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La función cuadrática es una función polinómica de grado 2.
y=variable dependiente
x=variable independiente
a=coeficiente del término cuadrático
b=coeficiente del término lineal
c=término independiente
Podemos expresarla de tres maneras: forma polinómica, forma factorizada o forma canónica.
FORMA POLINÓMICA: ƒ(x) = ax²+bx+c
FORMA FACTORIZADA: ƒ(x)= a (x-x1).(x-x2)
FORMA CANÓNICA: ƒ(x)= a (x-xv)² +yv
x1 y x2: raíces de la función.
V= (xv;yv): vértice.
Al momento de resolver ejercicios o problemas que involucren funciones cuadráticas, debemos saber de memoria estas tres formas para poder utilizar la que nos convenga.
Veamos un ejercicio para comprender el tema.
EJERCICIO:
Una función cuadrática tiene su vértice en el punto V= (2;3) y pasa por el punto (0;1). Hallar su expresión general.
Luego de leer detenidamente el enunciado, marcamos los datos que nos brinda el problema:
Una función cuadrática tiene su vértice en el punto V= (2, 3) y pasa por el punto (0, 1). Hallar su expresión general.
Vemos que tenemos dos datos:
El vértice: V = (2,3)
Un punto: (0,1)
Al revisar las tres formas de expresar la función cuadrática, observamos que aquella que incluye las coordenadas del vértice es la FORMA CANÓNICA.
Entonces es la que utilizaremos:
ƒ(x) = a (x - xv)² +yv
Y reemplazamos con los datos que tenemos:
Reemplazando xv e yv por las coordenadas del vértice.
ƒ(x) = a (x - 2)² + 3
También se debe reemplazar por el punto (0,1). Para hacerlo debemos tener en cuenta que x=0 y f(x)=1. Obteniendo:
1= a (0 - 2)² + 3
Observamos entonces, que nos queda una sola incógnita, que debemos despejar.
1 = a (0 - 2)² + 3
1 = a(-2)² + 3
1 = a.4 + 3
1 - 3 = a.4
-2 = a.4
-2/4 = a
-1/2 = a
a = -1/2
Con este valor ya podemos hallar la expresión general o polinómica:
Volvemos a escribir la FORMA CANÓNICA con el nuevo dato:
ƒ(x) = -½(x - 2)² + 3
NO colocamos los valores del punto específico (0;1) ya que estamos buscando la expresión general
Resolvemos el cuadrado de binomio y realizamos la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis:
ƒ(x) = -½(x² - 4x + 4) + 3
ƒ(x) = -½x² + 2x - 2 + 3
ƒ(x) = -½x² + 2x + 1
Si nos hubiesen dado como datos las RAÍCES deberíamos haber utilizado la FORMA FACTORIZADA
Ejercicios para practicar:
1.- Hallar la forma factorizada de una función cuadrática que pasa por el punto (2;9). Sus raíces son x1 = -1 y x2 = 1.
2.- Las raíces de una función cuadrática son x1 = 0 y x2 = 3. Hallar la expresión general de ésta función, si la misma pasa por el punto (1;-4).
3.-El vértice de una función cuadrática se encuentra en el punto (1;0). Si el coeficiente principal es igual a 2 ¿Cuál es la forma polinómica de la función?
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