Ángulos en triángulos. Resolución mediante ecuaciones.

Las ecuaciones tienen gran cantidad de aplicaciones, una de ellas es en la resolución de problemas geométricos. Cuando en dichas situaciones problemáticas los datos están expresados mediante incógnitas, se deben utilizar no sólo ecuaciones, sino también el conocimiento de las propiedades de las figuras dadas, las relaciones entre los ángulos, etc. Los ángulos en triángulos es uno de los primeros temas a abordar.

Antes de empezar con la resolución de problemas se hará un breve repaso de la clasificación de triángulos, ya que es el conocimiento básico que hay que tener para poder abordar el tema. Luego se desarrollarán las estrategias para resolverlos.

Los triángulos pueden clasificarse según sus ángulos y según sus lados, ésta última clasificación es la que debe saberse muy bien para poder resolver los problemas de este tipo.

clasificación de triángulos según sus lados

• Equiláteros: tienen sus tres lados iguales.
• Isósceles: poseen dos lados iguales y un lado desigual.
• Escalenos: cuentan con los tres lados desiguales.

Observar la siguiente figura, en donde se indican los lados iguales y desiguales de tres triángulos, siendo el caso (a)  un equilátero, el (b) un isósceles y el (c) un escaleno.

En forma complementaria a lo antedicho, existen ciertas reglas que relacionan ángulos interiores y exteriores. Éstas sirven para poder hallar las respuestas en algunos problemas de resolución de triángulos.

ángulos interiores y exteriores de un triángulo

En el siguiente triángulo abc se pueden apreciar todos sus ángulos:

reglas para la resolución de triángulos

Regla 1: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.
Regla 2: La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es igual a 360°.

Regla 3: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo.

Regla 4: La suma entre un ángulo interior y el exterior contiguo a él es 180°, dado que dicho ángulo es adyacente. Es decir, suplementario y consecutivo.

ejERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1: 

En el triángulo abc de la figura se conocen los siguientes datos:    . Hallar los ángulos interiores α,β, ε y sus tres ángulos exteriores μ, δ,  λ.

Como se tienen los datos de los tres ángulos interiores, se puede aplicar la regla 1, entonces:

Una vez hallado el valor de “x” se tiene que reemplazar en las ecuaciones de α y β para hallar las amplitudes de dichos ángulos:

Se puede verificar si se desea, para corroborar que se han realizado bien todos los pasos y cálculos anteriores:

94° + 56° + 30° = 150° + 30° = 180°

Aún quedan por calcular los ángulos exteriores. Se lo hará mediante la regla 4:

Análogamente como se hizo con los ángulos interiores, se puede verificar:

86° + 124° +150° = 210° + 150° = 360°

EJERCICIO 2: 

En el siguiente triángulo isósceles se sabe que  . Hallar los ángulos internos α, ε y β.

Al ser un triángulo isósceles tiene la propiedad de que “los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales”. El ángulo α es opuesto al lado ac y el ángulo ε es opuesto al lado ab. Como ac=ab, entonces α=ε.

α=ε

Luego se deben calcular los valores de los tres ángulos interiores, reemplazando la incógnita por el valor de x obtenido.

Para hallar β se utilizará la regla 1, queda:

A PRACTICAR LO APRENDIDO

1. En el siguiente triángulo escaleno abc hallar el valor de los ángulos interiores siendo  .

2. En el siguiente triangulo isósceles abc hallar los ángulos exteriores, siendo .

3. Hallar los ángulos interiores del triángulo escaleno abc, siendo .

RESPUESTAS