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Identidades trigonométricas

Una duda muy recurrente que surge al realizar ejercicios de este tema es: ¿Qué diferencia existe entre identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas?

La diferencia fundamental, al momento de resolverlas, es que las identidades trigonométricas se trabajan miembro a miembro. Esto significa que el miembro izquierdo de la igualdad y el segundo miembro se resuelven por separado. Para dicha resolución se utilizan las fórmulas de las identidades trigonométricas.

Las ecuaciones trigonométricas, en cambio, necesitan el despeje de una incógnita. Para llevar a cabo esta tarea se utilizan los mecanismos propios de resolución de ecuaciones: pasar los términos de un lado a otro de la igualdad según las reglas ya conocidas (lo que resta pasa sumando, lo que divide pasa multiplicando, etc.). Además, se debe tener conocimiento de las funciones trigonométricas y sus signos en los respectivos cuadrantes.

Realizaremos la resolución de ejercicios de identidades trigonométricas. Para ello es necesario conocer las siguientes identidades trigonométricas:

EJERCICIO 1:

Resolver la siguiente identidad trigonométrica:

tg α + cotg α = sec α . cosec α

El primer paso a realizar es convertir la tangente y cotangente del miembro izquierdo en senos y cosenos, utilizando para ello las fórmulas vistas anteriormente:

= sec α . cosec α

Seguimos con el miembro izquierdo, sumando las dos fracciones:

= sec α . cosec α

Podemos ver claramente que existe una relación pitagórica que es igual a 1. Entonces nos queda:

= sec α . cosec α

Separamos esa fracción en una multiplicación de fracciones:

= sec α . cosec α

Convertimos las fracciones a las funciones correspondientes:

tg α + cotg α = sec α . cosec α


Cuando logramos obtener expresiones iguales a ambos lados del signo igual ( = ) significa que terminamos la resolución del ejercicio.

En algunos ejercicios se debe trabajar también del lado derecho de la igualdad para lograr observar la equivalencia. Veamos un ejemplo de este tipo de ejercicios:

EJERCICIO 2:

Resolver la siguiente identidad trigonométrica:

sen α . cosec2α = (1 + cotg2α). sen α

Procedemos a utilizar las fórmulas para lograr expresiones más simples:

sen α . cosec2α = cosec2α .sen α

Aquí nos veríamos tentados a terminar, pero es necesario llegar a la mínima expresión posible. Por ello continuamos de la siguiente manera:

Podemos simplificar de este modo:

cosec α = cosec α


Podemos dar por terminado el ejercicio.

Recuerda que el camino para llegar a la igualdad de ambos miembros puede variar de acuerdo a las identidades que utilices, pero siempre debes tratar de lograr expresiones sencillas e idénticas a cada lado del signo igual.



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