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Casos de factoreo

Primer caso: Factor común

Segundo caso: Factor común por agrupación de términos

Siendo a y b constantes, x e y variables.

ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a + b)y

Primero se realiza factor común tomando pares de términos. En este caso utilizamos a x e y como factores comunes.

(a + b)x + (a + b)y = (a + b)(x + y)

Una vez que tenemos factoreado por partes, unificamos los datos. Colocamos un nuevo factor común (a + b) y obtenemos como resultado una multiplicación de binomios.

Caso tres: trinomio cuadrado perfecto

a2 + 2a + b2

Un trinomio es perfecto cuando es el resultado de realizar el cuadrado de un binomio:
(a + b)2

Ejemplo:

Con esas raíces realizamos el cálculo de un cuadrado de binomio:

(4x + 1)2 = 16x2 + 8x + 1       Queda comprobado que 16x2 + 8x + 1 es un trinomio cuadrado perfecto

CUADRADO DE BINOMIO: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2


Caso cuatro: Diferencia de cuadrados perfectos

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Ejemplo:

x2 - 25 = (x + 5)(x - 5)
   
x      5

Calculamos las raíces cuadradas del minuendo y el sustraendo. Luego se coloca la suma de éstas multiplicadas por su diferencia.

Caso cinco: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustración

Este trinomio, es aquel que contiene dos cuadrados y el segundo término no es el doble producto del primero por el segundo. Por eso se debe realizar una adición o sustracción para obtener un trinomio cuadrado perfecto. Veamos un ejemplo:

x4 + 9x2 + 81
            
x2             9

9x2 =/= 2(x2)9

9x2 =/= 18x2

La forma de obtener un trinomio cuadrado perfecto en este caso, es adicionándole y sustrayéndole un monomio. Del siguiente modo:

    x4 + 9x2 + 81
+         9x2         - 9x2
____________________
   (x4 + 18x2 + 81) - 9x2

          
      (x2 + 9)2- 9x2      Esta expresión es una diferencia de cuadrados, por lo tanto:

[(x2 + 9) + 3x][x2 + 9] = (x2 + 9 + 3x)(x2 + 9 +3x) = (x2 + 3x + 9)(x2 + 3x + 9)

Caso seis: trinomio de la forma x2 + bx + c

Condiciones:

  • El primer término es una variable elevada al cuadrado con coeficiente 1.

  • El segundo término tiene la misma variable que el primero, con exponente 1 y un coeficiente cualquiera.

  • El tercer término es totalmente independiente al primero y al segundo, es una cantidad numérica.
  • Ejemplo:

    x2 + 3x + 2

    x

    Calculamos la raíz del primer término y la colocamos de este modo entre paréntesis:

    x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)

    Para encontrar los números faltantes, buscamos dos números que al sumarse den como resultado el coeficiente del segundo término y al multiplicarse den como resultado el tercer término

    En este caso: 2 + 1 = 3 y 2 x 1 = 2

    Caso siete: trinomo de la forma ax2 + bx + c

    Este trinomio se diferencia del caso anterior porque el coeficiente “a” es distinto de 1.

    Veamos un ejemplo de resolución de este caso:

    3x2 - 5x - 2 =

    En este ejercicio vemos que a = 3

    Entonces debemos lograr que el primer término sea un cuadrado que pueda descomponerse en un monomio con coeficiente entero, por lo tanto, multiplicamos a todo el trinomio por el número 3.

    3(3x2 - 5x - 2) = (3x)2 - 3.5x - 6
                                        
                         Cambiamos el orden de estos dos factores
                         = (3x)2 - 5.3x - 6

    Lo hacemos de este modo para que nos quede un factor en común en los dos primeros términos, así:

    = (3x)2 - 5(3x) - 6

    Lo cual nos permite realizar un procedimiento similar al que realizamos en el caso anterior:

    Buscamos dos números cuya resta sea -5 y cuyo producto de cómo resultado -6. Esos números son -6 y 1, por lo tanto:

    El siguiente paso es dividir a cada uno de los factores del numerador por uno de los factores del denominador, es decir:

    (3x - 6):3 = x - 2

    (3x + 1):1 = 3x + 1

    Realizando esta operación obtenemos la respuesta:

    Caso ocho: cubo perfecto de binomios

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b 3

    (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b 3

    Un cubo perfecto de binomios da como resultado un cuatrinomio cubo perfecto. Esto significa que debe contener cuatro términos y tanto el primero como el cuarto son cubos perfectos.

    Veamos un ejemplo:

    (x + 2)3 =

    Aplicamos la fórmula que corresponde, sabiendo que a=x y b=2:

    (x + 2)3 = x3 + 3x22 + 3x22 + 2 3

    (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 3x.4 + 8

    (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

    Recuerda escribir la respuesta ordenada, es decir, en valores decrecientes de exponentes de x. Y con los coeficientes delante de la parte literal.

    Caso nueve: suma o difrencia de cubos perfectos:

    a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

    a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

    A continuación, realizaremos un ejemplo de diferencia de cubos perfectos:

    x3 - 125 =
         
    x       5

    Calculamos las raíces cúbicas de ambos términos para luego aplicar la fórmula correspondiente.

                                              a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
    Como a=x y b=5                   x3 - 53 = (x - 5)(x2 + x.5 + 25)
                                              x3 - 53 = (x - 5)(x2 + 5x + 25)



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