Resolución de inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que hay una o mas incógnitas y solo se verifica para determinados valores de estas cantidades desconocidas. Una inecuación está compuesta por dos miembros, que son las expresiones que aparecen a ambos lados de la desigualdad, uno al lado derecho del signo de desigualdad y otro al lado izquierdo, estos miembros se relacionan por uno de estos signos:

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica, es decir, para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. Al momento de resolver una inecuación es importante conocer las propiedades de las desigualdades.

Para conseguir la resolución de una ecuación es necesario ir transformando la inecuación inicial en otras equivalentes más simples hasta que el resultado final sea tal que se conozca el intervalo solución, o hasta que el resultado final sea contradictorio, en cuyo caso, la inecuación no tiene solución.

En general las soluciones se pueden expresar así:

Una representación gráfica.

Un intervalo: conjunto de números reales que satisfacen la ecuación.

El grado de una inecuación, al igual que en una ecuación, viene dado del mayor exponente de la o las incógnitas que tenga la inecuación, es decir, si la incógnita tiene exponente 1, será una inecuación de primer grado, si la inecuación tiene una incógnita con exponente 2, será una inecuación de segundo grado o cuadrática.

Inecuaciones de primer grado con una incógnita

Una inecuación de primer grado es una inecuación en la que sus dos miembros son polinomios de grado menor o igual a 1. Las soluciones de una inecuación son todos los números reales que hacen que dicha inecuación sea cierta.

Para resolver inecuaciones que contengan una incógnita y esta tenga como exponente mayor el número 1, se pueden seguir los siguientes pasos:

Se eliminan corchetes y paréntesis.

Se eliminan denominadores.

Se agrupan los términos con la incógnita, por ejemplo: x, a un lado de la desigualdad y los términos independientes (términos sin incógnita) en el otro.

Efectuar las operaciones.

Si el coeficiente de la incógnita es negativo, multiplicamos por -1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad (ver propiedades de las inecuaciones).

Se despeja la incógnita.

Por último se expresa la solución de forma gráfica y con un intervalo.

Ejercicios:

Hallar la solución de las siguientes inecuaciones:

a) 3x + 6 > 18

b) -4x - 8 ≥ -2

Debemos recordar que en el caso que el coeficiente de la x sea negativo se debe multiplicar los dos miembros por (-1), y esto hace que el sentido de la desigualdad cambie.

c) 3x - 9 > 15 - 2x – 4

d) 5x - (3 - 2x) + 12 ≥ 9 + 3(2x - 5)