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Ecuación vectorial de la recta



Es sabido ya cómo representar una recta mediante la ecuación y = mx + b, o representada como función f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b la ordenada de origen.

Ahora veremos cómo se presenta la ecuación vectorial de una recta.

Por un punto determinado A, pasan infinitas rectas. No obstante, hay infinitas rectas que tienen la pendiente del vector .

Pero existe sólo una recta r que pasa por el punto A y tiene la dirección del vector .

Por lo cual se tiene que una recta está determinada por un punto A y un vector no nulo (distinto del vector ) .

La recta es representada por r(A,)

Donde A es un punto cualquiera por el cual pasa la recta r, y el vector , al cual se lo denomina vector director de la recta; indica la dirección de la recta.

Antes de continuar con el cálculo de la ecuación vectorial de una recta, se recordará cómo se calcula la pendiente de la recta.

El vector es el vector que indica la posición del punto A respecto al origen O(0,0). El vector es el vector de la recta que pasa por A.

Es evidente que ambos vectores no tienen la misma inclinación (pendiente).

La pendiente de una recta se calcula por medio del cociente entre el incremento en la ordenada (y) con la abscisa (x), donde la expresión matemática es la siguiente.

Si se lleva el vector sobre la recta r se ve que la inclinación es la misma.

Se puede usar la siguiente igualdad también, m = tan α, siendo α el ángulo entre la recta r con el eje de las abscisas, si es que se conoce dicho ángulo.

Ahora se mostrará cómo escribir una ecuación vectorial de una recta.

Siendo X un punto cualquiera que pertenece a la recta r(A, ), y como se aprecia en el gráfico, el vector es la suma del vector y del vector .

El vector es λ veces el vector . Denominando λ a un número que se lo llama parámetro de la recta.

Entonces, se tiene que:

= +

Reemplazando, resulta:

= + λ ·

Siento = (x,y), A = (x0,y0) y para no recargar la notación usamos = (a,b)

Entonces al combinar estos datos en la expresión anterior, se obtiene la ecuación vectorial de la recta.

(x,y)=(x0,y0 )+ λ · (a,b)



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