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Operaciones matemáticas



Las cuatro operaciones básicas en matemática son: suma, resta, multiplicación y división. El procedimiento que se debe seguir para realizar el cálculo depende del tipo de número con el que estemos operando.

Suma o adición

Mediante esta operación podemos combinar el valor de dos o más números para agrupar sus valores. El símbolo que representa a la suma es el más "+". Los términos de esta operación se llaman sumandos y el resultado se denomina suma o total.

Suma de números naturales

Distinguimos tres propiedades:

  • Conmutativa: si alteramos el orden de los sumandos (términos de la operación), el resultado no se modifica.
  • Asociativa: el orden en que se agrupan los sumandos no altera la suma.
  • Elemento neutro: se le denomina de este modo al 0 (cero), ya que cualquier número sumado a él da el mismo número.

Suma de números enteros

  • Si se suman dos números que tienen el mismo signo, se resuelve la operación sumando los valores absolutos* y poniendo el mismo signo que tenían los sumandos.
  • Para sumar dos números enteros de diferente signo, se restan sus valores absolutos y se coloca el signo (+ ó -), correspondiente al sumando de mayor valor.

¿Qué es el valor absoluto?

El valor absoluto de un número es la distancia que le separa del cero en la recta numérica. Se escribe entre barras como en el siguiente ejemplo: el valor absoluto de -20 es 20 y se escribe así:

|-20| = 20

Suma de números decimales

Para sumar decimales se debe respetar la ubicación de las comas y colocarlas encolumnadas.

Se puede completar con ceros los espacios vacíos, para obtener la misma cantidad de cifras decimales en ambos números:

Suma de fracciones

Recordemos que las fracciones se componen de denominador y numerador; representan una cantidad dividida entre otra. El denominador es la cantidad de partes en que se ha fraccionado la unidad y el numerador es la cantidad de partes consideradas.

Ejemplo: En este caso 4 es el denominador y 3 el numerador.

Para sumar fracciones con el mismo denominador, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador.

2/4 + 8/4 = 10/4

Cuando hay que restar fracciones de diferente denominador el proceso es más complejo, pues hay que buscar un denominador común.


Cuando nos servimos una porción de pizza de las 6 que la integran, podemos decir que estamos consumiendo 1/6 de la pizza. Si decidimos servirnos otra porción, estaríamos ingiriendo 2/6 de la pizza, en total.

Resta o sustracción

Esta es la operación opuesta a la suma, sirve para quitar o sustraer un valor a partir de la combinación de dos o más números. Se representa con el signo menos "-", los términos de esta operación son el minuendo, el sustraendo y la diferencia.

¿Cómo saber si la resta está bien hecha?

Una prueba es hacer: sustraendo + diferencia = minuendo

Ejemplo: 20 - 4 = 16
16 + 4 tiene que ser igual al minuendo, y lo es = 20

Resta de números enteros

Con este tipo de números podemos realizar una operación donde el minuendo sea menor que el sustraendo. Para esto hay que sumar al minuendo el opuesto del sustraendo:

Ejemplo:

( - 5 ) - ( + 6 ) = ( - 5 ) + ( -6 ) = - 11

Del mismo modo se opera si el minuendo es mayor al sustraendo:

( + 8 ) - ( - 2 ) = ( + 8 ) + ( +2 ) = + 10

( - 2 ) - ( - 6 ) = ( - 2 ) + ( +6 ) = + 4

Resta de números decimales

El procedimiento es el mismo que se utiliza para sumarlos: se deben colocar los números en columna haciendo corresponder los distintos órdenes y luego se resta como si fueran números naturales. Las comas se encolumnan.

Resta de fracciones

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, se procede solamente a restar los numeradores ya que el denominador queda igual.

Ejemplo: 8/4 - 7/4 = 1/4

Multiplicación

Esta operación consiste en la suma reiterada de un número por tantas veces lo indique otro número. El símbolo que representa la multiplicación es "." ó "x". Los términos de la multiplicación se denominan factores y el resultado se llama producto.

Multiplicación de números naturales

Operar con números naturales es sencillo, sólo basta con conocer las tablas básicas de multiplicación. Así, si tenemos que multiplicar 15 por 2, procedemos del siguiente modo:

Primero hacemos 2 · 5 que nos da 10, colocamos el 0 en la parte de resultados y el 1 lo llevamos a la otra columna. Nos queda así:

Ahora hacemos 2 · 1 que es 2 y le sumamos 1 que nos habíamos llevado a esa columna. El resultado que obtenemos, 3, lo colocamos en la parte de resultados. Nos queda así:

Si tenemos que multiplicar por un número que tiene más de una cifra, procedemos así:

Primero multiplicamos 120 · 3 y colocamos el resultado. Así:

Luego multiplicamos 120 · 2 y colocamos el resultado debajo del resultado anterior, 360, pero dejando un espacio a la derecha. Así:

Por último sumamos ambos resultados y, de este modo, llegamos al resultado final.

Multiplicación de números enteros

Esta operación se comienza multiplicando los valores absolutos. Luego se coloca el signo +, si ambos números son de igual signo; o se le pone el signo -, si son de signo diferente. Veamos ejemplos:

(- 12 ) · ( - 3 ) = +36 = 36 Se coloca el sigo + porque son de igual signo (negativo).

(+ 3) · (+ 11 ) = +33 = 33 = (+ 33) Se coloca el sigo + porque son de igual signo (positivo).

(+ 42) · (- 2) = - 84 = 84 = (- 84) Se coloca el sigo - porque son de diferente signo (positivo y negativo).

Multiplicación de números decimales

Es sencillo porque hay que proceder como si fuesen números naturales y luego hay que colocar la coma en el lugar correcto.

La coma debe colocarse en el producto (resultado), contando de derecha a izquierda tantas cifras como decimales sumen entre ambos factores (números que se multiplican).

Multiplicación de fracciones

Así de sencillo es multiplicar fracciones:

Las fracciones se multiplican realizando el producto de numerador con numerador y denominador con denominador, para hallar la fracción resultado.

4/5 · 3/7 = 4 · 3/5 · 7 = 12/35

División

La división es la operación matemática que nos permite dividir una cantidad en partes iguales, se representa con los símbolos ":" o "÷". Al número que vamos a dividir se lo llama dividendo (D) y a la cantidad que se dividirá ese número, se le llama divisor (d). Al resultado se le llama cociente.

La división es una operación inversa a la de la multiplicación y puede considerarse como una resta repetida.

División de números naturales

Para explicar el procedimiento, vamos a tomar el siguiente ejemplo: 14 ÷ 2

Imaginemos que tenemos 14 monedas y las tenemos que repartir entre 2 chicos. ¿Cuántas le damos a cada uno?

Primero: coloquemos a la izquierda el dividendo y en la misma línea el divisor, dentro de lo que llamamos "caja de división".

Segundo: buscamos a un número que multiplicado por 7 nos de 14 o el número más cercano al catorce. Para esto recurrimos a las tablas de multiplicación.

Tercero: encontramos que si multiplicamos 7 por 2 nos da exactamente 14; entonces colocamos el dos debajo del 7 y un 0 debajo del 14 porque encontramos un número exacto que nos dio 14.

No siempre el resto es cero, pensemos este caso:

No existe ningún número que multiplicado por 7 nos de 15, entonces colocamos el más cercano que sería el 2 (7 x 2 = 14). Para llegar al 15 nos falta 1, entonces ese 1 lo colocamos debajo del 15 (Dividendo). Este tipo de división se llama inexacta.

División con números enteros

Hay que dividir los valores absolutos y luego se coloca el signo +, si ambos números son de igual signo; o se le pone el signo -, si son de signo diferente. Veamos ejemplos:

(+ 180) : (- 2) = - 90 Se coloca el sigo - porque son de diferente signo (positivo y negativo).

(+ 545) : (+ 5) = +109 = 109 Se coloca el sigo + porque son de igual signo (positivo).

División con decimales

Nos podemos encontrar con los siguientes casos cuando operemos con números decimales.

  • Dividir un número decimal entre un número natural.
    La operación se realiza como si fueran números naturales, PERO cuando bajamos la primera cifra decimal se pone la coma en el cociente y se continúa con la operación.
  • Dividir un número natural entre un número decimal
    Lo primero que se debe hacer es multiplicar al dividendo y al divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hay en el divisor. Con esos números, que ahora son enteros, se realiza la división.
  • Al multiplicar por 10 el dividendo y el divisor queda:

    Se realiza entonces la división:

  • Dividir un número decimal entre un número decimal.
    En este caso también tenemos que multiplicar dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales hay en el divisor.
    Si la operación nos da números enteros, procedemos con la división común de números enteros. Pero si el dividendo sigue apareciendo con cero, se continúa la división aplicando el procedimiento que explicamos para dividir un número decimal entre un número natural.
  • Se multiplica por 10 el dividendo y el divisor, quedando:

    En este caso, se puede dividir del siguiente modo

Una división de números naturales es semejante a una fracción

Cuando dividimos una fracción con otra, obtenemos una tercera fracción. Existen dos procedimientos para hallar la solución.

Multiplicamos la primer fracción por la inversa de la segunda

Multiplicamos los términos de ambas fracciones de manera cruzada



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