Función polinómica

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Función polinómica de grado tres

Definición

Una función polinómica P: R R es una función que se escribe de la forma:

P(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₁ x¹ + a₀

Donde:

a_n, a_n-1, ..., a₀ son números reales llamados coeficientes; a_n es el coeficiente de xⁿ; a_n-1 es el coeficiente de x^n-1; a₂ es el coeficiente de x², a₁ es el coeficiente x¹; a₀ es el coeficiente de x⁰, siendo x° = 1.

n es un número natural o cero, llamado grado del polinomio. Este es el mayor exponente entre las variables cuyos coeficientes no son nulos.

a_n xⁿ, a_n-1 x^n-1, ..., a₁ x¹, a₀ son los términos del polinomio.

a₀ es el coeficiente de grado cero o término independiente.

Polinomio Completo: Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término de mayor grado hasta el término independiente.

P(x)= - 3x³ - 2x² + 5x - 1 + 5x⁴

P(x)= 5x⁴ - 3x³ - 2x² + 5x - 1

Polinomio Ordenado: Un polinomio está ordenado si los monomios que lo conforman están escritos desde el de mayor al de menor grado, de izquierda a derecha, siendo éste un caso de orden decreciente.

Un polinomio está ordenado en forma creciente, cuando sus monomios están escritos comenzando por el término independiente, hasta llegar al término de mayor grado, en orden ascendente.

P(x)= 5x⁴ - 3x³ - 2x² + 5x - 1 Polinomio ordenado en forma decreciente.

P(x)= - 1 + 5x - 2x² - 3x³ + 5x⁴ Polinomio ordenado en forma creciente.

Q(x)= x⁴ - 2x² + 7x + 1 Polinomio incompleto, ordenado en forma decreciente.

Polinomio completo y ordenado: Cumple las dos condiciones antedichas.

P(x)= 5x⁴ - 3x³ - 2x² + 5x - 1

Q(x)= 2x⁴ - 5x³ + 0x² + 5x - 1

Cuando a un polinomio le falta uno o más términos, se completa adicionando términos con coeficientes nulos.

Ejemplo:

0,0x,0x^2,0x^3,.,0x^n

Grado de una función polinómica

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

El polinomio P(x)= 5, es un polinomio de grado cero.

El polinomio P(x)= 5x + 3, es un polinomio de primer grado.

El polinomio P(x)= x² + 5x + 3, es un polinomio de segundo grado.

El polinomio P(x)= 4x³ - x² + 5x + 3, es un polinomio de tercer grado.

El polinomio P(x)= 7x⁴ + 4x³ - x² + 5x + 3, es un polinomio de cuarto grado.

Ejemplos

1) El polinomio P(x)= x⁴ + 4x³ - x² + 5x + 3, es de grado 4, tiene 5 términos y sus coeficientes son: a₄ = 7/5, a₃ = 4, a₂ = -, a₁ = 5, a₀ = 3

2) P(x)= 2x^{- 4} + - 13x + 11, no es polinomio debido a que los exponentes de la variable x no son números naturales.

Función potencial

Se llama función potencial a cualquier función de la forma f(x)= x ⁿ, donde n es una constante real fija.

El domino, la gráfica y las características de una función potencial dependerán del número n que figura en el exponente de la variable x.

Función f(x) = x³