Ángulos entre paralelas. Resolución mediante ecuaciones

En geometría, al cortar dos rectas paralelas con una recta secante quedan determinados varios ángulos. Éstos se ajustan a algunas propiedades que permiten realizar tanto cálculos numéricos entre ellos como cálculos algebraicos. 

RECTA

Propiedades de la recta

  • La recta es la menor distancia entre dos puntos.
  • La recta es infinita en longitud.
  • Dos puntos determinan una recta.
  • Por un punto pueden pasar infinitas rectas.

Tipos de rectas

Cuando las rectas se encuentran en un mismo plano se denominan coplanares. Éstas pueden ser:

Secantes: se cortan en un punto, es decir, entre ellas existe un punto de intersección.

Paralelas: no poseen punto de intersección entre ellas. En otras palabras, la intersección entre ellas es el conjunto vacío.

Perpendiculares: se intersecan en un punto y dicha intersección determina cuatro ángulos rectos (90°).

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS

Cuando dos rectas se intersecan se determinan cuatro ángulos, al compararlos de a pares pueden ser:

  • Adyacentes (suman 180°). Son los pares: α,β; γ,δ.
  • Opuestos por el vértice (tienen la misma amplitud). Son los pares α,δ; β,γ.
ÁNGULOS ADYACENTES

Estos ángulos son consecutivos y suplementarios. Son consecutivos porque son contiguos: comparten un mismo vértice y un lado en común. Son suplementarios porque entre ambos forman un ángulo llano, es decir un ángulo de 180°.

 

ángulos entre DOS paralelas Y UNA SECANTE

De la figura anterior se observa que:

  • Las rectas a y b son paralelas.
  • c es secante a la recta a.
  • c es secante a la recta b.

Los ángulos se representarán con números para mejor comprensión, pero en la sección de ejercicios se utilizarán las letras griegas α, β, γ, etc.

Ángulos internos:

Son aquellos comprendidos entre las rectas a y b: \hat{3}, \hat{4},\hat{5},\hat{6}.

Ángulos externos:

Son aquellos que se observan en la región externa a las rectas a y b:  \hat{1}, \hat{2}, \hat{7}, \hat{8}.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

ALTERNOS

Son pares de ángulos que se ubican en semiplanos distintos con respecto a la transversal (secante). Éstos:

  • Son congruentes, es decir, tienen la misma amplitud.
  • No son adyacentes.

Alternos internos 

Alternos externos 

CONJUGADOS

Están ubicados en el mismo semiplano respecto de la transversal. Éstos:

  • Suman 180° (son suplementarios).
  • No son adyacentes.

Conjugados internos

Conjugados externos 

 

Correspondientes 

Son pares de ángulos que se encuentran ubicados en el mismo semiplano con respecto a la transversal. Éstos:

  • Tienen la misma amplitud. Es decir, son congruentes.
  • No son adyacentes.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Dadas a//b (a paralela a b). Hallar los ángulos α,β y γ:

Se comienza en orden alfabético (alfabeto griego) para una resolución más organizada:

\hat{\alpha } y 50° son adyacentes, es decir, entre ambos suman 180°. Entonces:

\hat{\alpha } + 50°= 180°
\hat{\alpha } = 180°- 50°
\hat{\alpha } = 130°

Se puede ir escribiendo en el gráfico los valores a medida que se van obteniendo para visualizar mejor la ubicación de los nuevos datos y si éstos son coherentes o no. Por ejemplo, \hat{\alpha } es un ángulo obtuso, por lo tanto sus valores deben ser mayores que 90° y menores que 180°. 130° cumple con esta condición.

Para hallar \hat{\beta } se puede realizar el siguiente análisis previo:

  • \hat{\beta } y \hat{\alpha } son adyacentes.
  • 50° y \hat{\beta } son opuestos por el vértice

Se realizará el procedimiento para ambos casos, aunque con una de las dos opciones es suficiente para hallar la respuesta.

Como \hat{\beta } y \hat{\alpha } son adyacentes:

β^+α^=180°β^ +130° =180°β^=180°130°β^=50°

Los ángulos 50° y \hat{\beta } son opuestos por el vértice, por lo tanto son iguales, eso significa que:

β=50°

La última incógnita a hallar es el valor de \hat{\gamma }:

\hat{\beta } y \hat{\gamma }  suman 180° por ser conjugados externos.

Como ya se tiene el valor de \hat{\beta } = 50°, se reemplaza en la igualdad:

β^+γ^=180°50° + γ^ = 180°γ^ = 180°  50°γ^ = 130°

Respuestas:

α^=130°β^= 50°γ^ =130°

 

EJEMPLO 2

Hallar el valor de los ángulos \hat{\alpha } y \hat{\beta }.

a//b

Cuando los ejercicios incluyen ecuaciones, primero se debe hallar el valor de x y luego obtener las amplitudes de cada uno de los ángulos solicitados.

\hat{\alpha } y \hat{\beta } son ángulos correspondientes, por lo tanto sus amplitudes son iguales. El procedimiento para resolver este ejercicio es el siguiente:

α^ = β^5x4°=4x+6°5x4x=6°+4°x=10°

Se reemplaza el valor de x en cada ecuación:

α^=50° α^=50° 4°α^=46° β^=4·10°+6°β^=40°+6°β^=46°

El resultado es lógico, dado que al ser correspondiente ambos ángulos deben ser iguales.

EJEMPLO 3:

Hallar el valor de los ángulos \hat{\alpha } y \hat{\beta }.

a//b

Los ángulos dados son conjugados externos, por lo tanto suman 180°.

a practicar lo aprendido

  1. Hallar los ángulos \hat{\beta } y \hat{\gamma }.
    a)Dado \hat{\alpha } = 140°.

    a//b

    b) Dado \hat{\alpha } = 135°.

  2. a//b
  3.  Hallar las amplitudes de los ángulos dados.
    a)

    a//b

    b)

    a//b

 

RESPUESTAS

1.
a)

β^=40°γ^= 140°

b)

β^=45°γ^ =45°

2.
a)

α^ =β^ =60°

b)

α^=β^ =120°
¿Sabías qué...?
El símbolo = fue inventado por Robert Recorde en 1557. Utilizó esa representación porque le parecía que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.

 

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