Noción de Fractal

La geometría fractal nace por los años de 1970 y es enmarcada en el área del análisis matemático, la geometría, topología y matemática aplicada. Por otro lado, dado que en la geometría fractal el uso de los ordenadores es indispensable, y dada también la complejidad de las figuras con la que se trabaja y la aproximación con los objetos de la naturaleza que tiene ésta, se puede afirmar que los fractales constituyen actualmente una interesante y vasta alternativa de trabajo en las matemáticas.

Se puede ubicar a la geometría fractal dentro del universo que forma la geometría proyectiva, la euclidiana, la no euclidiana y la topología. La geometría euclidiana es la primera que se estudia, la que modela objetos y fenómenos de la naturaleza, estudiando figuras suaves y regulares.

No obstante la naturaleza deja mucho terreno de observación, el cual escapa a las figuras que cuentan con la explicación euclidiana.

En palabras del padre de los fractales B. Mandelbrot: “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no son circunferencias y la corteza de un árbol no es lisa”.

Los fractales se acercan un poco más a las formas de objetos y fenómenos de la naturaleza. Pensemos en un árbol por ejemplo: una representación de un árbol sería la siguiente, usando la geometría euclidiana, la geometría fractal, y así llegando a un árbol fractal.

Esta característica de construir una geometría más cercana a la naturaleza es una de las razones por las cuales la geométrica fractal llama la atención.

Como se ve en el árbol generado con geometría fractal; en cada extremo de las líneas que representan troncos y tallos, se ramifican 4 nuevas líneas, que salvando las dimensiones guardan una similitud con las ramificaciones anteriores; esta autosimilitud es lo esencial de los fractales.

Consideremos un triángulo sólido, al unir los puntos medios de los lados del triángulo de modo que su interior quede dividido en cuatro triángulos, luego de hacer eso, se elimina el triángulo central. En cada uno de los tres triángulos restantes se repite el procedimiento anterior. Haciendo este procedimiento infinitamente (si fuese posible) se obtiene el triángulo de Sierpinski, que se lo puede ver a continuación.

Los puntos suspensivos representan pasos intermedios de una figura a la otra que no se representan en el gráfico. No es correcto decir que es la última figura, dado que en teoría, el proceso continúa indefinidamente.

Se ve en el último esquema la autosimilitud de la geometrica fractal.

Se ve que al aumentar un sector aparece el mismo patrón que antes una y otra vez.

La dimensión de las figuras euclidianas es entera. Para un punto la dimensión es cero, para una línea es dimensión 1, para una figura plana la dimensión es 2 y para el volumen la dimensión es 3. Ahora, cuando hablamos de fractales las dimensiones no son enteras y se calculan de la siguiente manera.

Así, para obtener el triángulo de Sierpinski tenemos que N = 3 y n = 2, y por lo tanto:

Se tiene de similar manera la carpeta de Sierpinski:

Se conoce también a la curva de Koch, que se la suele llamar copo de nieve. La cual se crea a partir de un segmento, al cual se lo divide en tres partes iguales, la parte central se sustituye por dos segmentos del mismo tamaño que el eliminado. Haciendo este proceso indefinidamente se llega a:

Si a este procedimiento se lo realiza sobre los lados de un triángulo equilátero se llega al llamado copo de nieve.

Copo de nieve.

Así los fractales se pueden extender a infinitas formas y patrones. No sólo el copo de nieve, sino también las hojas de los árboles, las conchas de los caracoles, las nervaduras de las alas de una libélula, por ejemplo.

La matemática detrás de los fractales no es cosa sencilla, sin embargo, explicaremos brevemente el conjunto de Mandelbrot, ya que él ha sido el descubridor de este mundo fantástico.

Este grupo trabaja con números complejos. Tengamos dos números complejos.

Z = X + iY

Y

C = a + ib

La regla para obtener el grupo de Mandelbrot es la siguiente.

O sea, que lo que debo hacer es elevar al cuadrado a Z y sumarle C, para obtener el siguiente número. Elevo el anterior resultado al cuadrado y le vuelvo a sumar C, y así sucesivamente.

Otro Fractal, es la llamada curva de Hilbert, que sólo presentaremos la gráfica: