Mediatriz y Bisectriz

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Los conceptos de mediatriz y bisectriz se usan como lugares geométricos: la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que corta al segmento en su punto medio y la bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide el ángulo en dos ángulos iguales. Veamos cómo se construyen cada una de ellas.

Mediatriz

Si tenemos un segmento AB, se denomina mediatriz del segmento a la recta perpendicular a él, que pasa por su punto medio.

El siguiente dibujo representa la mediatriz y el punto medio de un segmento.

Para su construcción, se deben seguir los pasos siguientes:

Sea AB el segmento.

Con el compás, haciendo centro en A, se traza una circunferencia que tenga un radio mayor que la mitad de AB, en un cálculo estimativo, ya que precisamente se está buscando el punto medio exacto de dicho segmento.

Luego, haciendo centro en B, se traza otra circunferencia de igual radio que la primera.

Si ambas circunferencias no se cortan, significa que debemos aumentar el radio de ambas.

Cuando ambas se cortan, la recta que une a las dos intersecciones de las circunferencias es la mediatriz del segmento AB.

La intersección de la mediatriz con el segmento AB es el punto medio M.

La mediatriz es uno de los objetos geométricos más importantes cuando integra otras construcciones más complejas. Esta importancia proviene de su propiedad principal:

Los puntos de la mediatriz están a igual distancia de los extremos del segmento.

En la figura:

d (CA) = 4,12 cm

d (CB) = 4,12 cm

Esta propiedad también se usa a veces como definición, siendo entonces la mediatriz el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos.

Bisectriz

La propiedad de la bisectriz es que todos sus puntos equidistan (están a la misma distancia) a los lados del ángulo. Es decir, si se traza un segmento perpendicular al lado del ángulo, desde un punto de la bisectriz, y se hace lo mismo al otro lado del ángulo, esos segmentos miden lo mismo.

Para trazar la bisectriz se procede de la siguiente manera:

- Se dibuja un ángulo cualquiera y se marca el vértice O.

- Desde el vértice se traza un arco con el compás, con una abertura cualquiera.

- Se marcan los puntos que se obtienen al cortar el arco con los lados del ángulo y se los denota como A y B.

- Desde esos puntos A y B se trazan dos arcos con el compás, utilizando la misma abertura. Estos arcos se cortarán en un punto C.

- Se debe trazar la semirrecta que tiene origen en O y pasa por el punto C. Esta semirrecta es la bisectriz del ángulo.