En matemática la radicación es otra forma de expresar a la potenciación y al igual que esta última presenta ciertas propiedades importantes que se deben conocer al momento de resolver problemas de este tipo.
Raíz
Consiste en la obtención de un número que se ha multiplicado por sí mismo n veces bajo el operador de la raíz. Por eso también se conoce como “raíz enésima de un número”.
n√a = m
Sus elementos son:
En el caso de la raíz cuadrada solamente se denota por el símbolo “√”.
Soluciones de una raíz
La solución de una raíz depende principalmente del radicando y del índice de la raíz. En algunas ocasiones puede tener una o dos soluciones y en otros casos puede que no tenga solución.
Radicando | Índice | Soluciones | Ejemplo |
a ≥ 0 |
n par |
Dos soluciones ±n√a |
√4 = ± 2 Se cumple porque: (+2)(+2) = 4 (-2)(-2) = 4 |
n impar |
Una solución positiva +n√a |
3√125 = +5 Se cumple porque: (+5)(+5)(+5) = 125 Al aplicar la regla de los signos no existe ninguna otra combinación posible que dé como resultado un número positivo como el radicando. |
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a ≤ 0 |
n par |
No tiene solución, no existe ∄ |
4√-2 = ∄ no existe una raíz real En el caso del problema y considerando la definición de raíz se tiene que no hay ningún número que multiplicado cuatro veces por sí mismo dé como resultado un número negativo. Por lo tanto, la raíz no existe. |
n impar |
Una solución negativa n√-a |
3√-64 = -4 Se cumple porque: (-4)(-4)(-4) = -64 Al aplicar la regla de los signos no existe ninguna otra combinación posible que dé como resultado un número negativo como el radicando. |
Al momento de resolver problemas con radicales es importante conocer la regla de los signos.
Propiedades de las raíces
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Por ejemplo:
En la raíz aritmética de un número se cumple que (n√a)n = a.
Raíces y potencias de exponentes fraccionarios
Un radical puede expresarse en forma de exponente fraccionario en el cual el denominador de la fracción corresponde al índice de la raíz y el numerador al exponente del radicando.
Por ejemplo:
En el caso de radicales que se encuentren en el denominador, se pueden expresar también en exponentes negativos.
Por ejemplo:
Como las raíces pueden expresarse en forma de exponente fraccionario, cumplen con las propiedades de las potencias.
Extraer factores fuera de un radical
En algunas ocasiones se busca expresar los radicales de formas más simples, para lo que se recurre a extraer factores en el radicando, en este caso, el exponente del factor que se va a extraer debe ser un múltiplo mayor o igual al índice de la raíz. Se cumple la siguiente expresión:
El exponente del factor es igual al índice de la raíz.
El exponente del factor es múltiplo del índice y mayor que este.
Por ejemplo:
Cuando el exponente del factor es menor que el índice de la raíz no se puede extraer fuera del radical.
Suma de radicales
Los radicales pueden sumarse siempre y cuando sean semejantes, es decir, que tengan el mismo índice y radicando. En este caso se suman los coeficientes (los números que están fuera de la raíz) y se deja el mismo índice y radicando. Se cumple la siguiente expresión:
Por ejemplo:
En algunos casos se pueden sumar radicales que no sean semejantes, para lograrlo se debe tratar de que los radicales sean semejantes por medio de la extracción de factores.
Por ejemplo:
La descomposición de números en sus factores primos es muy útil para extraer factores de radicales.
Signo radical
El símbolo de la raíz fue introducido en siglo XVI por Christoph Rudolff cuyo uso es evidenciado en su libro Coss.
Muchos asocian el origen del signo de la raíz con la letra r, de la palabra latina
radix que significa “raíz”.