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Los polinomios



Son expresiones algebraicas formadas por más de un monomio. Se emplean en el campo del álgebra, al igual que en las ciencias físicas y químicas.

Para comprender qué son los polinomios primero hay que entender lo que es una expresión algebraica. Sencillamente puede ser definida como una combinación de letras y números que se encuentran ligados por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Son utilizadas para hallar, por ejemplo, áreas y volúmenes.

Ejemplo de expresiones algebraicas
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Por su parte, un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Así: 6x2, 8xy son ejemplos de monomios. Constan de un coeficiente que multiplica a una parte literal (a una letra), la cual consiste en una potencia o un producto de potencias de exponente natural. En el monomio 6x2 el coeficiente es 6 y la parte literal es x2; en el monomio 8xy, el coeficiente es 8 y la parte literal es xy.

Partes de un monomio
Coeficiente: es el número que aparece multiplicando a las variables.
Parte literal: está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado: es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

¿Qué quiere decir que la fórmula 6x2 representa el área total de un cubo?

Con dicha fórmula podemos obtener el valor del área de cualquier cubo. Por eso, la fórmula lleva un valor indeterminado, es decir, que puede variar en el conjunto de los números reales. Ese valor, en este caso, representa la longitud de la arista que -lógicamente- varía de cubo en cubo. Así, si tenemos un cubo con una arista de 2cm, sustituiremos la x por el 2 y procederemos a resolver: 6.22 = 24

ATENCIÓN: No todas las letras que aparecen en un monomio son variables. Veamos un caso:

Si se requiere representar el área total de todos los prismas rectos que tienen por base un mismo cuadrado de lado a (valor fijo), surge la siguiente expresión: 4ay + 2a2. En este caso, a representa un valor fijo e y representa cualquiera de las alturas que podría tener el prisma, sería la variable.

OBSERVACIÓN: Generalmente, las primeras letras del alfabeto son utilizadas para designar los coeficientes (valores fijos), mientras que las indeterminadas o variables se designan con las últimas letras del alfabeto.

BINOMIOS

Cuando una expresión algebraica se compone por dos monomios, con la operación de adición o sustracción entre ellos, se denomina binomio. Tres monomios vinculados por las operaciones antedichas forman un trinomio y así sucesivamente. Por eso, cuando la expresión contiene más de un monomio se le llama polinomio, a modo general.

GRADO DE UN POLINOMIO

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

Del mismo modo con los polinomios con grado mayor a tres, que serían de cuarto grado, quinto grado, etc.

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 3x2+ 3x - 1

Si la x la sustituimos por 2

P(2) = 3 . 22+ 3 . 2 - 1 = 17

En este caso, el valor numérico es 17.

TIPOS DE POLINOMIOS

Polinomio nulo: es el que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x2 + 0x + 0

Polinomio completo: tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

Polinomio incompleto: no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 5x - 3

Polinomio ordenado: está ordenado en forma decreciente si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. También puede estar ordenado en forma creciente, si los monomios se escriben desde el de menor grado al de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 5x – 3

P(x)= –3 + 5x + 2x3

Polinomio homogéneo: todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3x2

Polinomio heterogéneo: no todos sus términos son del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 – 3

POLINOMIOS IGUALES

Dos polinomios son iguales si:

Todos sus términos son iguales, sin importar el orden en el que se encuentran escritos.

P(x) = 3x3 + 6x - 5

Q(x) = 6x - 5 + 3x3

POLINOMIOS SEMEJANTES

Dos polinomios son semejantes si tienen las mismas partes literales.

P(x) = 6x3 + 4x - 8

Q(x) = 2x3 - 2x – 1

SUMA DE POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x - 3

Q(x) = 4x - 3x2+ 2x3

1- Ordenamos los polinomios, si no lo están.

En este caso, el segundo polinomio no se encuentra ordenado; por lo tanto, se procede a hacerlo:

Q(x) = 2x3 - 3x2+ 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)

2- Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3x2 + 5x + 4x - 3

3- Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3

RESTA DE POLINOMIOS

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) - Q(x) = (2x3 + 5x - 3) - (2x3 - 3x2 + 4x)

P(x) - Q(x) = 2x3 + 5x - 3 - 2x3 + 3x2 - 4x

P(x) - Q(x) = 2x3 - 2x3 + 3x2 + 5x- 4x - 3

P(x) - Q(x) = 3 x2 + x - 3

¿Sabes quién fue François Viète?
Fue un matemático francés del siglo XVI (1540 - 1603) que es reconocido por haber sido el primero en estudiar el álgebra y sustituir los parámetros de una ecuación por letras. En su libro In artem analyticem isagoge, de 1591, usó las vocales para los valores desconocidos y las consonantes para los números conocidos (todos, vocales y consonantes, en mayúsculas). Este autor también recomendó encarecidamente el uso de los signos + y - para representar la suma y la resta. También tuvo la idea de representar con una sola letra (como la x) un número desconocido.



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