Sistemas de ecuaciones

En matemáticas y en otras disciplinas, el empleo de ecuaciones para calcular variables es frecuente y de gran ayuda. El conjunto de dos o más ecuaciones se conoce como sistema de ecuaciones, y según sea el caso, puede tener o no solución.

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones que contienen una o más variables. Se encuentran formadas por dos miembros separados por el signo igual.

El símbolo igual “=” fue inventado por Robert Recorde en 1557. Su forma hace alusión a dos rectas paralelas del mismo tamaño que representan la igualdad.

Estas expresiones matemáticas presentan valores conocidos o datos, además de elementos desconocidos denominados incógnitas y que son usualmente representados por letras del alfabeto.

El conjunto de valores que satisfacen a una ecuación se denomina solución. De este modo, una ecuación puede también definirse como una igualdad condicionada en la que sólo algunos valores de las incógnitas la hacen cierta.

Un ejemplo es la siguiente ecuación:

2x-1=3

La solución de la ecuación es 2, ya que es el único valor que puede tomar la incógnita para hacer cumplir la igualdad:

Cuando una ecuación incluye únicamente sumas y restas con una variable elevada a la primera potencia (sin presentar productos entre éstas) se denomina ecuación lineal.
Desde la Antigüedad

Sorprendentemente, muchos fundamentos básicos del álgebra que hoy en día usamos ya eran conocidos en el Antiguo Egipto y eran empleados para calcular problemas matemáticos en los cuales existía un valor desconocido.

El conocimiento avanzado de los egipcios en las matemáticas les permitió realizar cálculos que otras culturas desconocían.

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones matemáticas pueden ser tan diversas como los números mismos. Se clasifican de acuerdo al máximo exponente al cual se encuentre elevada la incógnita o variable en lo que se denomina grado de la ecuación. Por ejemplo, 2x-3=4-x es una ecuación de primer grado porque el máximo exponente al cual se encuentra elevada la es 1. Por otro lado, una ecuación del tipo: 5x²-3x+1=0 es de segundo grado, por ser 2 el máximo exponente de la incógnita.

Adicionalmente, existen ecuaciones que incluyen funciones matemáticas como las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, entre otras. En estos casos se utiliza una metodología diferente para su resolución de acuerdo a las características de las funciones involucradas.

Las ecuaciones de segundo grado presentan la forma ax2 + bx + c y pueden resolverse con la fórmula mostrada.

Sistema de ecuación

Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones que contienen varias incógnitas. Un sistema puede tener o no solución, en caso de tenerla consistirá en el valor o conjunto de valores que al ser sustituidos en las ecuaciones del sistema cumplen con la igualdad del sistema.

Las ecuaciones con una sola incógnita se resuelven a través de despejes. Para ecuaciones con dos o más incógnitas se recurre a los sistemas de ecuaciones.

Clasificación de los sistemas de ecuaciones

Los sistemas de ecuaciones pueden ser clasificados en compatibles o incompatibles de acuerdo a si tienen o no solución.

  • Sistemas compatibles: son aquellos que admiten solución, se subdividen en sistemas compatibles determinados y sistemas compatibles indeterminados. Los primeros se caracterizan por presentar un conjunto finito de valores que satisfacen la igualdad del sistema, es decir, tienen una sola solución. Los segundos por su parte, presentan un número infinito de soluciones.
  • Sistemas incompatibles: son aquellos que no admiten ninguna solución posible.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Como se explicó anteriormente, las ecuaciones pueden presentar varios tipos de grado e incluir muchas funciones matemáticas. En este caso, el artículo se centrará en explicar los métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado, específicamente en ecuaciones lineales.

Los tres métodos más conocidos para su resolución son:

  • Método de reducción
  • Método de sustitución
  • Método de igualación

Sin embargo, existen otros métodos que hacen uso de matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Método de reducción

A través de este método se trata de cancelar una de las variables para calcular la otra por medio de despejes. Para lograrlo se multiplica una de las ecuaciones de manera que al sumar todos los términos semejantes de todas las ecuaciones se elimine una de las incógnitas.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción.

En la primera ecuación el coeficiente de la variable es 2, mientras que en la segunda es 1. Una forma de eliminar a la variable es multiplicar la segunda ecuación por -2, de esta forma al sumar los términos semejantes que incluyen dicha variable darán como resultado al número cero y de esta forma se cancela la incógnita.

De esta forma el sistema de ecuaciones queda:

Se suman los términos semejantes

De esta forma, se tiene la ecuación:

Con el valor de conocido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y se despeja . Para este caso se seleccionará la primera ecuación del sistema:

De esta forma, el conjunto solución del sistema es x= -1 y y=2 .

En el caso de sistemas con una sola solución, si se sustituyen los valores solución en las ecuaciones se cumple la igualdad en todos los casos.

Método de sustitución

En este método se busca despejar una variable en una ecuación para luego sustituirla en otra de manera de reducir el número de incógnitas.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución.

Se despeja cualquiera de las variables de cualquiera de las dos ecuaciones. En este caso se despejará la variable de la primera ecuación:

Se sustituye la variable despejada en la otra ecuación. En este punto, se debe tener cuidado de no sustituir la ecuación despejada en la misma ecuación de la cual se obtuvo.

Se resuelven los cálculos hasta despejar la variable

Se sustituye la incógnita y en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se calcula el valor de x. En este método como se despejó dicha incógnita en el primer paso, se puede sustituir directamente en dicha ecuación:

Método de igualación

Este método consiste en despejar una misma incógnita de dos ecuaciones y luego igualarlas para calcular el valor de otra incógnita.

Por ejemplo:

Calcule la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación.

Se despeja en ambas ecuaciones:

-Primera ecuación

-Segunda ecuación

Se igualan ambas ecuaciones despejadas:

Se despeja el valor de y:

Se sustituye el valor de en cualquiera de las ecuaciones, preferiblemente en cualquiera de las ecuaciones ya despejadas.

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