Inecuaciones

Las inecuaciones son expresiones matemáticas ampliamente usadas por muchas disciplinas y su solución, a diferencia de la mayoría de las ecuaciones, no comprende valores concretos sino que abarca un conjunto de números.

¿Qué es una inecuación?

Es una expresión matemática que contiene al menos una variable y está caracterizada por incluir signos de desigualdad, de manera que su resultado es un conjunto de valores que la variable puede tomar para que se cumpla la desigualdad planteada.

El conjunto solución de una solución se denomina intervalo.

Símbolos de desigualdad

La desigualdad es una expresión algebraica que sirve para relacionar dos cantidades semejantes mediante signos. Los signos matemáticos más usuales para establecer estas relaciones son:

Símbolo Significado Ejemplo
> Mayor que 15 > 4
< Menor que 3 < 7
Mayor o igual que* a ≥ b
Menor o igual que* b ≤ a

*a y b pueden ser valores iguales o diferentes que permitan hacer cumplir la desigualdad.

Elementos de una inecuación

Algunos elementos son similares entre las ecuaciones y las inecuaciones. Pero se tratan de expresiones algebraicas distintas. Quizá el elemento más resaltante de toda inecuación es el signo de desigualdad. Debido a éste, la solución de dichas expresiones suelen variar un poco de la manera en la que se resuelven las ecuaciones.

  • Miembros: son las partes de una inecuación que están separadas por el signo de la desigualdad. En la imagen el primer miembro corresponde a 4x – 1 mientras que el segundo término corresponde a 2x + 1.
  • Términos: son las expresiones literales o numéricas separadas por los signos más (+) o menos (-). Son términos de la inecuación mostrada: 4x, -1, 2x y 1.
  • Variable: es la letra que representa al conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
  • Grado de la inecuación: se encuentra indicado por el mayor exponente que posea la variable. En el caso del ejemplo mostrado, se trata de una inecuación de primer grado porque su mayor exponente es 1. Si el mayor exponente fuera 2 sería una inecuación de segundo grado y así sucesivamente.
Las inecuaciones pueden presentarse de varias formas como fracción o valor absoluto.

Resolución de ecuaciones de primer grado

El objetivo de la resolución de una inecuación es encontrar todos los valores de la variable para los cuales es válida la expresión. Estos valores pueden pertenecer a uno o más intervalos que pueden graficarse en la recta real.

Al operar con inecuaciones se pueden observar las siguientes reglas:

  1. La inecuación no varía cuando se suma o resta un mismo valor en ambos miembros de la desigualdad.

Por ejemplo:

Si se suma 3 a ambos miembros se obtiene:

Al sumar y restar los términos semejantes se obtiene:

El conjunto solución son todos los valores mayores a 4.

  1. Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación por un mismo número positivo, la inecuación que resulta es equivalente a la inicial.

Se multiplican ambos miembros por 2:

Se resuelven las operaciones:

De esta forma, la ecuación

Es equivalente de la ecuación

y puede resolverse a través de la regla 1 explicada anteriormente.

  1. Si se multiplica o divide a ambos miembros de una inecuación por un mismo número negativo, la inecuación que resulta cambiará de sentido en su signo de desigualdad y la misma será equivalente de la inecuación inicial.

Por ejemplo:

Se multiplica ambos miembros de la igualdad por -1:

Se resuelve la multiplicación y se cambia el sentido de la desigualdad:

De manera que

Es una inecuación equivalente de

Y es la misma que se resolvió en el ejemplo de la regla 1.

Las inecuaciones serán válidas para unos valores y no serán válidas para otros.

Problemas

Para resolver problemas con inecuaciones se deben aplicar las reglas explicadas anteriormente de forma tal que la variable quede localiza en un miembro de la inecuación y los términos constantes en otro.

En este caso, para eliminar el -3 del primer miembro se debe sumar a ambos miembro el número 3:

Para eliminar la x del segundo miembro se debe restar –x a ambos miembros de la inecuación:

Se resuelven las operaciones:

Por lo tanto, el resultado de la inecuación 

 Es decir, todos los números menores o iguales a 8.

Se puede comprobar el resultado al seleccionar un número menor igual a 8 y luego reemplazarlo en la inecuación, al final debería obtenerse una desigualdad válida.

Por ejemplo, si se selecciona el 5 que es menor a 8, y se reemplaza en la inecuación se obtiene:

Como el 7 es menor que 10, entonces 5 es parte del conjunto solución de la desigualdad.

En caso de que se consideren a los valores diferentes al conjunto solución, la desigualdad que se obtiene no será lógica.

Por ejemplo, se sabe que la solución de este problema son todos los números menores o iguales a 8. Para comprobar si es cierto, seleccionamos un número mayor a 8, para este caso seleccionaremos el 9.

Se cumplen los mismos pasos anteriores:

Como 15 no es menor a 14, entonces 9 no pertenece al conjunto solución de la inecuación.

Hay problemas que involucran paréntesis y se debe aplicar en lo posible alguna propiedad matemática como la distributiva para eliminarlos.

Se multiplican ambos miembros por 3 para eliminar el denominador de la fracción:

Se dividen ambos miembros entre -10, como es un número negativo, la dirección de la desigualdad cambia:

Se multiplican ambos lados por 5 para eliminar el denominador de la variable:

La expresión anterior también puede escribirse de forma inversa. Sólo se debe intercambiar el signo de la desigualdad:

Para tener una mejor idea del conjunto solución se suele convertir la fracción a decimal, de este modo

Lo que quiere decir que el conjunto solución son todos los números mayores o iguales a 9,5.

Una de las aplicaciones de las inecuaciones es para calcular el costo, ingreso y utilidad de una empresa.

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