Clasificación de las funciones

Antes de estudiar las clasificaciones de las funciones vamos a recordar los siguientes conceptos:

Dada una función, ƒ: A → B

• Conjunto: un conjunto es una colección de objetos no repetidos a los que se le llaman elementos; conjunto A y B.
• Conjunto de partida: en una relación A en B, el conjunto de A se denomina conjunto de partida.
• Conjunto de llegada (Codominio): el codominio de una función es el conjunto de llegada; conjunto de B.
• Dominio de una función: el dominio de una función es el conjunto de los valores para los cuales la función está definida, formado por los elementos del conjunto de partida A.
• Recorrido de una función: el recorrido de una función, denominado también conjunto imagen o rango de la función, es el conjunto de los valores que puede tomar la función, formado sólo por aquellos elementos del codominio que son imágenes.

Función Inyectiva

Una función ƒ: A → B, será inyectiva si todos los elementos del dominio tienen imágenes distintas, en otras palabras, una función de A en B es inyectiva si todo elemento de B, que siendo imagen de un elemento de A, lo es de un solo elemento.

• Ejemplo:

  La ƒ(x) = x² del conjunto de los números naturales (N) a naturales (N) es una función inyectiva. Para comprobar esto, tomemos valores arbitrarios para x.

  ƒ(x)=0² = 0
  ƒ(x) = 3² = 9
  ƒ(x) = 7² = 28
  ƒ(x) = 12² = 144

  de los resultados obtenidos:

  Dom ƒ = {0,3,7,12}
  Rg ƒ = {0,9,28,144}

  por lo que la correspondencia es uno a uno, y por tanto la función es inyectiva.

• Ejemplo 2:

  ƒ(x) = x² no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros Z, ya que esto incluyen los números negativos. Comprobar esta afirmación.

  Para resolver este problema, tomamos varios valores arbitrarios para x, tanto números positivos como negativos.

  ƒ(-2) = (-2)² = 4
  ƒ(-1) = (-1)² = 1
  ƒ(0) = (0)² = 0
  ƒ(1) = (1)² = 1
  ƒ(2) = (2)² = 4

  el diagrama de la función ƒ(x) = x², lo podemos representar así:

  

  Observemos que para ƒ(-2) y ƒ(2) se tiene la misma imagen, 4, lo mismo ocurre para ƒ(-1) y ƒ(1) cuya imagen es 1. Por lo tanto verdaderamente la función ƒ no es inyectiva, ya que la relación no es uno a uno.

Función Sobreyectiva

Se dice que una función es sobreyectiva cuando los elementos del conjunto de llegada B son imagen de algún elemento del conjunto de partida A; También es llamada función suryectiva o epiyectiva.

Una función ƒ: A → B será sobreyectiva, si todos los elementos del conjunto de llegada B, están relacionados por lo menos con un x en A que cumpla ƒ(x) = y , por tanto el rango de la función es igual al conjunto de llegada B.

Cuando una función sobreyectiva se expresa en forma de pares ordenados, se puede observar que todos los elementos del conjunto de llegada aparecen, al menos una vez, como segunda componente de algún par.

Observemos las siguientes funciones ƒ: A → B y g: A → B

La función ƒ no es sobreyectiva ya que el elemento 4 de B no está relacionado, es decir, no es imagen de ningún elemento de A, por otra parte la función g es una función sobreyectiva ya que cada elemento de B está relacionado siendo por tanto su rango, Rg, igual al conjunto B de llegada.

Ahora observemos los siguientes ejemplos:

• Ejemplo 1:

  Sea A = {3, 6, 9, 12} y B= {12, 24, 36, 48}, y la función h: A → B definida por: "el cuádruple es". ¿Será la función h sobreyectiva?

  

  Dom h = {3, 6, 9, 12}

  Rg h = {12, 24, 36, 48} = B

  Como el rango de la función es igual al conjunto de llegada B, entonces la función h es sobreyectiva.

• Ejemplo 2:

  Sea G = {1,2,3,4} y J = {0,-2,4,5,6} y la función k: A → B, definida por k (x) = x + 3. ¿Sera k sobreyectiva?

  

  Como se puede observar los elementos 0 y -2 de la función J no son imágenes de ningún elemento de G, por lo tanto la función k no es sobreyectiva.

• Ejemplo 3:

  Recordemos el siguiente ejemplo: ƒ(x) = x² , esta no es una función inyectiva, veamos si es sobreyectiva, para A = {-2,-1,0,1,2} y B = {4,1,0}

  

  Al observar el diagrama sagital de la función ƒ, podemos observar que todos los elementos del conjunto de llegada están relacionados con al menos un elemento de A, siendo el Rango de la función igual al conjunto B, es por esto que esta función ƒ es sobreyectiva.

Función Biyectiva

Una función ƒ (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que ƒ(x) = y.

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

En la representación sagital, se observara que el rango coincide con el conjunto de llegada y cada elemento de éste es imagen de un sólo elemento del dominio, es decir, es sobreyectiva e inyectiva a la vez.

Una función de A en B es biyectiva si cumple con las condiciones siguientes:

• El rango de la función es todo el conjunto de llegada, o sea B.
• A los diferentes elementos de A les corresponde imágenes diferentes, nuevamente la función será inyectiva y sobreyectiva.

En conclusión una función ƒ de A en B es biyectiva, si a cualquier elemento de B le corresponde un único elemento de A y recíprocamente, a cualquier elemento de A le corresponde un único elemento de B.

Por lo anterior la función ƒ es biyectiva, es decir, debido a que a cualquier elemento de B le corresponde un único elemento de A y recíprocamente, a cualquier elemento de A le corresponde un único elemento de B se demuestra que tal función es biyectiva.

Ejemplo 1:

• Sea A = {a, b} y B {13,17}. Escribe todas las funciones ƒ: A → B que se puedan formar. Determina qué tipo de funciones se pueden formar.

  De acuerdo a los conjuntos que tenemos, A y B, podemos formar las siguientes funciones, que estarán representadas por su diagrama sagital y sus pares ordenados.

• La ƒ(x) = x² del conjunto de los números naturales (N) a naturales (N). Determinar qué tipo de función es:

  Recordemos que este ejercicio ya lo habíamos desarrollado, unas páginas atrás, cuando explicamos las funciones Inyectivas, veamos que ocurre con esta función conociendo ahora como son las funciones biyectivas.

  Tomemos los mismos valores arbitrarios para x, que habíamos tomado anteriormente.

  ƒ(x) = 0² = 0
  ƒ(x) = 3² = 9
  ƒ(x) = 7² = 28
  ƒ(x) = 12² = 144
  

  de los resultados obtenidos:

  Dom ƒ = {0,3,7,12}
  Rg ƒ = {0,9,28,144}

  • La correspondencia es uno a uno, por lo tanto, las imágenes de cada uno de los elementos del dominio son distintas, cada elemento tiene sólo una imagen, es por esto que podemos decir que esta función ƒ es Inyectiva
  • Además la función f es Sobreyectiva, para esto se debe cumplir que los elementos del conjunto de llegada B sean imagen de algún elemento del conjunto de partida A, es decir, rango de la función es igual al conjunto de llegada B.

  Recordemos la condición para que una función sea Biyectiva:

  • El rango de la función es todo el conjunto de llegada, o sea B.
  • A los diferentes elementos de A les corresponde imágenes diferentes, nuevamente la función será inyectiva y sobreyectiva.

De aquí decimos que la función ƒ: A → B es Biyectiva, ya que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.