Cálculo de áreas mediante ecuaciones

Área es la medida de una superficie, es decir, en ocasiones se utilizan como sinónimos, pero estrictamente no lo son. En otras palabras, la superficie es una región de un plano y el área es un número acompañado de una unidad de medida. Para el cálculo de áreas se utilizan las fórmulas correspondientes y se aplican determinados procedimientos matemáticos.

Fórmulas de áreas y perímetros de figuras poligonales.

Antes de comenzar a resolver ejercicios y problemas que impliquen cálculos de áreas es indispensable repasar las fórmulas correspondientes y revisar en qué unidades se pueden medir. Si deseas repasar dicho contenido puedes ingresar a la Enciclopedia de Matemática: Geometría.

CÁLCULO DE ÁREAS

Cuando se tienen los datos numéricos para calcular el área de una figura simplemente se realizan los reemplazos correspondientes en las fórmulas y se obtienen los resultados. Ejemplos:

Calcular el área de la siguiente figura:

En primer lugar se debe identificar qué fórmula hay que aplicar.

Como se trata de un rectángulo la fórmula es A=a⋅b ó A=b⋅h.

A=a⋅b significa que se multiplica el largo (a) por el ancho (b).

A=b⋅h representa que se multiplica la base (b) por la altura (h).

Ambas expresiones significan lo mismo en cuanto a operaciones matemáticas se refiere.

Sustitución de datos en la fórmula:

A=a⋅b

A= 6 cm ⋅ 4 cm = 24 cm (observar que la unidad de área es igual a la longitud al cuadrado)

 

Hallar el área de un triángulo cuya base mide 4 m y su altura 3,75 m.

Primero se dibuja la figura para identificar qué datos brinda el enunciado.

DATOS:

b = 4 m

h = 3,75 m

Se escribe la fórmula correspondiente:

A=b·h2

Y finalmente se reemplazan los datos en la fórmula:

A= 4 m · 3,75m2= 15 m22=7,5 m2

Respuesta: el área es 7,5 m2.

Las longitudes se pueden medir en mm, cm, m, etc. Las áreas en cambio son unidades al cuadrado: mm2, cm2 y mentre otras.

PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CON ECUACIONES

Este tipo de problemas requiere conocer las fórmulas geométricas para cálculo de áreas y perímetros. Además, se necesita tener práctica con la resolución de ecuaciones y comprender el lenguaje coloquial.

EJEMPLOS 1: 

El perímetro de un terreno rectangular es de 250 m. Si el largo es el triple de su ancho:

a) ¿Cuáles son sus dimensiones?
b) ¿Cuál es el área del terreno?

El primer paso es esquematizar y escribir los datos:

DATOS:

P= 250 m
ancho = x
largo = 3x

a) Para hallar sus dimensiones es necesario conocer el valor de x. Como se tiene el dato del perímetro, en primer lugar se debe utilizar la fórmula de perímetro de un rectángulo:

P = 2a + 2b

Es decir:

P = 2 · largo + 2 · ancho

250 m = 2 · 3x + 2 ·x

250 m = 6x + 2x

250 m = 8x

31,25 m = x

Al escribir se deja la incógnita del lado izquierdo:

x = 31,25 m

Como la x es igual al ancho y 3x es el largo, ya se pueden obtener ambas medidas:

largo= 3x= 3·31,25 m= 93,75  m

largo= 93,75  m

ancho = 31,25 m

b) Con los datos obtenidos en a) se calcula el área del terreno:

A= a·b

A = 93,75 m · 31,25 m

A ≅ 2929,69 m2

El símbolo ≅ significa “aproximadamente” y se utiliza cuando la respuesta ha sido redondeada.

EJEMPLO 2: 

Calcular el área de un rectángulo sabiendo que uno de sus lados mide 3 metros menos que el otro y su perímetro es de 38 metros.

En primer lugar se realiza el esquema y se extraen los datos del enunciado:

DATOS:

P = 38 m
ancho = x -3 m
largo = x

En segundo lugar se deben calcular sus dimensiones:

38 m = x + x – 3 m + x + x -3 m

38 m = 4x -6 m

38 m + 6 m = 4x

44 m = 4x

44 m : 4 = x

x = 11 m

Medidas de las dimensiones:

largo = x = 11 m

largo = 11 m

ancho = x – 3m = 11m -3 m = 8 m (se elige a este dato como ancho dado que su medida es menor a la del otro lado).

ancho = 8 m

Finalmente se calcula el área:

A = a · b

A = 11 m · 8 m = 88 m2

A = 88 m2

En los ejemplos anteriores la resolución se hacía por medio de ecuaciones lineales, pero podría suceder que se requiera resolver ecuaciones cuadráticas, como en el caso del siguiente ejemplo:

EJEMPLO 3: 

Calcular la medida de la base y la altura del paralelogramo si su área es de 75 m2. Su base mide el triple que su altura.

Primero se esquematiza y se escriben los datos:

DATOS:

área = 75 m2
base = 3x
altura= x

Se reemplazan los datos en la fórmula del área de un paralelogramo:

A = b · a

75 m2 = 3x · x

75 m2 = 3x2

75 m2 : 3= x2

25 m2= x2

x=25 m2

x= 5 m

Dimensiones:

h = x

h = 5 m

b = 3x = 3· 5m = 15 m

b = 15 m

a practicar lo aprendido

  1. Si el perímetro de un rectángulo es 50 m y la base es 5 m más larga que la altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Cuál es su área?
  2. Un triángulo equilátero de lado x tiene un perímetro de 30 m. Si su altura mide 11 m, ¿cuál es su área?
  3. Calcular la medida de la base y la altura del paralelogramo si su área es de 8 cm2.

RESPUESTAS

  1. 150 m2
  2. 110 m2
  3. h= 2 cm ; b = 4 cm
¿Sabías qué...?
El símbolo para representar raíz cuadrada surgió en 1525, antes se expresaba mediante palabras “raíz de…”. Christoph Rudolff  ideó este símbolo   porque se asemejaba a una r estilizada.

 

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