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Todo número natural acepta una descomposición finita en números primos. Esto se lo conoce comúnmente como factorización en números primos, o factorización de números compuestos.
Antes de introducir la técnica para realizar dicha descomposición se presentará una lista de los primeros 100 números primos. Recordemos que trabajando con los números naturales, los números primos son aquellos que solamente pueden ser divididos de forma exacta por sí mismos y por 1. Se deben conocer al menos algunos para que la descomposición de todo número compuesto se realice con mayor facilidad.
Los pitagóricos tuvieron gran interés por los números primos, ellos pensaban que los números gobernaban el mundo y tenían propiedades místicas y mágicas. Los números primos, por su naturaleza indivisible, presentaban todas las características para ser adorados por los discípulos de Pitágoras.
Los primeros 100 números primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541.
Técnica para factorizar un número natural
Para descomponer un número natural en factores primos se comienza a dividir por el menor primo posible que dé una división exacta. Tomemos por ejemplo el número 40.950.
El número propuesto 40.950 se puede escribir como el producto de su descomposición en números primos de la siguiente manera.
40.950 = 2 × 32 × 52 × 7 × 13
No suele ponerse en la primera columna la cuenta correspondiente para no entorpecer la notación, se hizo en esta oportunidad para demostrar los procedimientos.
Con el objetivo de afianzar la teoría se realiza la factorización en primos de los siguientes números 28, 60 y 104. Realizando el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, pero sin colocar la operación de la división en la primera columna obtenemos:
Escribiendo los números con su descomposición en primos queda:
28 = 22 × 7
60 = 22 × 3 × 5
104 = 23 × 13
La utilidad que se le da a la factorización en primos de los números naturales es muy diversa, aunque se destaca principalmente para encontrar el Mmínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (mcd) de un grupo de números enteros compuestos cualesquiera.
Mínimo común múltiplo
Su abreviatura es mcm. Es el mínimo (más pequeño) número que es un múltiplo en común del grupo de números compuestos dado.
Para encontrar el mínimo común múltiplo se debe factorizar cada número y hallar sus factores primos. Se consideran los factores que se repiten con su mayor exponente y también los que no se repiten. Por ejemplo, si tenemos los números 28, 60 y 104, se puede calcular el mcm entre ellos.
28 = 2² × 7
60 = 2² × 3 × 5
104 = 2³ × 13
En los tres números compuestos, se repite el 2 como factor, por lo tanto se marca (en negrita) cada vez que aparece. Luego, se elige aquel que tiene mayor exponente, en este caso 23. También se toman todos los factores no comunes. El mínimo común múltiplo se denota de la siguiente manera:
mcm (28, 60, 104) = 23 × 3 × 5 × 7 × 13 = 10.920
Máximo común divisor
Su abreviatura es mcd. Es el máximo (número más grande) que es capaz de dividir de forma exacta a todos los números naturales de un determinado grupo.
Para encontrar el mcd del grupo 28, 60 y 104, se factoriza en primos a cada número y se escoge únicamente el factor que se repite en todas las factorizaciones y cuyo exponente es el menor, en este caso, 22. Se puede observar marcado en negrita en la descomposición anterior.
Se denota de la siguiente manera:
mcd (28, 60, 104) = 22 = 4
