Operaciones básicas de los números naturales y sus propiedades

La matemática está constituida por numerosos tipos de operaciones, sin embargo, existen 4 operaciones básicas que todo individuo debe conocer. Estas operaciones son: la suma, la resta, la multiplicación y la división. A continuación estudiaremos las propiedades de dichas operaciones.

Operaciones básicas de la matemática.
Operaciones básicas de la matemática.

Propiedades de la suma

  • Propiedad asociativa: en esta propiedad, al sumar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden en el que se agrupan los sumandos.

{\color{Red} \left ( 2+7 \right )}+3={\color{Red} 9}+3=\mathbf{12}

2+{\color{Red} \left ( 7+3 \right )}=2+{\color{Red} 10}=\mathbf{12}

Así que:

\left ( 2+7 \right )+3=2+\left ( 7+3 \right )=\mathbf{12}

  • Propiedad conmutativa: en esta propiedad, al sumar dos o más números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los sumandos, es decir, el orden de los sumandos no altera el resultado.

5+8=\mathbf{13}

8+5=\mathbf{13}

Así que:

5+8=8+5=\mathbf{13}

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es el cero. La suma de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

9+0=\mathbf{9}

Símbolos de suma y resta.
Símbolos de suma y resta.

Propiedades de la resta

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la resta es el cero. La resta de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

15-0=\mathbf{15}

  • Elemento simétrico: restar un número con su opuesto, es decir, un número con el mismo valor, produce como resultado el elemento neutro de la resta 0.

15-15=\mathbf{0}

Propiedades de la multiplicación

  • Propiedad asociativa: al multiplicar tres o más números, el resultado es el mismo sin importar como se agrupen o efectúen los factores.

{\color{Red} (3\times4 )}\times 5={\color{Red} 12}\times 5=\mathbf{60}

3\times {\color{Red} (4\times 5)}=3\times {\color{Red} 20}=\mathbf{60}

Entones:

(3\times4 )\times5=3\times(4\times5)=\mathbf{60}

  • Propiedad conmutativa: al multiplicar dos números, el resultado es el mismo sin importar el orden de los multiplicandos, es decir, el orden de los factores no altera el producto.

9\times7=\mathbf{63}

7\times9=\mathbf{63}

Entonces:

9\times7=7\times9=\mathbf{63}

  • Elemento neutro: el elemento neutro de la multiplicación es el uno. La multiplicación de cualquier número y uno da como resultado el mismo número.

18\times1=\mathbf{18}

  • Propiedad distributiva: al multiplicar un número por una suma o una resta, se multiplica el número por cada uno de los elementos contenidos en el paréntesis y luego se suma o resta según sea el caso.

5\times (3{\color{Red} +}4)=(5\times3){\color{Red} +}(5\times4)=15+20=\mathbf{35}

6\times(5{\color{Red} -}2)=(6\times5){\color{Red} -}(6\times2)=30-12=\mathbf{18}

Tablas de multiplicar.
Tablas de multiplicar.

Propiedades de la división

  • Cuando se dividen dos números naturales o enteros, el resultado no siempre es otro número natural o entero, es decir, la división no es una operación interna de este tipo de números.

10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}

  • Cuando se intercambian de lugar el divisor con el dividendo no se obtiene el mismo resultado, es decir, la división no es una operación conmutativa.

10\div 4\neq 4\div 10

Porque:

10\div 4=\boldsymbol{\mathbf{}2,5}

4\div 10=\mathbf{0,4}

  • Como consecuencia de que no existe ningún cociente que multiplicado por cero sea igual al dividendo, no se puede dividir por dicho número.
  • Una división es exacta si el dividendo es igual al divisor por el cociente, y es entera si el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

→ División exacta

Donde:

20 = dividendo

4 = divisor

5 = cociente

0 = resto

 

→ División entera

Donde:

19 = dividendo

5 = divisor

3 = cociente

4 = resto

¡A practicar!

  • Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades necesarias:

a) 3\times(6+5)

b) 7+0

c) 6\times(3\times2)

d) 12\div 4

e) 24\times1

f) 35-35

g) 10+15

h) (1+2)+3

i) 8\times(4-2)

j) 15\div 3

k) 18\times1

l) 24-0

m) 9+(8+5)

n) 25\div 4

o) (8\times1)\times4

 

Soluciones

a) 33 | b) 7 | c) 36 | d) 3 | e) 24 | f) 0 | g) 25 | h) 6 | i) 16 | j) 5 | k) 18 | l) 24 | m) 22 | n) 6, resto = 1 | o) 32