Cálculo del ángulo a partir de sus razones trigonométricas

El problema inverso al de calcular las razones trigonométricas de un ángulo conocido, consiste en determinar el valor de dicho ángulo a partir de sus razones trigonométricas.

La resolución de este problema, que tradicionalmente se llevaba a cabo mediante el empleo de las tablas trigonométricas, se ve hoy facilitado por el hecho de que muchas de las modernas calculadoras electrónicas de bolsillo incorporan combinaciones de teclas que permiten obtener el valor del ángulo conocido el seno, el coseno o la tangente del mismo. La denominación tradicional con la que se hace referencia a la medida del ángulo correspondiente al valor de una determinada razón trigonométrica, que se supone conocida, utiliza el término “arco” en lugar de ángulo; es decir, que para cada una de las razones trigonométricas se habla, respectivamente, de arco seno (arc sen), arco coseno (arc cos), arco tangente (arc tg), arco cotangente (arc cotg), arco secante (arc sec) y arco cosecante (arc cosec).

Ejemplo:

a = senα

α = arc sen a

Es decir, si a es el valor numérico del seno de α, es el arco (o el ángulo) que corresponde al valor a del seno.

Observaciones

Arco seno. Como -1 senα 1, arc sen sólo está definido para valores comprendidos entre -1 y 1. Como senα = sen (180º – α), si a = senα , α = arc sen a, pero también 180º – α = arc sen a.
Arco coseno. El arco coseno sólo está definido para valores comprendidos entre -1 y 1. Como cosα = cos (-α) si a = cosα, se tiene α= arc cos a y -α = arc cos a.
Arco tangente. Como tgα = tg (180º + α), si a = tgα , α = arc tg a y 180º + α = arc tg a.

¿Cómo debe interpretarse el valor de la tangente de un ángulo recto?

La tangente de un ángulo resulta de dividir su seno entre su coseno. Si el ángulo mide 90º, la división anterior es 1/0=. Físicamente ninguna magnitud es igual a infinito, así que en cada caso deberá interpretarse el resultado de forma coherente. Por ejemplo, si la pendiente de una rampa fuera infinito debería entenderse que está dispuesta de forma vertical, de modo que todo movimiento sobre ella tiene una componente horizontal nula.

Inclinación

Si la pendiente de una recta es el ángulo que forma dicha recta con el plano horizontal, se define la inclinación como el ángulo entre ésta y el plano vertical de referencia. Si bien el plano horizontal es conocido, aquel que tiene todos sus puntos a la misma altura, los planos verticales pueden ser infinitos, ya que un plano es vertical cuando corta perpendicularmente al horizontal. Por eso es necesario referirse a uno determinado, que puede ser Norte-Sur, la dirección de una calle, etc.

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