Casos de factoreo

Primer caso: Factor común

Segundo caso: Factor común por agrupación de términos

Siendo a y b constantes, x e y variables.

ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a + b)y

Primero se realiza factor común tomando pares de términos. En este caso utilizamos a x e y como factores comunes.

(a + b)x + (a + b)y = (a + b)(x + y)

Una vez que tenemos factoreado por partes, unificamos los datos. Colocamos un nuevo factor común (a + b) y obtenemos como resultado una multiplicación de binomios.

Caso tres: trinomio cuadrado perfecto

a² + 2ab + b²

Un trinomio es perfecto cuando es el resultado de realizar el cuadrado de un binomio:
(a + b)²

Ejemplo:

Con esas raíces realizamos el cálculo de un cuadrado de binomio:

(4x + 1)² = 16x² + 8x + 1       Queda comprobado que 16x² + 8x + 1 es un trinomio cuadrado perfecto

Caso cuatro: Diferencia de cuadrados perfectos

a² - b² = (a + b)(a - b)

Ejemplo:

x² - 25 = (x + 5)(x - 5)
   
x      5

Caso cinco: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustración

Este trinomio, es aquel que contiene dos cuadrados y el segundo término no es el doble producto del primero por el segundo. Por eso se debe realizar una adición o sustracción para obtener un trinomio cuadrado perfecto. Veamos un ejemplo:

x⁴ + 9x² + 81
            
x²             9

9x² =/= 2(x²)9

9x² =/= 18x²

La forma de obtener un trinomio cuadrado perfecto en este caso, es adicionándole y sustrayéndole un monomio. Del siguiente modo:

    x⁴ + 9x² + 81
+         9x²         - 9x²
____________________
   (x⁴ + 18x² + 81) - 9x²

          
      (x² + 9)²- 9x²      Esta expresión es una diferencia de cuadrados, por lo tanto:

[(x² + 9) + 3x][x² + 9] = (x² + 9 + 3x)(x² + 9 +3x) = (x² + 3x + 9) (x² - 3x + 9)

Caso seis: trinomio de la forma x² + bx + c

Condiciones:

El primer término es una variable elevada al cuadrado con coeficiente 1.

El segundo término tiene la misma variable que el primero, con exponente 1 y un coeficiente cualquiera.

El tercer término es totalmente independiente al primero y al segundo, es una cantidad numérica.

Ejemplo:

x² + 3x + 2

x

Calculamos la raíz del primer término y la colocamos de este modo entre paréntesis:

x² + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)

Para encontrar los números faltantes, buscamos dos números que al sumarse den como resultado el coeficiente del segundo término y al multiplicarse den como resultado el tercer término

En este caso: 2 + 1 = 3 y 2 x 1 = 2

Caso siete: trinomo de la forma ax² + bx + c

Este trinomio se diferencia del caso anterior porque el coeficiente “a” es distinto de 1.

Veamos un ejemplo de resolución de este caso:

3x² - 5x - 2 =

En este ejercicio vemos que a = 3

Entonces debemos lograr que el primer término sea un cuadrado que pueda descomponerse en un monomio con coeficiente entero, por lo tanto, multiplicamos a todo el trinomio por el número 3.

3(3x² - 5x - 2) = (3x)² - 3.5x - 6
                                    
                     Cambiamos el orden de estos dos factores
                     = (3x)² - 5.3x - 6

Lo hacemos de este modo para que nos quede un factor en común en los dos primeros términos, así:

= (3x)² - 5(3x) - 6

Lo cual nos permite realizar un procedimiento similar al que realizamos en el caso anterior:

Buscamos dos números cuya resta sea -5 y cuyo producto de cómo resultado -6. Esos números son -6 y 1, por lo tanto:

El siguiente paso es dividir a cada uno de los factores del numerador por uno de los factores del denominador, es decir:

(3x - 6):3 = x - 2

(3x + 1):1 = 3x + 1

Realizando esta operación obtenemos la respuesta:

Caso ocho: cubo perfecto de binomios

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b ³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b ³

Un cubo perfecto de binomios da como resultado un cuatrinomio cubo perfecto. Esto significa que debe contener cuatro términos y tanto el primero como el cuarto son cubos perfectos.

Veamos un ejemplo:

(x + 2)³ =

Aplicamos la fórmula que corresponde, sabiendo que a=x y b=2:

(x + 2)³ = x³ + 3x²2 + 3x2² + 2 ³

(x + 2)³ = x³ + 6x² + 3x.4 + 8

(x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8

Recuerda escribir la respuesta ordenada, es decir, en valores decrecientes de exponentes de x. Y con los coeficientes delante de la parte literal.

Caso nueve: suma o difrencia de cubos perfectos:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

A continuación, realizaremos un ejemplo de diferencia de cubos perfectos:

x³ - 125 =
     
x       5

Calculamos las raíces cúbicas de ambos términos para luego aplicar la fórmula correspondiente.

                                          a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Como a=x y b=5                   x³ - 5³ = (x - 5)(x² + x.5 + 25)
                                          x³ - 5³ = (x - 5)(x² + 5x + 25)