Matrices

Las matrices son arreglos de números que entre otras cosas se emplean para resolver sistemas de ecuaciones lineales y programas informáticos. Son fundamentales en matemática y en otras disciplinas como el álgebra.

¿Qué es una matriz?

Una matriz es una tabla bidimensional en la que se disponen valores numéricos o variables. Los datos que conforman a una matriz se denominan elementos y están dispuestos de acuerdo a un patrón de filas y columnas que le confieren una forma cuadrada o rectangular a la matriz según sea el caso.

Las filas o renglones de una matriz son todos los elementos que se encuentran dispuestos linealmente de forma horizontal, las columnas se encuentran compuestas por los elementos localizados linealmente de forma vertical. Si una matriz tiene m filas y n columnas, su dimensión será de m x n, esto se debe a que primero se coloca el número de filas y luego el de columnas.

Forma general de una matriz A de dimensiones m x n:

Generalmente se emplean letras mayúsculas del alfabeto para expresar el nombre de las matrices.

Elementos de la matriz

Para ubicar un elemento de una matriz se usa el sistema de doble subíndice en el que se indica primero el número de la fila donde encuentra seguido de su respectiva columna. De manera que el elemento a12 es aquel ubicado en la primera fila y en la segunda columna. Como notación general se emplea una fórmula denominada entrada aij , donde i es el número de fila del elemento y j es el número de columna.

Matrices cuadradas y rectangulares

De acuerdo a la dimensión de una matriz, se puede clasificar en matriz cuadrada y en matriz rectangular. Una matriz m x n es cuadra si m = n, es decir, si el número de filas es igual al número de columnas. Por otra parte, las matrices en donde se cumple que m ≠ n, su forma es rectangular, debido a que el número de filas es diferente al número de columnas.

Para ilustrar mejor se muestran los siguientes ejemplos:

La matriz A es una matriz cuadrada porque posee tres filas y tres columnas, es decir, su dimensión es de 3 x 3. Por otra parte, la matriz B tiene tres filas y dos columnas, es decir, su dimensión es de 3 x 2, por lo tanto, B es una matriz rectangular.

James Joseph Sylvester fue el primero en emplear el término “matriz” en el ámbito matemático a mediados del siglo XIX.

La diagonal principal

En las matrices cuadradas se observa una diagonal principal formada por todos los elementos cuyas entradas cumplen la condición . Por ejemplo:

Los elementos 2, 9 y 5 constituyen la diagonal principal de la matriz M, debido a que en sus entradas cumplen con la condición de :

a11 = 2

a22 = 9

a33 = 5

De manera directa se puede observar que la diagonal principal de una matriz cuadrada está formada por los elementos que describen una diagonal desde el elemento hasta el último elemento de la última fila.

Otros tipos de matrices

  • Matriz fila

Es aquella conformada por una fila.

  • Matriz columna

Es aquella que posee una sola columna.

  • Matriz nula

Es aquella en la que todos los elementos que la componen son ceros.

  • Matriz triangular superior

Es la matriz en la que todos los elementos ubicados por debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz triangular inferior

Es la matriz cuyos elementos situados por encima de su diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz diagonal

Es aquella matriz en la que todos los elementos situados por encima y por debajo de su diagonal principal son iguales a cero.

  • Matriz escalar

Es una matriz diagonal en la que los elementos que forman su diagonal principal son iguales.

  • Matriz identidad o matriz unidad

Es aquella matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.

  • Matriz transpuesta

Matriz que se obtiene al cambiar de forma ordenada las filas por las columnas. Se denota con la letra t como subíndice del nombre de la matriz original.

 

Las matrices pueden incluir números, fracciones, radicales y otros números del conjunto de los reales.
Propiedades de la matriz transpuesta

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α.A)t = α.At

(A.B)t = Bt.At

Las matrices transpuestas se emplean para realizar otros cálculos con matrices como por ejemplo, los determinantes.

Matrices en la computación

Sorprendentemente las operaciones matriciales no se limitan al álgebra lineal, sino que es usado en muchas otras áreas como la computación. Esto se debe a que las matrices proporcionan una forma sencilla de representar datos y realizar cálculos numéricos que de otra forma sería complicado resolverlos.

Existen programas informáticos como Matlab que permiten crear sistemas de matrices complejos para ser usados en el campos tan diversos como el de la robótica o el de la computación gráfica.

 

La teoría de matrices se dedica a estudiar las matrices y a los sistemas matriciales.

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