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Adición y sustración de polinomios



Adición de polinomios:

Si P(x)= an xn + an-1 xn-1 + ... +a1 x + a0    y    Q(x)= bn xn + bn-1 xn-1 + ... +b1 x + b0 , son dos polinomios, entonces el polinomio suma P(x) + Q(x) es igual al polinomio S(x) dado por:

S(x)= P(x) + Q(x) = (an + bn) xn + (an-1 + bn-1) xn-1 + ... + (a1 + b1 ) x + (a0 + b0 )

Ejemplo. Dados los polinomios P(x)= 5x4 - 3x3 - 2x2 -21 y Q(x)= -2x4 + x3 + 18 + 2x2, obtener el polinomio suma P(x)+Q(x).

Solución: El método de agrupamiento de coeficientes consiste básicamente en reunir los coeficientes según sea el grado de la potencia:

P(x) + Q(x) = ( 5x4 - 3x3 - 2x2 - 21 ) + ( -2x4 + x3 + 18 + 2x2 )

P(x) + Q(x) = ( 5 - 2 ) x4 + ( -3 + 1 ) x3 + ( -2 + 2 ) x2 + ( 0 + 0 ) x + ( -21 + 18 )

P(x) + Q(x) = 3x4 - 2x3 + 0x2 + 0x - 3     Polinomio completo y ordenado.

ó

P(x) + Q(x) = 3x4 - 2x3 - 3     Polinomio ordenado.

Otro método, es el de suma término a término.

Para efectuar la suma término a término se toman en cuenta los siguientes pasos:

  • Se ordenan (si no están ordenados) los polinomios en forma decreciente.
  • Se colocan los polinomios uno debajo del otro, de manera que los términos semejantes queden en la misma columna, dejando un espacio si faltase una potencia de x, o se completa con ceros los términos que faltan.
  • P(x)= 5x4 - 3x3 - 2x2 + 0x - 21

    Q(x)= -2x4 + x3 + 2x2 + 0x + 18

  • Por último se suman algebraicamente los coeficientes de los términos semejantes.
  • P(x)= 5x4 - 3x3 - 2x2 + 0x - 21

    Q(x)= -2x4 + x3 + 2x2 + 0x + 18

    S(x)= P(x) + Q(x) = 3x4 - 2x3 + 0x2 + 0x - 3

    Propiedades de la adición de polinomio

    En la adición de polinomios, se cumplen ciertas propiedades que permiten operar con ellos.

  • Propiedad Conmutativa
  • Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se cumple que:

    P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

    Ejemplo. Sea P(x)= 2x3 + 5x2 - 3x + 4 y Q(x) = x3 - 3x2 + x + 2, verifique que P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

    Solución:

    P(x)+Q(x) = ( 2x3 + 5x2 - 3x + 4 ) + (x3 - 3x2 + x + 2 )

    P(x) + Q(x) = ( 2 + 1 ) x3 + ( 5 - 3 ) x2 + ( -3 + 1 ) x + ( 4 + 2 )

    P(x) + Q(x) = 3x3 + 2x2 - 2x + 6

    Q(x) + P(x) = (x3 - 3x2 + x + 2 ) + ( 2x3 + 5x2 - 3x + 4 )

    Q(x) + P(x) = ( 1 + 2 )x3 + ( -3 + 5 )x2 + ( 1 - 3 )x + ( 2 + 4 )

    Q(x) + P(x) = 3x3 + 2x2 - 2x + 6

    Se comprueba que P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x).

  • Propiedad Asociativa
  • La propiedad asociativa permite agrupar los polinomios entre sí para efectuar la suma de varios polinomios. Dados los polinomios P(x), Q(x) y R(x), se cumple que:

    [ P(x) + Q(x) ] + R(x) = P(x) + [ Q(x) + R(x) ]

    Ejemplo. Dados los polinomios P(x) = x4 - x2 + x + 1, Q(x) = 5x4 + 6x3 + 3 y R(x) = 6x4 + 2x3 - 7x2 + 10, compruebe que:

    [ P(x) + Q(x) ] + R(x) = P(x) + [ Q(x) + R(x) ]

    Solución:

    a) [ P(x) + Q(x) ] + R(x): se sumará primero P(x) y Q(x), y el resultado obtenido se suma con R(x)

    = [ ( x4 - x2 + x + 1 ) + ( 5x4 + 6x3 + 3 ) ] + ( 6x4 + 2x3 - 7x2 + 10 )

    = [ ( ( 1 + 5 ) x4 + ( 0 + 6 ) x3 + ( - 1 + 0 ) x2 + ( 1 + 0 ) x + ( 1 + 3 ) ) ] + ( 6x4 + 2x3 - 7x2 + 10 )

    = ( 6x4 + 6x3 - x2 + x + 4 ) + ( 6x4 + 2x3 - 7x2 + 10 )

    = ( 6 + 6 ) x4 + ( 6 + 2 ) x3 + ( - 1 - 7 ) x2 + ( 1 + 0 ) x + ( 4 + 10 )

    = 12x4 + 8x3 - 8x2 + x + 14

    P(x) + [ Q(x) + R(x) ]: se sumará primero Q(x) y R(x), el resultado obtenido se suma con P(x)

    = ( x4 - x2 + x + 1 ) + [ ( 5x4 + 6x3 + 3 ) + ( 6x4 + 2x3 - 7x2 + 10 ) ]

    = (x4 - x2 + x + 1 ) + [ ( 5x4 + 6x3 + 3 ) + ( 6x4 + 2x3 - 7x2 + 10 ) ]

    = ( x4 - x2 + x + 1 ) + ( 11x4 + 8x3 - 7x2 + 0x + 13 )

    = ( 1 + 11 ) x4 + ( 0 + 8 ) x3 + ( - 1 - 7 ) x2 + ( 1 + 0 ) x + ( 1 + 13 )

    = 12x4 + 8x3 - 8 x2 + x + 14

  • Existencia del elemento neutro
  • El polinomio nulo es el elemento neutro para la suma de polinomios, ya que si se le suma cualquier polinomio  P(x)  se obtiene el mismo  P(x).  Es decir: para todo polinomio  P(x)  existe un polinomio nulo 0(x) = 0xn + 0x(n-1) + ... + 0x + 0 = 0 tal que P(x) + 0(x) = P(x).

    Ejemplo. Sea P(x) = 5x5 + x4 - 6x2 + 2x + 5, verifique que P(x) + 0(x) = P(x)

    Solución:

    P(x) = 5x 5 + x4 - 6x2 + 2x + 5

    0(x) = 0x5 + 0x4 + 0x2 + 0x + 0

    P(x) + 0(x) = 5x5 + x4 - 6x2 + 2x + 5 )

    Por tanto se cumple que P(x) + 0(x) = P(x)

    Existencia del elemento opuesto

  • Existencia del elemento opuesto
  • Para todo polinomio P(x) = an xn + an-1 xn-1+ ... + a1 x + a0 , existe un polinomio - P(x) = ( -an ) xn + ( -an-1 ) xn-1 + ... + ( -a1 ) x + (-a0 ), llamado polinomio opuesto o simétrico, tal que P(x) + [ -P(x) ] = 0(x) = 0.

    Ejemplo. Halle el polinomio opuesto de P(x) = -5x5 + 18x4 + 3x2 - 10, y verifique que:

    P(x) + [ -P(x) ] = 0(x)

    Solución: Para hallar el polinomio opuesto sólo se debe escribir el mismo polinomio y se cambian de signo los coeficientes:

    - P(x) = - ( -5x5 + 18x4 + 3x2 - 10 ) = 5x5 - 18x4 - 3x2 + 10

    Verifiquemos que: P(x) + [ -P(x) ] = 0(x)

    P(x) = 5x5 + 18x4 + 3x2 - 10

    -P(x) = 5x5 - 18x4 - 3x2 + 10

    P(x) + [ -P(x) ] = 0(x) = 0x5 + 0 x4 + 0x2 + 0

    El resultado obtenido es el polinomio nulo, obsérvese que los coeficientes de los términos son semejantes opuestos, por lo que su suma es igual a cero.

    Sustracción de polinomios:

    Dados dos polinomios P(x)y Q(x), para efectuar la sustracción o diferencia de P(x) menos Q(x), al polinomio P(x) se le suma el opuesto de Q(x), es decir P(x) + [ - Q(x) ], a P(x) se le denomina minuendo y a Q(x) sustraendo.

    Ejemplo. Considérense los siguientes polinomios P(x) = 4x6 + 2x4 - 6x2 + 12 y Q(x) = -x6 + 3x4 2x2 - x + 3, calcule P(x) - Q(x).

    Solución: Para calcular el polinomio P(x)-Q(x), se suma al minuendo el opuesto del sustraendo, es decir P(x) - Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ], entonces:

    P(x) - Q(x) = ( 46 + 2x4 - 6x2 + 12 ) - ( - x6 + 3x4 - 2x2- x + 3 )

    = ( 4x6 + 2x4 - 6x2 + 12 ) + ( x6 - 3x4 + 2x2 + x - 3 )

    = ( 4 + 1 ) x 6 + ( 2 - 3 ) x4 + ( - 6 + 2 ) x2 + x + ( 12 - 3 )

    P(x) - Q(x) = 5x6 - x4 - 4x2 + x + 9

    Otra manera de efectuar la resta P(x) - Q(x) es tomando en cuenta los siguientes pasos:

  • Se ordenan ambos polinomios
  • P(x) =4x6 + 2x4 - 6x2 + 12

    Q(x) = -x6 + 3x4 - 2x2 - x + 3

  • Se calcula - Q(x)
  • - Q(x) = x6 - 3x4 + 2x2 + x - 3

  • Se coloca el polinomio - Q(x) debajo de P(x), de modo que los términos semejantes ocupen la misma columna. Se completan con ceros las potencias que falten.
  • P(x) = 4x6 + 0x5 + 2x4 + 0x3 - 6x2 + 0x + 12

    - Q(x) = x6 + 0x5 - 3x4 + 0x3 + 2x2 + x - 3

  • Se efectúa la suma
  • P(x) = 4x6 + 0x5 + 2x4 + 0x3 - 6x2 + 0x + 12

    - Q(x) = x6 + 0x5 - 3x4 + 0x3 + 2x2 + x - 3

    P(x) + [ -Q(x) ] = 5x6 + 0x5 - x4 + 0x3 - 4x2 + x + 9

    Las operaciones de suma y resta se pueden combinar, por ejemplo, para calcular P(x) - Q(x) - R(x) si:

    P(x) = 2x18 + 6x9 + 7x3 + 3

    Q(x) = 3x9 - 2x3 + 4x2 + 1

    R(x) = -7x18 + 12x9 - 5x3 + 3x2 + 9

    Como P(x) - Q(x) - R(x) = [ P(x) - Q(x) ] + [ -R(x) ], se calcula primero P(x) - Q(x):

    P(x) - Q(x) = ( 2x18 + 6x9 + 7x3 + 3 ) - ( 3x9- 2x3 + 4x2 + 1 )

    = 2x18 + 6x9 + 7x3 + 3 - 3x9 + 2x3 - 4x2 - 1

    = 2x18 + 3x9 + 9x3 - 4x2 + 2

    Ahora efectuamos: [P(x)-Q(x)]+[-R(x)]

    [ P(x) - Q(x) ] + ( - R(x ) ) = ( 2x18+ 3x9 + 9x3 - 4x2 + 2 ) - ( - 7x 18 + 12x9 - 5x3 + 3x2 + 9 )

    = 2x18 + 3x9 + 9x3 - 4x2 + 2 + 7x18 - 12x9 + 5x3 - 3x2 - 9

    = 9x18 - 9x9 + 14x3 - 7x2 - 7

    Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal, con los exponentes respectivamente iguales. Es conveniente reducir los términos que son semejantes entre sí.

    Ejemplo:

    x2 + 3x3 + 5x2 + x3 - 2x2 + 4x3 = 4x2 + 8x3



    • Argentina: 0800 2200 350
    • -
    • Bolivia: +591 3 3708206
    • -
    • Chile: +56 2 3281 1674
    • -
    • Ecuador: +593 2 6018068
    • -
    • España: +34 93 0077 931
    • -
    • México: +52 55 44376787
    • -
    • Perú: +51 1 241 9032
    • -
    • Venezuela: +58 261 4190130