"http:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=8754"},"modified":"2019-02-14T15:39:06","modified_gmt":"2019-02-14T18:39:06","slug":"angulos-entre-paralelas-resolucion-mediante-ecuaciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/?p=8754","title":{"rendered":"\u00c1ngulos entre paralelas. Resoluci\u00f3n mediante ecuaciones"},"content":{"rendered":"

En geometr\u00eda, al cortar dos rectas paralelas con una recta secante quedan determinados varios \u00e1ngulos. \u00c9stos se ajustan a algunas propiedades que permiten realizar tanto c\u00e1lculos num\u00e9ricos entre ellos como c\u00e1lculos algebraicos.\u00a0<\/em><\/span><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

RECTA<\/h2>\n

Propiedades de la recta<\/h3>\n
    \n
  • La recta es la menor distancia entre dos puntos.<\/li>\n
  • La recta es infinita en longitud.<\/li>\n
  • Dos puntos determinan una recta.<\/li>\n
  • Por un punto pueden pasar infinitas rectas.<\/li>\n<\/ul>\n

    Tipos de rectas<\/h3>\n

    Cuando las rectas se encuentran en un mismo plano se denominan coplanares. \u00c9stas pueden ser:<\/p>\n

    Secantes:<\/strong> se cortan en un punto, es decir, entre ellas existe un punto de intersecci\u00f3n.<\/p>\n

    Paralelas:<\/strong> no poseen punto de intersecci\u00f3n entre ellas. En otras palabras, la intersecci\u00f3n entre ellas es el conjunto vac\u00edo.<\/p>\n

    Perpendiculares:<\/strong> se intersecan en un punto y dicha intersecci\u00f3n determina cuatro \u00e1ngulos rectos (90\u00b0).<\/p>\n

    \u00c1NGULOS ENTRE DOS RECTAS\"\"<\/h2>\n

    Cuando dos rectas se intersecan se determinan cuatro \u00e1ngulos, al compararlos de a pares pueden ser:<\/p>\n

      \n
    • Adyacentes (suman 180\u00b0). Son los pares: \u03b1,\u03b2;\u00a0\u03b3,\u03b4.<\/li>\n
    • Opuestos por el v\u00e9rtice (tienen la misma amplitud). Son los pares \u03b1,\u03b4; \u03b2,\u03b3.<\/li>\n<\/ul>\n
      \u00c1NGULOS ADYACENTES<\/strong><\/p>\n

      Estos \u00e1ngulos son consecutivos y suplementarios. Son consecutivos porque son contiguos: comparten un mismo v\u00e9rtice y un lado en com\u00fan. Son suplementarios porque entre ambos forman un \u00e1ngulo llano, es decir un \u00e1ngulo de 180\u00b0.<\/p>\n

      \"\"<\/p>\n<\/div><\/div>\n

       <\/p>\n

      \u00e1ngulos entre DOS paralelas Y UNA SECANTE<\/h2>\n

      \"\"<\/p>\n

      De la figura anterior se observa que:<\/p>\n

        \n
      • Las rectas a y b son paralelas.<\/li>\n
      • c es secante a la recta a.<\/li>\n
      • c es secante a la recta b.<\/li>\n<\/ul>\n

        Los \u00e1ngulos se representar\u00e1n con n\u00fameros para mejor comprensi\u00f3n, pero en la secci\u00f3n de ejercicios se utilizar\u00e1n las letras griegas\u00a0\u03b1, \u03b2, \u03b3, etc.<\/p>\n

        \u00c1ngulos internos:<\/strong><\/p>\n

        Son aquellos comprendidos entre las rectas a y b:\u00a0\"\\hat{3},.<\/p>\n

        \u00c1ngulos externos: <\/strong><\/p>\n

        Son aquellos que se observan en la regi\u00f3n externa a las rectas a y b:\u00a0\u00a0<\/strong>\"\\hat{1},.<\/p>\n

        CLASIFICACI\u00d3N DE \u00c1NGULOS ENTRE PARALELAS<\/h2>\n

        ALTERNOS<\/h3>\n

        Son pares de \u00e1ngulos que se ubican en semiplanos distintos con respecto a la transversal (secante). \u00c9stos:<\/p>\n

          \n
        • Son congruentes, es decir, tienen la misma amplitud.<\/li>\n
        • No son adyacentes.<\/li>\n<\/ul>\n

          Alternos internos\u00a0\"\"<\/strong><\/p>\n

          \"\"<\/p>\n

          Alternos externos\u00a0\"\"<\/strong><\/p>\n

          \"\"<\/p>\n

          CONJUGADOS<\/h3>\n

          Est\u00e1n ubicados en el mismo semiplano respecto de la transversal. \u00c9stos:<\/p>\n

            \n
          • Suman 180\u00b0 (son suplementarios).<\/li>\n
          • No son adyacentes.<\/li>\n<\/ul>\n

            Conjugados internos\"\"<\/h3>\n

            \"\"<\/p>\n

            Conjugados externos\u00a0\"\"<\/h3>\n

            \"\"<\/p>\n

             <\/p>\n

            Correspondientes\u00a0\"\"<\/span><\/h3>\n

            Son pares de \u00e1ngulos que se encuentran ubicados en el mismo semiplano con respecto a la transversal. \u00c9stos:<\/p>\n

              \n
            • Tienen la misma amplitud. Es decir, son congruentes.<\/li>\n
            • No son adyacentes.<\/li>\n<\/ul>\n
              \"\"<\/div>\n

              EJEMPLOS<\/h2>\n

              EJEMPLO 1<\/strong><\/p>\n

              Dadas a\/\/b (a paralela a b). Hallar los \u00e1ngulos \u03b1,\u03b2 y \u03b3:<\/p>\n

              \"\"<\/p>\n

              Se comienza en orden alfab\u00e9tico (alfabeto griego) para una resoluci\u00f3n m\u00e1s organizada:<\/p>\n

              \"\\hat{\\alpha\u00a0y 50\u00b0 son adyacentes, es decir, entre ambos suman 180\u00b0. Entonces:<\/p>\n

              \"\\hat{\\alpha\u00a0+ 50\u00b0= 180\u00b0
              \n\"\\hat{\\alpha\u00a0= 180\u00b0- 50\u00b0
              \n\"\\hat{\\alpha\u00a0= 130\u00b0<\/span><\/p>\n

              Se puede ir escribiendo en el gr\u00e1fico los valores a medida que se van obteniendo para visualizar mejor la ubicaci\u00f3n de los nuevos datos y si \u00e9stos son coherentes o no. Por ejemplo,\u00a0\"\\hat{\\alpha\u00a0es un \u00e1ngulo obtuso, por lo tanto sus valores deben ser mayores que 90\u00b0 y menores que 180\u00b0. 130\u00b0 cumple con esta condici\u00f3n.<\/p>\n

              \"\"<\/p>\n

              Para hallar\u00a0\"\\hat{\\beta\u00a0se puede realizar el siguiente an\u00e1lisis previo:<\/p>\n

                \n
              • \"\\hat{\\beta\u00a0y\u00a0\"\\hat{\\alpha\u00a0son adyacentes.<\/li>\n
              • 50\u00b0 y\u00a0\"\\hat{\\beta\u00a0son opuestos por el v\u00e9rtice<\/li>\n<\/ul>\n

                Se realizar\u00e1 el procedimiento para ambos casos, aunque con una de las dos opciones es suficiente para hallar la respuesta.<\/p>\n

                Como\u00a0\"\\hat{\\beta\u00a0y\u00a0\"\\hat{\\alpha\u00a0son adyacentes:<\/p>\n

                β<\/mi>^<\/mo><\/mover>+<\/mo>α<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>180<\/mn>°<\/mo><\/mspace>β<\/mi>^<\/mo><\/mover> <\/mo>+<\/mo>130<\/mn>°<\/mo> <\/mo>=<\/mo>180<\/mn>°<\/mo><\/mspace>β<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>180<\/mn>°<\/mo>–<\/mo>130<\/mn>°<\/mo><\/mspace>β<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>50<\/mn>°<\/mo><\/math><\/p>\n

                Los \u00e1ngulos 50\u00b0 y\u00a0\"\\hat{\\beta\u00a0son opuestos por el v\u00e9rtice, por lo tanto son iguales, eso significa que:<\/p>\n

                β<\/mi>⏞<\/mo><\/mover>=<\/mo>50<\/mn>°<\/mo><\/math><\/p>\n

                La \u00faltima inc\u00f3gnita a hallar es el valor de\u00a0\"\\hat{\\gamma:<\/p>\n

                \"\\hat{\\beta\u00a0y\u00a0\"\\hat{\\gamma\u00a0 suman 180\u00b0 por ser conjugados externos.<\/p>\n

                Como ya se tiene el valor de\u00a0\"\\hat{\\beta\u00a0= 50\u00b0, se reemplaza en la igualdad:<\/p>\n

                β<\/mi>^<\/mo><\/mover>+<\/mo>γ<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>180<\/mn>°<\/mo><\/mspace>50<\/mn>°<\/mo> <\/mo>+<\/mo> <\/mo>γ<\/mi>^<\/mo><\/mover> <\/mo>=<\/mo> <\/mo>180<\/mn>°<\/mo><\/mspace>γ<\/mi>^<\/mo><\/mover> <\/mo>=<\/mo> <\/mo>180<\/mn>°<\/mo> <\/mo>–<\/mo> <\/mo>50<\/mn>°<\/mo><\/mspace>γ<\/mi>^<\/mo><\/mover> <\/mo>=<\/mo> <\/mo>130<\/mn>°<\/mo><\/mspace><\/math><\/p>\n

                Respuestas:<\/p>\n

                α<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>130<\/mn>°<\/mo><\/mspace>β<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo> <\/mo>50<\/mn>°<\/mo><\/mspace>γ<\/mi>^<\/mo><\/mover> <\/mo>=<\/mo>130<\/mn>°<\/mo><\/math><\/p>\n

                 <\/p>\n

                EJEMPLO 2<\/strong><\/p>\n

                Hallar el valor de los \u00e1ngulos\u00a0\"\\hat{\\alpha\u00a0y\u00a0\"\\hat{\\beta.<\/p>\n

                \"\"
                a\/\/b<\/figcaption><\/figure>\n

                Cuando los ejercicios incluyen ecuaciones, primero se debe hallar el valor de x y luego obtener las amplitudes de cada uno de los \u00e1ngulos solicitados.<\/p>\n

                \"\\hat{\\alpha\u00a0y\u00a0\"\\hat{\\beta\u00a0son \u00e1ngulos correspondientes, por lo tanto sus amplitudes son iguales. El procedimiento para resolver este ejercicio es el siguiente:<\/p>\n

                α<\/mi>^<\/mo><\/mover> <\/mo>=<\/mo> <\/mo>β<\/mi>^<\/mo><\/mover><\/mspace>5<\/mn>x<\/mi>–<\/mo>4<\/mn>°<\/mo>=<\/mo>4<\/mn>x<\/mi>+<\/mo>6<\/mn>°<\/mo><\/mspace>5<\/mn>x<\/mi>–<\/mo>4<\/mn>x<\/mi>=<\/mo>6<\/mn>°<\/mo>+<\/mo>4<\/mn>°<\/mo><\/mspace>x<\/mi>=<\/mo>10<\/mn>°<\/mo><\/math><\/p>\n

                Se reemplaza el valor de x en cada ecuaci\u00f3n:<\/p>\n

                α<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>50<\/mn>°<\/mo> <\/mo><\/mspace>α<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>50<\/mn>°<\/mo> <\/mo>–<\/mo>4<\/mn>°<\/mo><\/mspace>α<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>46<\/mn>°<\/mo> <\/mo><\/mspace><\/mspace>β<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>4<\/mn>·<\/mo>10<\/mn>°<\/mo>+<\/mo>6<\/mn>°<\/mo><\/mspace>β<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>40<\/mn>°<\/mo>+<\/mo>6<\/mn>°<\/mo><\/mspace>β<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>46<\/mn>°<\/mo><\/math><\/p>\n

                El resultado es l\u00f3gico, dado que al ser correspondiente ambos \u00e1ngulos deben ser iguales.<\/p>\n

                EJEMPLO 3:<\/strong><\/p>\n

                Hallar el valor de los \u00e1ngulos\u00a0\"\\hat{\\alpha\u00a0y\u00a0\"\\hat{\\beta.<\/p>\n

                \"\"
                a\/\/b<\/figcaption><\/figure>\n

                Los \u00e1ngulos dados son conjugados externos, por lo tanto suman 180\u00b0.<\/p>\n

                \"\"<\/p>\n

                a practicar lo aprendido<\/h2>\n

                \"\"<\/p>\n

                  \n
                1. Hallar los \u00e1ngulos \"\\hat{\\beta\u00a0y\u00a0\"\\hat{\\gamma.
                  \na)Dado\u00a0\"\\hat{\\alpha\u00a0= 140\u00b0.<\/p>\n
                  \"\"
                  a\/\/b<\/figcaption><\/figure>\n

                  b) Dado\u00a0\"\\hat{\\alpha\u00a0= 135\u00b0.<\/li>\n

                2. \n
                  \"\"
                  a\/\/b<\/figcaption><\/figure><\/li>\n
                3. \u00a0Hallar las amplitudes de los \u00e1ngulos dados.
                  \na)<\/p>\n
                  \"\"
                  a\/\/b<\/figcaption><\/figure>\n

                  b)<\/p>\n

                  \"\"
                  a\/\/b<\/figcaption><\/figure><\/li>\n<\/ol>\n

                   <\/p>\n

                  RESPUESTAS<\/h2>\n

                  1.
                  \na)<\/p>\n

                  β<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>40<\/mn>°<\/mo><\/mspace>γ<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo> <\/mo>140<\/mn>°<\/mo><\/math><\/p>\n

                  b)<\/p>\n

                  β<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>45<\/mn>°<\/mo><\/mspace>γ<\/mi>^<\/mo><\/mover> <\/mo>=<\/mo>45<\/mn>°<\/mo><\/math><\/p>\n

                  2.
                  \na)<\/p>\n

                  α<\/mi>^<\/mo><\/mover> <\/mo>=<\/mo>β<\/mi>^<\/mo><\/mover> <\/mo>=<\/mo>60<\/mn>°<\/mo><\/math><\/p>\n

                  b)<\/p>\n

                  α<\/mi>^<\/mo><\/mover>=<\/mo>β<\/mi>^<\/mo><\/mover> <\/mo>=<\/mo>120<\/mn>°<\/mo><\/math><\/p>\n
                  \u00bfSab\u00edas qu\u00e9...?<\/div>
                  El s\u00edmbolo = fue inventado por Robert Recorde en 1557. Utiliz\u00f3 esa representaci\u00f3n porque le parec\u00eda que “dos cosas no pueden ser m\u00e1s iguales que dos rectas paralelas”.<\/div><\/div>\n

                   <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

                  En geometr\u00eda, al cortar dos rectas paralelas con una recta secante a ambas quedan determinados varios \u00e1ngulos. \u00c9stos se ajustan a algunas propiedades que permiten realizar tanto c\u00e1lculos num\u00e9ricos entre ellos como c\u00e1lculos algebraicos.\u00a0<\/p>\n","protected":false},"author":19,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[19],"tags":[6112,8140,8136,8137,8138,8131,8139,101,8142,6108,8141],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/8754"}],"collection":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/19"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=8754"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/8754\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8942,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/8754\/revisions\/8942"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=8754"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=8754"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/elbibliote.com\/resources\/articulosdestacados\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=8754"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}