Simetría y recursividad en la música

---

En un primer momento, cuando hablamos de música pensamos que está muy alejada de la matemática pero, curiosamente, están estrechamente ligadas. Ambas tienen características de universalidad, pues una partitura se lee de la misma manera en cualquier idioma, al igual que los números. El lenguaje de ambas disciplinas trasciende fronteras, por lo tanto, no es raro que en música hablemos de simetría, por ejemplo. En este artículo ahondaremos en su rica complejidad.

Cuando hablamos de melodías bellamente construidas, muchas veces destacamos su simetría cuando, en realidad, queremos aludir a música equilibrada o bien proporcionada, ya que cuando hablamos de simetría en música, hablamos con tanta especificidad como en matemática.

Buscando el equilibrio

Para comenzar a delinear estos conceptos, podemos comenzar por la frase clásica cuadrada de ocho compases.

La denominación responde a estructuras de ocho compases que se dividen en dos semifrases de igual duración, que a su vez se componen de dos miembros de semifrase, también de la misma duración. Veamos un esquema sobre ello:

FRASE COMPLETA
Primera semifrase		Segunda semifrase
Primer miembro de semifrase	Segundo miembro de semifrase	Primer miembro de semifrase	Segundo miembro de semifrase
A1	A2	B1	B2

A1	A2
B1	B2

Se produce así una situación más o menos simétrica y tiene éxito debido a que es una estructura considerablemente equilibrada.

La necesidad de la asimetría

El equilibrio es necesario pero, también se necesita de su contraparte para impulsar la obra hacia adelante. Una composición basada solamente en pequeñas frases equilibradas no contendrá dinamismo ni la suficiente tensión dramática musical. Generalmente se aprovecha ese equilibrio para seguir con estructuras asimétricas y desequilibradas, que por ello obligan al oído a esperar satisfacción más adelante.

Tan importante es la simetría como la asimetría por lo que una composición perfecta no es, precisamente, aquella totalmente simétrica; a veces incluso se necesita una simetría “deformada”, es decir, que no cumple estrictamente con lo simétrico salvo en algún aspecto.

Cuando se escribe música se requiere tanto de la simetría como de la asimetría que lleva a esperar la simetría rota, el equilibrio.

La recursividad o el encanto de los patrones

Existen muchas definiciones en torno al término “recursividad”, entre ellas, nos encontramos con una que dice que “podemos definir la recursividad como un proceso que se define en términos de sí mismo.” Esto quiere decir que es la cualidad que genera determinados patrones ya sean numéricos, musicales, naturales o plásticos. La recursividad puede apreciarse tanto en el conocimiento humano (letras, artes plásticas, matemáticas, etc.) como en el mundo natural. Aunque este nivel de explicación puede resultar todavía algo críptico, veamos algunos ejemplos que pueden dar luz a ese concepto.

La hoja sí nos deja ver algo del bosque…

La hoja sí nos deja ver algo del bosque…

Si vemos un helecho o un árbol, podemos ver que de él se originan hojas que repiten la forma de la planta en su conjunto; a su vez, cada hoja tiene pequeñas extensiones que repiten el patrón de la hoja, llegando incluso a las nervaduras. Ya sea mirándolo a gran distancia o con un microscopio repite una estructura similar. Esto es un ejemplo de recursividad.

Este tipo de estructura también puede encontrarse en literatura, por ejemplo, Las mil y una noches en la que Scherezade le cuenta al rey Shariar historias en que un personaje comienza a contar una historia, en que un personaje empieza a contar una historia… historias dentro de las historias. O una simple frase como esta:
“Me dijo que te dijera que le dijeras…”

Dentro de las estructuras recursivas podríamos distinguir dos tipos. Las que aluden directamente a sí mismas, a las que llamaremos directas. Un ejemplo serían las estructuras arborescentes, que se descomponen en otras estructuras arborescentes.
Otro tipo serían aquellas en que una estructura de determinado tipo se descompone en otra de una especie diferente, que a su vez se descompone en estructuras de la primera clase… A estas las llamaremos indirectas.

El caso más conocido puede ser el de un espejo reflejado en otro o la cámara que se autorretrata.

La descripción que hemos hecho hasta ahora es muy simplista: muchas estructuras recursivas son más complejas, por ejemplo, un fenómeno llamado confusión de jerarquías. Es decir, no hay, con claridad, una estructura de nivel 1, otra del 2…, sino que, por así decirlo, entre el nivel uno y el dos pueden darse estructuras intermedias, que hacen imposible, en un momento concreto, asegurar en qué nivel estamos analizando, y que causan que un mismo fenómeno pueda ser correctamente situado en dos o más niveles diferentes, por ejercer función en todos ellos. De hecho, y para ser más preciso, en muchas estructuras recursivas carece de sentido clasificar niveles. Un árbol es buen ejemplo: la macroestructura es clara, pero no podemos saber hasta qué nivel se van a ramificar los nervios de la hoja, ni si el resultado va a ser uniforme para todos los nervios de todas las hojas.

Hablemos de música

Con estos conceptos aclarados, podemos empezar a pensar en su aplicabilidad a la música, y quizá a otras expresiones.
Por más que sea habitual decir que la música es un lenguaje universal, debemos considerar otro aspecto. Distintas culturas tienen distintas músicas, y es tarea que requiere dedicación alcanzar el disfrute de manifestaciones ajenas a las que uno aprendió de pequeño.

La música juega, de alguna manera, con los registros especulares que se encuentran no sólo en ella sino a nuestro alrededor; incluso en los paisajes podemos encontrar este juego de patrones especulares.

Muchas músicas emplean, de forma consciente o inconsciente, procedimientos recursivos para lograr su comunicabilidad. El procedimiento básico consiste en que pequeñísimas estructuras, que se repiten a menudo, y quedan por tanto fácilmente instaladas en el oído, son recapituladas recursivamente en niveles formales mayores.

Las ventajas de un procedimiento así, parecen obvias: en el mismo acto de acostumbrar/ aculturar al espectador a lo que esté pasando en forma inmediata en la obra, logramos que vaya apreciando los niveles formales superiores. Algo así como si aprendiendo palabras de un lenguaje fuésemos alcanzando conocimientos de su gramática, sin necesidad de estudio independiente.

Toda música que pretenda alcanzar la comunicabilidad necesita emplear procesos recursivos. Ciertamente, la música tonal lo hace, no de forma casual, sino sistemática, y por aquí irán apareciendo recursiones en obras que todos conocemos y amamos.

Un juego de espejos: las cuatro transformaciones temáticas de contrapunto

Una mirada más detenida nos revelará que la imagen presenta varias simetrías. Con respecto a un eje vertical que pusiéramos en el centro, la imagen presenta lo que los matemáticos denominaban simetría axial vertical; con respecto a un eje horizontal, pasa exactamente lo mismo (simetría axial horizontal).

Pues bien: este juego de simetrías es un análogo sumamente exacto de las llamadas cuatro transformaciones.

1) Material de origen

2) Inversión o movimiento contrario
Sería la transformación equivalente a la simetría axial horizontal del tema que estemos tratando; como si pusiéramos un espejo debajo de ese material.
Musicalmente, conservamos el intervalo (la distancia entre dos notas) pero invertimos su dirección, es decir, cambiamos los intervalos ascendentes por descendentes, y viceversa.

La inversión es la forma de mutar el material que suele resultar más fácil de reconocer a cualquier oído.
Podemos realizar un gráfico empleando las siete primeras notas de la Invención número 1 de Bach.

Añadamos desde este momento, en que ya disponemos de dos tipos de transformación (transporte e inversión) en que siempre es posible combinar las transformaciones. En este caso, podemos por ejemplo transportar una inversión a cualquier altura que deseemos.

3) Retrogradación
El manga se lee “al revés”: en lugar de comenzarse por la izquierda para seguir hacia la derecha, se hace lo contrario. La retrogradación equivale exactamente a la lectura manga de un tema determinado. Comenzamos leyendo desde la última nota en dirección hacia la primera.

Es posible emplear lo que aquí vamos a ver para crear sistemas de cifrado, en el gráfico podemos distinguir cada una de las transformaciones.

Esta es, según los matemáticos, la transformación temática más conocida. En un contexto musical, aunque no falten ejemplos de su uso, sería deseable que no faltaran el resto de las transformaciones que son las que nos van a proporcionar una gran flexibilidad y potencia.

4) Inversión retrógrada (retrogradación inversa)
Consiste en aplicar los procedimientos de inversión y retrogradación sobre el material con el que se trabaja. No es preciso considerarla como el resultado de dos procedimientos, una simple simetría diagonal nos da el resultado deseado; doblando el dibujo por la línea diagonal las imágenes se superpondrían.

La fuga de Bach

El compositor Johann Sebastian Bach compuso una de las obras más exquisitas de la historia da la música, El arte de la fuga.

Johann Sebastian Bach compuso una obra musical –entre 1738 y 1742 – conocida como El arte de la fuga. En 1751 se la publicó póstumamente sin que el autor la hubiera finalizado. Compuesta como un conjunto de ejemplos de las técnicas del contrapunto, está formada por 14 fugas (la última incompleta) y cuatro cánones, todos sustentados en el mismo tema en Re menor, aparentemente simple. Daría lugar a numerosas versiones ya que se publicó sin ningún orden o indicación alguna de instrumentación. Es la composición teórica por excelencia de Bach, de una magnífica complejidad en la que demuestra su conocimiento del contrapunto. El arte de la fuga es considerada una de las obras maestras de la historia de la música. La intención del músico era demostrar las infinitas posibilidades de un tema de fuga por lo que la obra consiste en numerosas y elaboradas variaciones. En reemplazo a lo que faltaba en la última fuga se agregaría al final de la obra el coral a cuatro voces para su publicación.