Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas son aquellas en las cuales al menos una de sus incógnitas se encuentra elevada al cuadrado, siendo éste el mayor grado que pueden tener. Este tipo de ecuaciones se requieren no solo en aplicaciones del campo de la matemática, también son de gran utilidad para la resolución de problemas de física, entre otros.

La forma típica de las ecuaciones de segundo grado es:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Siendo x la incógnita; a, b y c los coeficientes. La incógnita es un valor variable, mientras que los coeficientes son constantes y a≠0 (a debe ser distinta a cero).

Algunas ecuaciones cuadráticas son fácilmente reconocibles, mientras que otras requieren algunas transformaciones algebraicas para identificarlas.

Ejemplos

Ecuación cuadrática con a, b y c distintos de cero:

$2 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Ecuación cuadrática con b=0:

$3 x^{2} - 1 = 0$

Ecuación cuadrática con c=0:

$x^{2} + 4 x = 0$

En los tres ejemplos anteriores, la ecuación cuadrática se obtuvo al igualar a cero un trinomio de segundo grado, ya sea completo o incompleto.

TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Es un polinomio de grado dos que consta de tres monomios. Ej:

$P (x) = a x^{2} + b x + c, s i e n d o a \neq 0 .$

Si ningún coeficiente tiene como valor cero, la fórmula es completa. Es incompleta en los siguientes casos:

$a x^{2} + c = 0 (b = 0) a x^{2} + b x = 0 (c = 0) a x^{2} = 0 (b = c = 0)$

En caso de que la ecuación no esté presentada en la forma típica, se deben realizar operaciones algebraicas, por ejemplo:

$x^{2} = 1$

Se realizan las transformaciones necesarias para que del lado derecho de la igualdad quede cero:

$x^{2} - 1 = 0$

De este modo se puede identificar que dicha ecuación es cuadrática, pero su coeficiente b=0.

Otro ejemplo que requiere transformaciones aritméticas:

$4 x^{2} + 8 = 2 x^{2} + x$

Se llevan los términos de la derecha hacia el lado izquierdo, cambiando sus signos:

$4 x^{2} + 8 - 2 x^{2} - x = 0$

Se agrupan términos con la misma parte literal y mismo grado:

$4 x^{2} - 2 x^{2} - x + 8 = 0$

Se resuelve:

$2 x^{2} - x + 8 = 0$

En esta oportunidad se observa un trinomio completo de segundo grado.

Por último, puede ocurrir que a simple vista no se observen términos cuadráticos, pero al resolver la siguiente ecuación el resultado será un trinomio de segundo grado:

$(x + 2) (x - 3) = 5$

Se resuelve la multiplicación de los dos binomios:

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = 5 x^{2} - x - 6 - 5 = 0 x^{2} - x - 11 = 0$

Al escribir la ecuación cuadrática en la forma típica se pueden identificar sus coeficientes y resolver por medio de la fórmula resolvente o de Bhaskara.

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Las ecuaciones cuadráticas incompletas se resuelven de manera sencilla, despejando la incógnita, x.

Existen algunas reglas que permiten trabajar con ecuaciones. Las reglas simplificadas de transposición de términos son las siguientes:

Si un término está sumando en un miembro de la igualdad, pasa al otro restando y viceversa. Por ejemplo:
$4 x + 5 = - 3 x^{2} + 9 4 x + 5 + 3 x^{2} = 9$
Si un término se encuentra multiplicando en un miembro de la igualdad, pasa al otro dividiendo y viceversa. Por ejemplo:
$3 x = 6 x = 6 : 3$
Si un término está elevado a una potencia de un lado de la igualdad, esa potencia pasa al otro lado como una raíz cuyo índice es la potencia y viceversa. Por ejemplo:
$x^{3} = 8 x = \sqrt[3]{8}$

Ejemplo 1:

$x^{2} - 4 = 0 x^{2} = 4 | x | = \sqrt{4} | x | = 2 x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Cuando una potencia par se pasa al otro miembro de la igualdad como raíz, hay dos valores de x que resuelven la igualdad. Por ello se utiliza el módulo, |x|.

Ejemplo 2:

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Una forma sencilla de resolver esta ecuación es extraer factor común x:

$x (3 x + 2) = 0$

Para que el producto x(3x+2) sea igual a cero, uno de sus factores debe ser cero. Entonces, la ecuación anterior es válida si:

$x = 0, 3 x + 2 = 0$

De este modo se pueden hallar los dos valores de x que satisfacen la ecuación:

$x_{1} = 0$

(no se requieren cálculos)

Para x₂ se debe despejar la segunda ecuación (segundo factor).

$3 x + 2 = 0 3 x = - 2 x = - \frac{2}{3} x_{2} = - \frac{2}{3}$

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Fórmula resolvente o de Bhaskara

$x_{1}, x_{2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

La fórmula de Bhaskara permite obtener las raíces de una ecuación de segundo grado. De la aplicación de la fórmula puede ocurrir que el resultado sea:

Dos raíces reales distintas.
$(b^{2} - 4 a c > 0)$
Dos raíces reales iguales.
$(b^{2} - 4 a c = 0)$
No tenga raíces reales.
$(b^{2} - 4 a c < 0)$

Ejemplo 3: Resolver la ecuación

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Primero se identifican los coeficientes a, b y c, siendo éstos:

$a = 2 b = 5 c = - 3$

Se reemplaza en la fórmula:

$x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2} x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{4} x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm 7}{4} x_{1} = \frac{- 5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} x_{2} = \frac{- 5 - 7}{4} = \frac{- 12}{4} = - 3$

Por lo tanto:

$x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = - 3$

También se puede utilizar la fórmula de Bhaskara para ecuaciones cuadráticas incompletas.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Resolver las siguientes ecuaciones:

$1) x^{2} + 6 x + 8 = 0 2) x^{2} - 25 = 0 3) x^{2} = 2 x 4) x^{2} + 2 x - 8 = 0$

RESPUESTAS

$1) x_{1} = - 2, x_{2} = - 4 2) x_{1} = - 5, x_{2} = 5 3) x_{1} = 0, x_{2} = 2 4) x_{1} = 2, x_{2} = - 4$

¿Sabías qué...?

El matemático y astrónomo Bhaskara nació en la India en el siglo XII y encontró respuestas a las resoluciones cuadráticas varios siglos antes que matemáticos de Europa.