Factorización

La factorización o descomposición en factores es un recurso que se utiliza regularmente en álgebra. La descomposición en factores (algebraicos) es un procedimiento matemático que se puede hallar por inspección en algunos casos, pero para la mayoría de ellos se requiere conocer propiedades específicas.

 

Las expresiones algebraicas se pueden factorizar, los polinomios son un tipo de éstas, por lo tanto también tienen la posibilidad de ser factorizados.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS
2x + 3y(y-1) – 8y2 A(x)=x4+3x3-5x+8
3x+ 9 B(x)=3x+ 9
a + 5a -a2 C(x)=2x

 

Existen polinomios de más de una variable, pero no se trabajará con ellos en esta instancia.

Existen casos de factoreo que permiten descomponer expresiones algebraicas de acuerdo a sus características particulares.

factor común

El factor común es uno de los casos más utilizados, dado que es el primero que suele aprenderse y se aplica en numerosa cantidad de situaciones.

EJEMPLO 1:

Hallar el factor común de las siguiente expresión algebraica: a2+a

Los signos positivos y negativos permiten identificar los términos de una expresión:

a2+a Por lo tanto, en este caso se observan dos términos.

En ambos términos se visualiza la letra a, en consecuencia, ella es el factor común.

Resolución

Sabiendo que a es el factor común se multiplica a toda la expresión por \fn_cm \small \frac{a}{a} que es lo mismo que multiplicar por 1, no la modifica.

El divisor a que está fuera del paréntesis puede escribirse dentro de él:

Ahora se puede dividir cada fracción y queda:

Otra forma de resolver

Se realiza el pensamiento inverso la división. Al saber que a es factor común porque se encuentra en ambos miembros de a2+a, se escribe:

Y luego se colocan dentro del paréntesis los valores que al multiplicar por a dan como resultado a2+a.

a·a=a2

a·1=a

Entonces se obtiene el resultado final:

EJEMPLO 2:

Hallar el factor común de la siguiente expresión algebraica: 6x +3

En este ejercicio, el factor común es 3, dado que el número tres divide exactamente tanto al 6 como al 3. Entonces:

Extracción del factor común 3:

3(      )

Para calcular qué información debe colocarse dentro del paréntesis se realiza la división de la expresión algebraica por 3:

6x:3 +3:3= 2x+1

Escritura dentro del paréntesis de la expresión obtenida al realizar la división:

3(2x+1)

FACTOR COMÚN EN POLINOMIOS

Del mismo modo que con los ejemplos anteriores, se pueden factorizar polinomios, en dicho caso se intenta reducirlos para aplicar fórmulas o métodos específicos para ellos.

EJEMPLO 3

Factorizar el polinomio P(x)=x3+2x2+x

Se observa que en todos los términos se encuentra la letra x, por lo tanto se extraerá factor común x:

P(x)=x(x2+2x+1)

Se debe seguir factorizando hasta que ya no sea posible, por lo tanto, falta realizar la factorización de x2+2x+1.

x2+2x+1 es un trinomio y existen varios caminos para factorizarlo:

  • Hallar sus raíces con la fórmula de Bhaskara y con ellas escribirlo mediante la expresión a(x-x1)(x-x2), donde a es el coeficiente principal; x1, x2 son las dos raíces.
  • Resolverlo mediante el procedimiento para trinomios de la forma x2+bx+c.
  • Identificar si es un trinomio cuadrado perfecto completo o incompleto, en dicho caso proceder a aplicar el procedimiento adecuado.

x2+2x+1 es un trinomio cuadrado perfecto dado que es el resultado de un cuadrado de binomio.

CUADRADO DE BINOMIO: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Es decir:

a2 + 2ab + b=(a + b)2

Como a=x y b=1:

x2+2x+1 = (x+1)2

Para finalizar se escribe la factorización completa de P(x):

P(x)=x(x2+2x+1)
P(x)=x(x+1)2
P(x)=x(x+1)(x+1)

Por lo tanto:

P(x)=x3+2x2+x = x(x+1)(x+1)

El método de Ruffini también permite factorizar polinomios. Puedes revisar ese contenido y repasar conceptos relacionados en Artículos destacados.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

  1. Hallar el factor común de las siguientes expresiones algebraicas:
    a) 6x2-3x
    b) ay – by
    c) x2y2-xy3
  2. Factorizar los siguientes polinomios:
    a) P(x)= x2+7x+12
    b) P(x)= x3+9x2+20x
    c) P(x) = x3+8x2+15x

RESPUESTAS

1.
a) 3(2x2-1)
b) y (a – b)
c) xy2(x – y)

2.
a) P(x)= (x+3)(x+4)
b) P(x)= x(x+4)(x+5)
c) P(x)= x(x+3)(x+5)

¿Sabías qué...?
El teorema del binomio adjudicado a Isaac Newton, del cual se deriva la fórmula del cuadrado de un binomio, fue descubierto por primera vez por el matemático persa Al-Karaŷí alrededor del año 1000.

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