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Función Cuadrática

La función cuadrática es una función polinómica de grado 2.

y=variable dependiente
x=variable independiente

a=coeficiente del término cuadrático
b=coeficiente del término lineal
c=término independiente

Podemos expresarla de tres maneras: forma polinómica, forma factorizada o forma canónica.

FORMA POLINÓMICA: ƒ(x) = ax²+bx+c

FORMA FACTORIZADA: ƒ(x)= a (x-x1).(x-x2)

FORMA CANÓNICA: ƒ(x)= a (x-xv)² +yv

x1 y x2: raíces de la función.

V= (xv;yv): vértice.

Al momento de resolver ejercicios o problemas que involucren funciones cuadráticas, debemos saber de memoria estas tres formas para poder utilizar la que nos convenga.

Veamos un ejercicio para comprender el tema.


EJERCICIO:

Una función cuadrática tiene su vértice en el punto V= (2;3) y pasa por el punto (0;1). Hallar su expresión general.

Luego de leer detenidamente el enunciado, marcamos los datos que nos brinda el problema:

Una función cuadrática tiene su vértice en el punto V= (2, 3) y pasa por el punto (0, 1). Hallar su expresión general.

Vemos que tenemos dos datos:

El vértice: V = (2,3)

Un punto: (0,1)

Al revisar las tres formas de expresar la función cuadrática, observamos que aquella que incluye las coordenadas del vértice es la FORMA CANÓNICA.

Entonces es la que utilizaremos:

ƒ(x) = a (x - xv)² +yv

Y reemplazamos con los datos que tenemos:

Reemplazando xv e yv por las coordenadas del vértice.

ƒ(x) = a (x - 2)² + 3

También se debe reemplazar por el punto (0,1). Para hacerlo debemos tener en cuenta que x=0 y f(x)=1. Obteniendo:

1= a (0 - 2)² + 3

Observamos entonces, que nos queda una sola incógnita, que debemos despejar.

1 = a (0 - 2)² + 3

1 = a(-2)² + 3

1 = a.4 + 3

1 - 3 = a.4

-2 = a.4

-2/4 = a

-1/2 = a

a = -1/2

Con este valor ya podemos hallar la expresión general o polinómica:

Volvemos a escribir la FORMA CANÓNICA con el nuevo dato:

ƒ(x) = -½(x - 2)² + 3

NO colocamos los valores del punto específico (0;1) ya que estamos buscando la expresión general

Resolvemos el cuadrado de binomio y realizamos la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis:

ƒ(x) = -½(x² - 4x + 4) + 3

ƒ(x) = -½x² + 2x - 2 + 3

ƒ(x) = -½x² + 2x + 1

Si nos hubiesen dado como datos las RAÍCES deberíamos haber utilizado la FORMA FACTORIZADA

Ejercicios para practicar:

1.- Hallar la forma factorizada de una función cuadrática que pasa por el punto (2;9). Sus raíces son x1 = -1 y x2 = 1.

2.- Las raíces de una función cuadrática son x1 = 0 y x2 = 3. Hallar la expresión general de ésta función, si la misma pasa por el punto (1;-4).

3.-El vértice de una función cuadrática se encuentra en el punto (1;0). Si el coeficiente principal es igual a 2 ¿Cuál es la forma polinómica de la función?

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