El Teorema de Thales

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En el año 624 a. C. nacía Thales de Mileto, un filósofo y científico griego. En la Antigüedad fue considerado uno de los Siete Sabios de Grecia.

Thales de Mileto
(624 a. C. - 547 a. C.)

Se le atribuye haber sido el fundador de la filosofía griega, sostuvo que el principio de todas las cosas era el agua, de la que todo procedía. Quizá llegó a esta conclusión al observar que todos los seres vivos precisan de ese elemento para seguir viviendo. Su idea no era totalmente original, puesto que ya Homero y Hesíodo habían afirmado que el dios Océano era el padre de todas las cosas.

Pensaba que la Tierra era un disco plano rodeado por el océano, y que además flotaba sobre éste; tenía una visión antropomórfica del mundo. Creyó que todo lo que se mueve tiene un alma, lo cual le indujo a creer que el hierro la tenía, puesto que era atraído por el imán.

También fue un gran astrónomo capaz de predecir el eclipse solar del año 585 a. C., además de determinar el número exacto de días que tiene el año.

Si bien no se conserva ningún escrito de él, incluso algunos afirman que no escribió nada, otros consideran que es autor de varias obras, entre ellas una “Astrología náutica”.

Cuando en geometría se habla sobre el teorema de Thales, se debe aclarar a cuál de los dos teoremas se refiere, ya que a Thales de Mileto se le atribuyen dos teoremas.

El primero trata de la construcción de un triángulo que es semejante a otro existente. Y dice, “los triángulos semejantes tienen los ángulos iguales”.

El segundo teorema aborda la propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos. (Recordemos que los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).

Aquí solo se verá el primero de estos teoremas, el más conocido.

Primer Teorema

Como se dijo anteriormente este primer teorema de Thales se refiere a las semejanza de triángulos, pero para que esta semejanza exista se debe tener en cuenta que los ángulos correspondientes sean iguales y que los lados sean proporcionales entre sí. Esto forma el postulado más básico de la geometría, que dice así: “Si en un triángulo de traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes”.

Dado un triángulo ABC, trazando un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo original.

Matemáticamente es:

Semejanza de triángulos.

Con el objetivo de comprender mejor el teorema, veamos un ejemplo.

En el triángulo que se encuentra debajo, se deben hallar las medidas de a y b.

Se desea encontrar las medidas de a y b , de esta semejanza de triángulos.

Al aplicar la fórmula se tiene:

Despejando a, se obtiene que: a = 8 cm.

Haciendo de similar manera para b.

Entonces despejando b, se tiene que: b = 3 cm.

Al ser establecida de esta manera la relación de semejanza entre triángulos, se deduce la proporcionalidad entre los lados de dichos triángulos. Esto significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo, se mantiene constante en el otro.

Diversos testimonios cuentan que, durante su viaje a Egipto, Thales midió la altura de las pirámides a partir de la longitud de sus sombras, lo que implica reconocer la proporcionalidad de los lados homólogos de dos triángulos que tienen los mismos ángulos, en el sentido en que establece el hoy llamado teorema de Thales.

Esquema de cómo Thales calculó la altura de las pirámides.

Simplemente lo que se realiza es una semejanza de triángulos utilizando los rayos del sol como presenta la siguiente figura.

Esquema de semejanza de triángulos que utilizó Thales.

Los valores que se conocen son: A, C y B. La altura desconocida de la pirámide esta denotada con la letra D. Gracias a la semejanza de triángulos se obtiene el valor de D de la siguiente manera.

Otra forma de ver este teorema es con la siguiente gráfica.

Es una variante del teorema antes mencionado, si se extendiesen lo suficiente las rectas r y r' se cortarían formando triángulos semejantes con las rectas A, B y C.

Para el caso particular en que:

Se pueden encontrar otras variantes de la expresión dada anteriormente, tales como: