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Curvas Cónicas



Antes de hablar de las curvas cónicas, repasemos lo que es un cono. Es un cuerpo de revolución que se genera al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto. Los elementos que lo constituyen son:

Base: círculo sobre el que se apoya el cono.

Radio: se lo distingue en la circunferencia de la base, es cualquier segmento que va desde su centro a cualquier punto de dicha circunferencia

Generatriz: segmento que une el vértice con un punto cualquiera de la circunferencia.

Eje: cateto del triángulo que al girar sobre sí mismo genera el cono.

Altura: la distancia entre el vértice y la base.

Superficie: la cara lateral no plana, cuyo desarrollo es un sector circular.

Ahora que ya sabemos lo que es un cono veamos de dónde nacen las curvas cónicas. Nacen a partir de los cortes que se pueden realizar con un plano que no pase por el vértice de la superficie cónica. Se llama superficie cónica a un doble cono prolongado indefinidamente.

  • Si cortamos la superficie con un plano perpendicular a su eje, obtenemos una circunferencia.
  • Si el plano no es perpendicular al eje ni paralelo a ninguna de sus generatrices, obtenemos una elipse.
  • Si el plano que corta la superficie es paralelo a una sola generatriz, obtenemos una parábola.
  • Si el plano es paralelo a dos de sus generatrices, obtenemos una hipérbola.

A continuación vemos todas las curvas juntas para poder compararlas.

¿Quién descubrió estas curvas?

Fue el matemático griego Manecmo que vivió durante el siglo IV a.C. Pero quien se dedicó a estudiarlas fue el matemático griego Apolonio que vivió durante el siglo III a.C. Él las clasificó en tres tipos: elipses, hipérbolas y parábolas.

CONSTRUYAMOS CÓNICAS

Dibujar o construir una curva cónica no es tarea fácil. Pero a continuación enseñaremos un método que permite obtener una elipse, parábola o hipérbola mediante el plegado de una hoja de papel.

¿Sabes lo que es la papiroflexia? Es el arte y habilidad de dar a un trozo de papel, doblándolo convenientemente, la forma de determinados seres u objetos.

Elipse

1- Dibujar una circunferencia en un papel.

2- Hacer un punto negro dentro de la circunferencia y lejos de su punto central.

3- Plegar el papel de manera que mirando a trasluz, coincidan un punto de la circunferencia con el punto pintado dentro de ella.

4- Repetir varias veces el paso anterior con distintos puntos de la circunferencia. ¡Cuántas más veces, mejor! Luego se debe remarcar bien cada una de las líneas de pliegue.

5- Abrir el papel y observar. Notarás que los pliegues perfilan una elipse en la que el punto que dibujaste es uno de los focos y centro de la circunferencia el otro.

Hipérbola

Para lograr una hipérbola hay que seguir los mismos pasos que se explicaron para formar la elipse PERO el punto debe pintarse fuera de la circunferencia. En este caso, los focos de la hipérbola también son el punto dibujado y el centro de la circunferencia.

Parábola

1- Pintar una recta cerca del borde del papel

2- Hacer un punto no demasiado lejos de la recta y del lado que tienes más espacio.

3- Plegar el papel haciendo coincidir un punto de la recta con el punto pintado. Repetir este paso, varias veces.

4- Abrir el papel y observar. Notarás que los pliegues perfilan una parábola en la que el foco es el punto que has pintado, y la recta la es la directriz.

Uno de los principales aportes que ha hecho la geometría son las curvas cónicas. Son indispensables para la física y otras ciencias. Por ejemplo, la física ha determinado que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses. También ha concluido que la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos.



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