Ejercicios de potenciación

La potenciación es muy útil para resolver diversos tipos de problemas como en la descomposición de números en sus factores primos o en el empleo de la notación científica. Sin embargo, en éstos y muchos otros casos en donde es aplicada la potenciación, se cumplen algunas propiedades que es indispensable conocerlas.

Elementos de una potencia

Una potencia es una expresión cumple la forma an donde “a” es la base y “n” es su índice o exponente. La definición de una potencia varía en función al conjunto numérico al cual pertenece el exponente. Sus elementos principales son:

Base: es el número que se debe multiplicar por sí mismo.

Exponente: número que indica las veces que se debe multiplicar la base por sí misma, también se denomina índice.

Potencia: es el resultado de la potenciación.

 

Las potencias pueden aplicarse tanto en números reales y complejos.
¿Cómo leer una potencia?

Para leer una potencia primero se lee el valor de su base y luego su exponente. Por ejemplo, 42 se lee como “cuatro elevado al cuadrado”, se usa la expresión cuadrado para expresar que el exponente es el número 2, en el caso de que el exponente sea el número 3 se usa la expresión cubo, de esta forma 73 se leería “siete elevado al cubo”. Para los demás exponentes se emplean los números ordinales para indicarlos: “siete elevado a la quinta”, “nueve elevado a la sexta”, etc.

 

Cuando el exponente de la potencia es 1, simplemente se coloca la base sin exponente porque cualquier número multiplicado por uno da el mismo número.

Repaso de las propiedades

Las propiedades de la potenciación o de las potencias permiten resolver ejercicios que involucran potencias.

Las potencias de base 10 son usadas para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas en un sistema denominado notación científica.

Propiedades que no se cumplen en la potenciación

  • Propiedad distributiva

Aunque se cumple para la multiplicación y la división como se pueden observar en las propiedades 7 y 8 de la tabla anterior. La propiedad distributiva no se cumple con respecto a la adición y a la sustracción:

  • Propiedad asociativa

No se cumple en la potenciación:

  • Propiedad conmutativa

Sólo se cumple cuanto la base y el exponente tienen el mismo valor numérico (como 55, 77, 44, etc.). Generalmente se cumple que:

No existe una solución para la expresión 00, en este caso se trata de una indeterminación.

Aplicación de las propiedades

Aplica las propiedades de la potenciación para resolver.

  1. Se aplica la propiedad 5 para la división:

Se aplica la propiedad 6 para la segunda parte del ejercicio:

Se resuelven ambas potencias:

Se sustituyen en los valores:

Solución:

 

Por la propiedad 1 se sabe que de manera que la expresión queda de la siguiente forma:

Se calculan las potencias:

Se sustituyen los resultados de las potencias:

Solución:

 

Se aplica la propiedad 5 en la fracción

De la siguiente forma:

Se resuelven las potencias:

Se sustituyen los resultados en las potencias y se resuelve:

Solución:

 

En este problema se pueden resolver las potencias por separado y luego sustituir, pero existe una manera más sencilla de llegar al resultado a través de las propiedades de la potenciación. Lo primero que se debe hacer es aplicar la propiedad 7 en el numerador. Recordemos que se cumple que , como consecuencia de la igualdad es igualmente válido decir que . Esta última expresión se empleará de la siguiente forma:

Se resuelve el producto para originar una fracción con potencias de igual base:

Se aplica la propiedad 5:

Se resuelve:

Solución:

 

Se calculan las potencias:

Se sustituyen las potencias en la expresión inicial y se resuelve:

Solución:

En las potencias con base negativa se debe aplicar la regla de los signos.

Aplicación en expresiones algebraicas

Además de lo útiles que son las propiedades de la potenciación para resolver problemas numéricos, también pueden emplearse en expresiones algebraicas complejas con la finalidad de hacerlas más sencillas. A continuación se muestran algunos ejemplos.

-Reduce a la única potencia:

Se aplica la propiedad 6 en el numerador:

Como se obtuvo una división de potencias de igual base, se aplica la propiedad 5:

Solución:

Al aplicar la propiedad 5 en la fracción

Se obtiene:

Por medio de la propiedad 6 se obtiene la siguiente expresión:

Solución:

Existe la potenciación con exponentes racionales que se denotan en forma de fracción.

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