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Determinación de rectas y puntos notables de los triángulos



El triángulo es una de las figuras más estudiada en la geometría. Aunque es el polígono más simple, sus características únicas han permitido que tenga relevancia en otras ciencias. En este artículo aprenderemos a construir las rectas y los puntos notables del mismo.


Triángulo

Es el resultado de unir tres puntos de un plano con líneas rectas. Un triángulo es un polígono formado por tres segmentos y se caracteriza porque la suma de sus tres ángulos interiores es igual a 180 °.


Otro nombre empleado para referirse a este polígono es “trígono” aunque es un término poco usado.


Clasificación de los triángulos

Existen varios criterios de clasificación que permiten agrupar a los triángulos de acuerdo a ciertas particularidades: según la medida de sus lados y según la medida de sus ángulos.

- Según la medida de sus lados

  • Triángulo equilátero: todos sus lados tienen la misma longitud y la medida de sus ángulos también es la misma (60 °).
  • Triángulo isósceles: dos de sus lados miden la misma longitud. En los triángulos isósceles dos de sus ángulos miden lo mismo.
  • Triángulo escaleno: ninguno de sus lados tiene la misma longitud al igual que sus ángulos internos.

- Según la medida de sus ángulos

  • Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es un ángulo recto (mide 90 °). Sus otros dos ángulos son agudos.
  • Triángulo acutángulo: todos sus ángulos son agudos, es decir, son menores de 90 °.
  • Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso, es decir, su medida es mayor a 90 °. Este tipo de triángulos se caracteriza porque sus ángulos agudos son menores de 45 °.


Clasificación de los ángulos.


Otro criterio de clasificación

Existe otro criterio de clasificación que considera los ejes de simetría que tenga un triángulo, el cual puede tener un solo eje de simetría, más de un eje de simetría o ningún eje de simetría.


Clasificación de los triángulos según sus ejes de simetría.


Rectas notables

La mediatriz, la mediana, la altura y la bisectriz son las rectas notables de los triángulos. Cada triángulo presenta tres de cada una.

  • Mediana: es la recta que pasa desde uno de los vértices del triángulo hasta el punto medio del lado opuesto. Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual área.


Sin importar el tipo de triángulo que sea, las tres medianas de un ángulo son interiores.

  • Altura: es la recta perpendicular a uno de los lados del triángulo que pasa por el vértice opuesto.

Alturas según el tipo de triángulo

Según el tipo de triángulo, sus alturas pueden presentar características especiales. Por ejemplo, en los triángulos rectángulos, dos de sus alturas coinciden con sus dos catetos, la altura respecto a la hipotenusa es la única altura interior. En los acutángulos, todas las alturas son interiores. Por su parte, en el caso de los trángulos obtusángulos, solamente la altura respecto a su lado mayor es interior.


La altura de un triángulo isósceles correspondiente al lado desigual divide al triángulo en otros dos triángulos de igual área.
Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/User:MartinThoma

  • Mediatriz: es la recta perpendicular de un lado del triángulo que pasa por el punto medio de mismo.
  • Bisectriz: es la recta que pasa por un vértice del triángulo y divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales.

¿Sabías qué?

En los triángulos equiláteros coinciden todas las rectas y puntos notables.


Puntos notables en los triángulos

Sin importar el tipo de triángulo, sus puntos notables son cuatro: baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro. Todos ellos son el resultado de la intersección de rectas notables.

Baricentro: corresponde al punto en donde se intersecan las medianas de un triángulo.

Ortocentro: es aquel punto en el que se cortan las alturas de un triángulo.

Circuncentro: se forma en el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo. En el caso de los triángulos obtusángulos, el circuncentro se encuentra fuera del triángulo.


El circuncentro representa el centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo.

Incentro: es el punto en el que todas las bisectrices de un triángulo concurren.


El incentro corresponde al centro de la circunferencia inscrita dentro del triángulo.


Construcción de rectas y puntos notables

  • Medianas y baricentro

Para trazar una mediana habrá que unir el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto. El punto en donde se cortan las tres medianas corresponderá al baricentro.

  • Bisectrices e incentro

Para trazar la bisectriz de un vértice se debe pinchar con el compás en el mismo y abrirlo en cualquier medida. Luego se traza un arco que corte los dos lados del triángulo en los puntos 1 y 2. Posteriormente se selecciona una abertura del compás que sea un poco mayor que el arco trazado y luego con dicha abertura se traza un arco desde 1 y otro desde 2.

El corte de los dos últimos arcos corresponderá al punto 3. Para obtener la bisectriz sólo se debe unir el vértice seleccionado anteriormente con el punto 3.

Seleccionando los otros dos vértices y aplicando el mismo procedimiento anterior se podrán trazar las bisectrices restantes. El corte de todas las bisectrices corresponderá al incentro.

  • Alturas y ortocentro

Por medio de una escuadra se ubica el ángulo recto sobre el lado que se desea trazar la altura de manera que la recta marcada pase por el vértice opuesto a dicho lado.

Una vez trazadas todas las alturas, el punto donde éstas se cortan corresponde al ortocentro.


Mediatriz y circuncentro

Para trazar la mediatriz que pasa por uno de los lados del triángulo se debe seleccionar una abertura del compás, luego pinchar uno de los vértices comunes con dicho lado y trazar un arco. Repetir el procedimiento en el otro vértice con la misma abertura de compás y unir los cortes de los dos arcos trazados. La recta resultante corresponderá a la mediatriz del triángulo respecto al lado escogido.

Luego de trazar las mediatrices de los demás lados del triángulo, el punto de corte de las mismas corresponderá al circuncentro.



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