El número infinito

De modo incorrecto mucho piensan que infinito es un número, pero en realidad no lo es porque no se puede medir. Por lo tanto es un concepto, una idea de algo que no tiene terminación.

En el transcurso de la historia muchos filósofos y matemáticos han tratado de definir el significado de este término. Fue en la Grecia Clásica donde aparecieron las primeras concepciones de infinito: lo denominaron como “lo ilimitado”, “lo indefinido”, entre otras acepciones. Aristóteles concibió dos clases de infinito, ya que no imaginaba que pudiese describirse por una sola noción.
En el año 1655 el matemático John Wallis representó el infinito con un símbolo, en sus obras. Se estima que la forma de dicho símbolo, proviene de la curva lemniscata (que significa cinta).

Evolución del símbolo infinito

Los romanos usaban la M para representar al número 1000, que consideraban un número muy grande. El matemático Bernhard Nieuwentijt, utilizó una m minúscula para representar al infinito y John Wallis le dio la forma actual a dicho símbolo.

M → m →

Es muy importante no confundir al infinito con un número grande; porque actualmente podemos indicar la posición de un número real pero no del infinito.

Usos del concepto

En matemática, el concepto de infinito se utiliza en geometría, análisis matemático y teoría de conjuntos. Desde la primaria se introduce su concepto, se comienza por comprender qué son los conjuntos finitos e infinitos, dando las bases para el estudio de sucesiones infinitas. Para comprender qué son las sucesiones infinitas, primero es necesario saber qué es una sucesión.

Sucesión: es un conjunto de elementos que se ordenan de cierta manera.

Términos de una sucesión

Los términos de una sucesión son denominados a1, a2, a3,…,an.
En la sucesión de los números naturales al cuadrado tenemos: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,…n2
Los términos son:

El subíndice, indica el lugar que ocupa el término. Es decir, el término a1 ocupa el primer lugar, el a2 el segundo lugar y así sucesivamente.

a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16

an = n2 Término general o término enésimo.

La sucesión {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,…} se obtuvo de la siguiente manera:

12 = 1
22 = 4
32= 9
42= 16
52= 25
62= 36
72= 49
82= 64
92= 81

Son muchos los usos del concepto matemático de infinito, pero en todos ellos se destaca la complejidad y abstracción de su significado.

Podemos utilizar una expresión que nos permita representar esta sucesión. En este caso es n2, siendo éste el término general de la sucesión. Al ir reemplazando a “n” por los números naturales, consecutivamente, obtenemos la sucesión.

“No todas las sucesiones tienen término general o enésimo.”

Sucesiones finitas e infinitas

Las sucesiones finitas son las que tienen un número limitado de términos y las infinitas son las que no tienen un término final.

Sucesión finita: 2, 4, 6, 8, 10.

Sucesión infinita: 1, 2, 3, 4, 5…

Los puntos suspensivos (…), indican que la sucesión es infinita, que continúa. En el ejemplo anterior se podría decir que es la sucesión de los números naturales.

Los números naturales son los que usamos para contar,
el primer número natural es el 1.

En las sucesiones no se usa el símbolo , sino el concepto de lo que significa que un conjunto no tenga final.
Otro uso del concepto de infinito, y en este caso, también de su símbolo, se da en los intervalos reales.

¿Sabías qué...?
El matemático François Viète (1540 – 1603) fue el primero en utilizar letras para designar las incógnitas y constantes.

Intervalos reales

Los intervalos reales son subconjuntos de los números reales. Estos pueden ser: cerrados, semicerrados o semiabiertos y abiertos.

Semicerrados o semiabiertos son expresiones semejantes.

Dentro de los intervalos semicerrados, semiabiertos o abiertos, se puede encontrar el uso del símbolo .

Ejemplos:
Intervalo semicerrado o semiabierto: [1,9) , [1,+) , (-,4]

En esos tres intervalos observamos como [1,+) y (- ,5] tienen escrito al infinito con un signo positivo y también con negativo. Eso ocurre porque los intervalos se pueden representar sobre la recta real, la misma tiene un punto medio (0) y a partir de allí se ubican los números positivos y negativos. Nunca se puede colocar el último número de cada extremo, por eso a la izquierda se halla el símbolo del infinito negativo y a la derecha el del infinito positivo.

Toda recta, tiene longitud infinita.

Recta real.

También se puede encontrar un intervalo que representa a todos los números reales, el (-,+).

Representación de intervalos que incluyen en la recta numérica

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