Números complejos

Todos son números, pero ¿cuáles son los complejos?

Como se puede apreciar, existen diversos tipos de números; por ese motivo, se los clasifica en cinco grupos principales:

• Números naturales, que se representan con la letra “N“.
• Números enteros “Z”.
• Números racionales “Q”.
• Números reales “R”, que incluye a un subgrupo de números llamados irracionales “I”.
• Números complejos “C”.

En esta clasificación cada tipo de números es subconjunto de otro mayor, empezando por los números naturales como grupo de números más simples hasta llegar a la clasificación de números complejos “C”, que sería el conjunto de números que incluiría todos los tipos anteriores.

Entonces, para comprender cuáles son los complejos, primero tendríamos que recordar qué tipo de números se integran en cada grupo.

Números Naturales “N”

Son los números que utilizamos para contar: 1, 2, 3, 4… Son los mayores a cero, aunque algunos autores lo incluyen en este grupo. No poseen parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria.

N = [1, 2, 3, 4, 5...]

Números Enteros “Z”

Incluye al conjunto de los números naturales y a los negativos, es decir, a los opuestos de los naturales. En este grupo se encuentra tanto el 1 como su opuesto, el -1.

Z = [...-2, -1, 0, 1, 2...]

Números Racionales “Q”

Son aquellos que pueden expresarse como resultado de la división de dos números enteros, es decir, pueden expresarse en forma de fracción. Habitualmente se le dice números decimales, tanto expresados en fracción como con comas. Cualquier número puede representarse como una fracción de denominador 1 (Ejem. 4/1 = 4) o como número decimal (Ejem. 4,0 = 4 = 4/1), por lo tanto los números naturales y enteros son racionales.

Q = [¼, ¾...]

Números Irracionales (I)

No pueden representarse en forma fraccionaria. Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. Debido a ello, los más celebres números irracionales son identificados mediante símbolos. El más conocido es π (pi): 3.1416… Se usa para relacionar el perímetro de una circunferencia y su diámetro.

Números Reales “R”

Se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea continua, por tanto incluye a los conjuntos anteriores. Todos estos números se pueden representar en la recta numérica.

Es un número que cuando se eleva al cuadrado da un resultado negativo. Piensen que es imposible elevar un número al cuadrado para que de negativo; observen:

2² = 2 . 2 = 4

(- 2)² = (-2) . (-2) = 4 (porque negativo por negativo da positivo)

0² = 0

Siempre el resultado es positivo porque estamos calculando con números reales, pero imaginemos que inventamos un número llamado “i” que al elevarlo al cuadrado diera negativo. Así:

i² = -1

A partir de esto podríamos establecer que:

i = √-1

Aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.

Por ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9?

Respuesta:

Números Complejos “C”

Es una combinación de un número real y un número imaginario. Ejemplos:

¿Cómo es esto de combinar números?

Aunque parezca raro cuando vas a comprar ½ kilo de pan estás usando números combinados. La fracción½ es un número hecho de un 1 y un 2. Sabemos que significa "medio" porque es 1 parte de 2.

Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos: uno real y uno imaginario.

Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.

Como vemos, cualquiera de las dos partes puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.

SUMAR Y MULTIPLICAR NÚMEROS COMPLEJOS

Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) Ejemplo: (4 + 3i) + (2 + 1i) = (6 + 4i)

Para multiplicar, la lógica a seguir es otra:

(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc) Ejemplo: (3 + 2i) . (1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i

¿PARA QUÉ SIRVEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS?

Sirven para poder trabajar en el campo del álgebra, aerodinámica, electromagnetismo, mecánica cuántica, ingeniería, telecomunicaciones… Diversos profesionales apelan a ellos para resolver problemas o desarrollar fórmulas.