TRIÁNGULOS

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Los triángulos son figuras geométricas de tres lados y aunque son el polígono más simple presentan ciertas particulares que los diferencian del resto. En nuestra vida, es común observar triángulos: en señales de tránsito, en la vela de un velero, incluso en pirámides. Pero su mayor uso es en las matemáticas.

Los triángulos están presentes en nuestras vidas, en las señales de tránsito por ejemplo.

Para comprender las características de un triángulo, es importante conocer los conceptos de vértice y ángulo.

Vértice: Es el punto donde se unen dos lados de un polígono o un ángulo. Todo triángulo tiene tres vértices y se suelen escribir en letra mayúscula. En la imagen, los vértices del triángulo son A, B y C.

Ángulo: Está formado por la unión de dos rectas con un vértice en común. Los triángulos tienen tres ángulos. Los ángulos pueden ser agudos (cuando son menores a 90°), rectos (iguales a 90°) y obtusos (mayores a 90°).

PARECIDOS PERO NO IGUALES

En las matemáticas, el triángulo es el polígono más empleado y por ende el más estudiado. Pero no todos los triángulos son iguales, y estas diferencias permiten clasificar a los triángulos según sus lados y según sus ángulos.

SEGÚN SUS LADOS
Se clasifican en:

• Triángulos equiláteros: son aquellos en los que todos sus lados tienen la misma longitud.
• Triángulos isósceles: poseen solo dos lados iguales.
• Triángulos escalenos: no tienen ninguno de sus lados iguales.

SEGÚN SUS ÁNGULOS
Se clasifican en:

• Triángulos rectángulos: son aquellos que tienen un ángulo que mide 90° (ángulo recto).
• Triángulos acutángulos: en ellos todos sus ángulos son menores que 90° (todos sus ángulos son agudos).
• Triángulos obtusángulos: uno de sus ángulos es mayor a 90° (ángulo obtuso).

Muchas veces un mismo triángulo cumple con los dos criterios de clasificación. Por ejemplo, un “triángulo isósceles rectángulo” es aquel triángulo que presenta un ángulo recto (igual a 90°) y dos de sus lados poseen la misma longitud.

Una escuadra tiene la forma de un triángulo rectángulo.

UNAS RECTAS MUY PARTICULARES

Existen cuatro tipos de rectas denominadas rectas notables presentes en un triángulo.

Las rectas notables en un triángulo son: altura, mediana, mediatriz y bisectriz.

• La altura es una recta perpendicular en cualquiera de los lados del triángulo que pasa por el vértice opuesto.
• La mediana es aquella recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.
• La mediatriz es la perpendicular que pasa por el punto medio de un lado del triángulo.
• Una bisectriz es una recta que pasa por el vértice de un triángulo y divide a su ángulo en dos partes iguales.

Es importante tener en cuenta que cada triángulo tiene tres alturas, tres medianas, tres mediatrices y tres bisectrices.

LAS RECTAS NOTABLES ORIGINAN PUNTOS NOTABLES

Cuando se intersecan las tres rectas notables de un mismo tipo en un triángulo se origina un punto que se denomina punto notable. Existen cuatro puntos notables y cada uno se ubica dependiendo del tipo de rectas notables que se intervengan. Los puntos notables son: ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro.

Ortocentro: es el punto de corte entre las tres alturas de un triángulo.

Baricentro: es el punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Es conocido también como centro de gravedad o centroide.

Circuncentro: es el punto donde se intersecan las tres mediatrices de un triángulo. Tiene la característica de que está ubicado a la misma distancia de los vértices, es por ello que a partir del circuncentro puede trazarse una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo, a esta circunferencia se la conoce como circunferencia circunscrita.

Incentro: Es el punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo. Se encuentra ubicado a la misma distancia de los lados del triángulo y a partir de él se puede trazar una circunferencia inscrita en el triángulo, cuyos lados son tangentes a ella.

ÁREA

En nuestra vida es común escuchar descripciones en las cuales las matemáticas están presentes. Por ejemplo, cuando una casa que mide 400 metros cuadrados se está haciendo mención a su área. El área es la medida de la superficie de algo: el piso de una vivienda, el tamaño de una granja, entre otros.

En el caso de los triángulos (al igual que en las demás figuras geométricas) existe una ecuación para el cálculo de área. En este caso, si se quiere determinar el área de un triángulo, solo hay que multiplicar la base de éste por su altura y el resultado dividirlo entre dos. La ecuación es la siguiente:

De la ecuación se tiene que:

A: área del triángulo

b: base

h: altura

HAGAMOS UN EJERCICIO

Observa el siguiente triángulo y calcula su área.

De la figura mostrada se tiene que la base del triángulo (b) es 6 m y su altura (h) es 4 m.

A estos valores lo sustituimos en la ecuación de área de la siguiente manera:

Recuerda que al multiplicar metro por metro da como resultado metro al cuadrado (m²). Al resolver la multiplicación en los numeradores tenemos que:

Resolviendo la fracción nos queda:

El área del triángulo es 12 metros cuadrados.

PERÍMETRO

La suma de los lados de una figura geométrica se conoce como perímetro. Para determinar el perímetro de un triángulo se deben sumar sus tres lados. Se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

P = l ₁ + l₂ + l₃

Donde:

P: perímetro

l₁, l₂y l₃ son los lados del triángulo.

RESOLVAMOS OTRO EJERCICIO:

Calcula el perímetro del siguiente triángulo de isósceles 

Recordando que el perímetro es la suma de los lados, en la figura se puede observar la longitud de cada uno de sus lados l₁, l₂ y l₃. De manera que tenemos la siguiente expresión:

P = 3 cm + 3 cm + 5 cm

Al resolver esa suma nos queda que:

P = 11 cm

El perímetro del triángulo es de 11 cm.

Para calcular el perímetro de un triángulo equilátero solo se debe multiplicar la longitud de un lado por 3. Esto se debe a que los tres lados miden lo mismo.

P = 3 . l₁

AHORA ES TU TURNO

La pirámide de Keops es la más grande de las pirámides de Giza. Cada uno de sus lados tiene forma de triángulo. Calcula su área y perímetro como viste en los ejercicios anteriores.

ÁNGULOS

Todos los polígonos (triángulo, cuadrado, pentágono, etc.) poseen ángulos interiores y exteriores. El número de ángulos presentes en un polígono dependerá de los lados que este posea. Los ángulos pueden ser interiores o exteriores dependiendo del lugar del polígono donde se forme el ángulo. En el caso de los triángulos, estos poseen tres ángulos interiores y tres exteriores.

Los ángulos interiores están formados por dos de los lados del triángulo.

Al sumar los ángulos interiores de un triángulo, el resultado de la suma siempre es 180°. Es por ello que un triángulo solo puede tener un ángulo recto (en el caso de los triángulos rectángulos) y un solo ángulo obtuso (en el caso de los obtusángulos).

Los ángulos exteriores del triángulo son aquellos que están formados por la abertura que existe entre uno de sus lados y la prolongación de su lado adyacente.

Al sumar los tres ángulos externos de un triángulo el resultado es 360°.