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Sistemas de ecuaciones lineales: aplicación

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es aquel cuyas soluciones, si las tiene, satisfacen al mismo tiempo a las dos ecuaciones que conforman dicho sistema. Para resolver este tipo de ejercicios se utilizan varios métodos: el de reducción, el de sustitución, el gráfico y el de determinantes. A continuación se desarrollarán las aplicaciones de este tema a situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

Una ecuación lineal con dos incógnitas se resuelve mediante infinitas soluciones, por ejemplo:

y=3x+1

Para x=0, y=1; x=1, y=4; x=-1, y = -2

Para cualquier valor por el que se reemplace a x se obtendrá un valor asociado de y. De allí se desprende que:

x es la variable dependiente.
y es la variable independiente.

SISTEMAS DE ECUACIONES

Cuando se tienen dos ecuaciones de primer grado y dos incógnitas se presenta un sistema de ecuaciones. Por ejemplo:

$\{\begin{cases} 3 x - y = 4 \\ x + 2 y = - 2 \end{cases}$

Este tipo de sistemas de ecuaciones requiere que las incógnitas de una ecuación sean las mismas que de la otra. Es decir:

$\{\begin{cases} 4 a + 5 b = 1 \\ a + 2 b = 0 \end{cases}$

Es un sistema de ecuaciones.

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 10 \\ 4 a - b = 9 \end{cases}$

No es un sistema de ecuaciones.

TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser:

Compatible determinado (tiene una única solución).
Compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).
Incompatible (no tiene solución).

Representaciones gráficas

En el sistema compatible determinado la solución es el punto de intersección de las dos rectas.

En el sistema compatible indeterminado existen infinitas soluciones porque ambas rectas son semejantes. Al graficarlas quedan ubicadas una sobre la otra.

En el sistema incompatible las dos rectas son paralelas, por ello nunca tendrán punto de contacto, es decir, no tendrán solución.

DIFERENCIA ENTRE FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN LINEAL

Función lineal: es una función polinómica de primer grado y se escribe con la notación f(x)=mx+b
Ecuación lineal: es una igualdad, también denominada ecuación de primer grado, que puede contener una o más variables elevadas a la primera potencia. Ejemplos:

3x+5 = 0 (ecuación lineal con una incógnita)

3x+2y = 4 (ecuación lineal con dos incógnitas)

Se desarrollará a continuación un ejemplo de resolución de sistema de ecuaciones por el método de igualación. Si deseas repasar los métodos de reducción y sustitución puedes ingresar al artículo Sistemas de ecuaciones. Si te interesa conocer el método de determinantes puedes revisar el contenido de Regla de Cramer, método ideado por el matemático Gabriel Cramer.

No obstante, cualquiera de los métodos es válido para la resolución de problemas y ejercicios.

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Dado el siguiente sistema de ecuaciones, hallar los valores de x e y.

$\{\begin{cases} 2 x + y = 4 \\ 3 x + y = 5 \end{cases}$

Para resolver este sistema por igualación, primero se despeja una de las incógnitas, en este caso es más sencillo despejar la y:

y=4-2x

y=5-3x

Recordar que si un término se encuentra en un miembro de la igualdad con signo positivo, pasa al otro lado con signo negativo y viceversa.

Una vez que ambas ecuaciones están despejadas se igualan los miembros de la derecha de ambas.

4-2x =5-3x

Luego se agrupan los términos con incógnita del lado izquierdo de la igualdad y aquellos que únicamente son números del lado derecho.

-2x+3x =5-4
x=1

Luego de haber obtenido el valor de una de las variables, se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se obtiene el valor de y.

y=4-2⋅1
y=4-2 = 2

Se puede probar en la otra ecuación:

y=5-3⋅1
y =5-3 = 2

Por lo tanto este sistema tiene solución x=1 e y=2, es compatible determinado y su gráfica es la siguiente:

(1,2) es el punto que se determina por el valor 1 de “x” y el valor 2 de “y”.

SITUACIONES PROBLEMÁTICAS

En algunas oportunidades los ejercicios son presentados de la forma que antecede, en otras se debe extraer la información de enunciados. Por ejemplo:

En una verdulería hay dos ofertas:

2 kg. de tomates y 5 kg de papas por 150 pesos.
4 kg de tomates y 2 kg de papas por 140 pesos.

¿Cuál es el precio del kilo de tomates y cuál del kilo de papas?

Para resolver este problema, primero se procede a escribir en lenguaje simbólico lo expresado en lenguaje coloquial. Se identificará cada variable con una letra, en este caso utilizaremos la “x” para los tomates y la “y” para las papas.

2x+5y=150
4x+2y=140

De este modo ya se ha conformado el sistema de ecuaciones. Luego se resuelve por cualquier método para resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Igualación

Se despeja la misma incógnita en cada ecuación:

2x+5y=150
5y=150-2x
y = 150:5 -2x :5
y = 30 -(2/5)x

4x+2y = 140
2y = 140 – 4x
y = 140:2 – 4x:2
y = 70- 2x

Se realiza la igualación:

30 -(2/5)x = 70- 2x

Se despeja x:

-(2/5)x+2x = 70 – 30
(8/5)x=40
x = 40 : 8/5
x = 25

Se reemplaza x en una de las ecuaciones iniciales:

y = 70- 2x

y = 70 -2⋅25 = 70 -50 = 20

Los valores obtenidos son:

x=25 e y =20

Rta.: El kilo de tomates cuesta 25 pesos y el kilo de papas 20 pesos.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)

$\{\begin{cases} x + y = 30 \\ x - y = 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + 4 y = 14 \\ x - 3 y = - 7 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 x - 2 y = 7 \\ 5 x + 3 y = 37 \end{cases}$

2. Resolver:
a) Tres veces la edad de Emilia menos cuatro veces la edad de María da como resultado tres años. Si hace cuatro años el duplo de la edad de María excedía en 1 año a la edad de Emilia. ¿Qué edad tienen actualmente cada una?

b) El duplo del dinero que tiene Joaquín más el triple de lo que tiene Lautaro suma 60 pesos. Si el cuádruplo de lo que tiene Joaquín menos el quíntuplo de lo que tiene Lautaro es igual a 10 pesos. ¿Cuánto dinero tiene cada uno.

c) La tercera parte de un número más la mitad de otro es igual a 13. Si se divide el primero entre el segundo, el cociente es 2 y el resto es 4. Hallar los números.

RESPUESTAS

1.
a) x=19; y=11
b) x=2; y=3
c) x=5; y=4

2.
a) María tiene 9 años y Emilia tiene 13 años.
b) Joaquín tiene 15 pesos y Lautaro 10.
c) Los números son 40 y 12.

¿Sabías qué...?

Los babilonios sabían resolver sistemas de ecuaciones lineales, sus incógnitas eran la longitud, el área, el volumen, etc. No utilizaban la simbología actual.

Método de Ruffini

El matemático Paolo Ruffini ideó un método para dividir polinomios denominado regla de Ruffini en su honor. Con ella se pueden calcular los coeficientes de la división de un polinomio por un binomio x-a. Es una forma que simplifica y facilita este tipo de operaciones matemáticas.

Antes de aplicar la regla de Ruffini se deben revisar los conceptos de teorema del resto y teorema de Gauss.

TEOREMA DEL RESTO

Dado un polinomio P(x) y otro Q(x)= x-a, el resto de dividir a P(x) entre Q(x) es P(a).

P(a) es R, el resto de dicha división.

En otras palabras, el resto de un polinomio P(x) se puede calcular realizando la especialización del mismo. Es decir, reemplazando el valor numérico para x=a. Ejemplo:

Calcular el resto de la división entre P(x) y Q(x).

P(x)=2x³-2x²+2x-8
Q(x)= x-1

Especializando en x=1 se obtiene:

P(1)=2·(1)³-2·(1)²+2·(1)-8
P(1)=2·1-2·1+2-8
P(1)=2-2+2-8=-6

El resto de la división entre P(x) y Q(x) es -6.

Consecuencias del teorema del resto

Un polinomio es divisible por (x-a), sí y sólo sí P(a) =0, sí y sólo sí “a” es raíz de P(x).
En el ejemplo anterior P(x) no es divisible por Q(x), ya que el resto es distinto de cero.[/su_note]

método de gauss

Con el teorema de Gauss se pueden hallar las posibles raíces de un polinomio. Éstas se obtienen realizando el cociente entre los divisores del término independiente de un polinomio y los divisores del coeficiente principal. Este método es útil para polinomios de grado tres o superiores, dado que en caso de tener un polinomio de grado dos hay otras formas más sencillas de resolución.

EJEMPLO

Según el método de Gauss hallar las posibles raíces del polinomio: P(x)=2x³+x²+5x-8.

Los coeficientes de un polinomio corresponden a la parte numérica del polinomio.

Cuando la x no tiene escrito un coeficiente a la izquierda, significa que éste es 1.

El término cúbico es el que tiene a la variable x elevada al cubo y el término independiente es aquel que no tiene parte literal. Para realizar el método de Gauss debe identificarse el término cuyo grado sea mayor (de allí se obtiene el coeficiente principal) y el término independiente.

En este ejemplo, el coeficiente del término cúbico es el principal, por lo tanto:

coeficiente principal: 2

término independiente: -8

COEFICIENTE PRINCIPAL	DIVISORES		TÉRMINO INDEPENDIENTE	DIVISORES
2	-1,-2,1,2		-8	-8,-4,-2,-1,1,2,4,8

Se efectúan todos los posibles cocientes:

Se toma el primer divisor del término independiente y se lo divide por todos los divisores del coeficiente principal:

De aquí se obtienen cuatro posibles raíces: 4, 8, -8 y -4.

Se debe hacer el mismo procedimiento con cada uno de los divisores del término independiente. Otro ejemplo:

Se puede observar que algunos resultados se repiten, por lo tanto hasta el momento las posibles raíces son:

4, 8, -8, -4, 2, -2

Se continúa con el cálculo de las raíces probables (si deseas puedes hacerlo). Una vez calculadas todas ellas se obtienen las siguientes posibilidades:

-1/2, 1/2, -1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8

Para saber si son o no raíces se puede aplicar el teorema del resto.

En el polinomio estudiado anteriormente se tiene que una de las raíces posibles es 1, se especializa entonces en a=1.

P(x)=2x³+x²+5x-8

P(1)=2·(1)³+(1)²+5(1)-8 = 2+1+5-8 =0

Y como P(1)=0, entonces 1 es raíz del polinomio P(x)=2x³+x²+5x-8.

Esto significa que P(x)=2x³+x²+5x-8 es divisible por x-1.

Del mismo modo se realiza con las otras posibles raíces para hallar que otro u otros valores verifican que P(x)=0.

“Un polinomio puede tener tantas raíces como su grado. Es decir, un polinomio de grado 3 puede tener hasta 3 raíces. Aunque no siempre todas las raíces obtenidas pertenecen al conjunto de los números reales.”

REGLA DE RUFFINI

Paolo Ruffini, matemático, médico y filósofo italiano.

La regla de Ruffini es de gran utilidad para la factorización de polinomios. Se la considera una división simplificada para los casos en que el divisor es un polinomio de grado 1 y mónico, es decir con coeficiente 1.

Polinomios que se pueden dividir con el método Ruffini:

P(x)=2x³+4x²+5x-6 y Q(x)= x-1

P(x)=x⁴-x³-3x²+x-8 y Q(x)= x+5

Polinomios que NO se pueden dividir con la regla de Ruffini:

P(x)=2x⁴+x³+x²+5x-8 y Q(x)=3x-1 no es posible ya que el divisor Q(x) no es mónico, no tiene coeficiente 1, sino 3.

P(x)=2x³+x²+5x-8 y Q(x) = x²-1 no es posible porque Q(x) no es un polinomio de grado uno.

EJEMPLO 1:

Realizar la división entre P(x)=3x³-5x²-16x+12 y Q(x)=(x+2)

Se trazan dos líneas de la siguiente forma:

Luego se colocan los coeficientes de P(x):

La raíz se ubica en la siguiente posición:

Recordar que Q(x) = x+2, entonces la raíz es -2 porque Q(-2) =-2+2=0

Se coloca el primer coeficiente debajo de la línea horizontal:

Luego se procede a multiplicar la raíz por ese primer coeficiente:

A continuación se realiza la suma algebraica en la fila conformada por el segundo coeficiente y el resultado de la multiplicación antedicha:

Siguiendo el mismo procedimiento se continúa resolviendo:

Cuando se llega a la última fila, el resultado es el resto de la división, en este caso es 0.

Los coeficientes que se obtuvieron como resultado pertenecen a un polinomio de un grado menor al dividendo. Observar que inicialmente el polinomio era de grado 3, ahora queda expresado en dos factores, un polinomio de grado dos y (x+2).

P(x)=(3x² -11x+6)(x+2)

3x² -11x+6 es el cociente de la división entre P(x) y Q(x).

Se puede seguir factorizando, para ello se puede utilizar nuevamente Ruffini o directamente aplicar la fórmula de Bhaskara.

En esta oportunidad se realizará nuevamente la regla de Ruffini para (3x² -11x+6). Se pueden calcular las posibles raíces con el teorema de Gauss para ir probando cuál de ellas genera un resto cero. En este caso se continuará con el método de Ruffini, utilizaremos el valor 3 como raíz.

Una vez obtenido resto cero, se reescribe el polinomio P(x):

P(x)=(3x² -11x+6)(x+2)

P(x)=(3x-2)(x-3)(x+2)

Como la factorización implica que dentro de los paréntesis los polinomios sean mónicos, se debe extraer el 3 que se encuentra junto a la x de la siguiente forma:

(3x-2) = 3(x-2/3) se realizó factor común 3.

Los pasos que se han ido realizando en la factorización son:

P(x)=3x³-5x²-16x+12
P(x)=(3x² -11x+6)(x+2)
P(x)=(3x-2)(x-3)(x+2)
P(x)=3(x-2/3)(x-3)(x+2) Polinomio factorizado.

EJEMPLO 2:

Hallar el resto de dividir P(x) entre Q(x):

P(x)=2x³-2x²+2x-8
Q(x)= x-1

El resto R es igual a -6.
Los polinomios que intervienen son los mismos que los utilizados en el ejemplo del teorema del resto. Ambos métodos sirven para hallar el resto. Pero si se desea factorizar, la opción a utilizar es la regla de Ruffini.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

1. Hallar el resto al dividir P(x) entre Q(x) en los siguientes casos:
a) P(x)=x³-7x²+14x-21 y Q(x)= x-2
b) P(x)=x³-x+2 y Q(x)= x+5
c) P(x)=x³-6x²+5x+11 y Q(x)= x-2

2. Dividir P(x) entre Q(x) utilizando el método de Ruffini e indicar su cociente y resto.
a) P(x)=2x³+4x²-5x-3 y Q(x)= x-2
b)P(x)=4x³-8x²-9x+7 y Q(x)= x-3
c) P(x)=2x³+5x²-4x+2 y Q(x)= x+3

respuestas

1.
a) R=-13
b) R= -118
c) R= 5

2.
a) Cociente: 2x²+8x+11, Resto: 19
b) Cociente: 4x²+4x+3, Resto: 16
c) Cociente: 2x²-x-1, Resto: 5

¿Sabías qué...?

Una de las aplicaciones de los polinomios de Zernike (establecidos por el físico Fritz Zernike) es en el campo de la medicina. Intervienen en los cálculos para la corrección de defectos visuales como miopía y astigmatismo.

Factorización

La factorización o descomposición en factores es un recurso que se utiliza regularmente en álgebra. La descomposición en factores (algebraicos) es un procedimiento matemático que se puede hallar por inspección en algunos casos, pero para la mayoría de ellos se requiere conocer propiedades específicas.

Las expresiones algebraicas se pueden factorizar, los polinomios son un tipo de éstas, por lo tanto también tienen la posibilidad de ser factorizados.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS	POLINOMIOS
2x + 3y(y-1) – 8y²	A(x)=x⁴+3x³-5x+8
3x⁴+ 9	B(x)=3x⁴+ 9
a + 5a -a²	C(x)=2x

Existen polinomios de más de una variable, pero no se trabajará con ellos en esta instancia.

Existen casos de factoreo que permiten descomponer expresiones algebraicas de acuerdo a sus características particulares.

factor común

El factor común es uno de los casos más utilizados, dado que es el primero que suele aprenderse y se aplica en numerosa cantidad de situaciones.

EJEMPLO 1:

Hallar el factor común de las siguiente expresión algebraica: a²+a

Los signos positivos y negativos permiten identificar los términos de una expresión:

a²+a Por lo tanto, en este caso se observan dos términos.

En ambos términos se visualiza la letra a, en consecuencia, ella es el factor común.

Resolución

Sabiendo que a es el factor común se multiplica a toda la expresión por $\fn_cm \small \frac{a}{a}$ que es lo mismo que multiplicar por 1, no la modifica.

El divisor a que está fuera del paréntesis puede escribirse dentro de él:

Ahora se puede dividir cada fracción y queda:

Otra forma de resolver

Se realiza el pensamiento inverso la división. Al saber que a es factor común porque se encuentra en ambos miembros de a²+a, se escribe:

Y luego se colocan dentro del paréntesis los valores que al multiplicar por a dan como resultado a²+a.

a·a=a²

a·1=a

Entonces se obtiene el resultado final:

EJEMPLO 2:

Hallar el factor común de la siguiente expresión algebraica: 6x +3

En este ejercicio, el factor común es 3, dado que el número tres divide exactamente tanto al 6 como al 3. Entonces:

Extracción del factor común 3:

3( )

Para calcular qué información debe colocarse dentro del paréntesis se realiza la división de la expresión algebraica por 3:

6x:3 +3:3= 2x+1

Escritura dentro del paréntesis de la expresión obtenida al realizar la división:

3(2x+1)

FACTOR COMÚN EN POLINOMIOS

Del mismo modo que con los ejemplos anteriores, se pueden factorizar polinomios, en dicho caso se intenta reducirlos para aplicar fórmulas o métodos específicos para ellos.

EJEMPLO 3

Factorizar el polinomio P(x)=x³+2x²+x

Se observa que en todos los términos se encuentra la letra x, por lo tanto se extraerá factor común x:

P(x)=x(x²+2x+1)

Se debe seguir factorizando hasta que ya no sea posible, por lo tanto, falta realizar la factorización de x²+2x+1.

x²+2x+1 es un trinomio y existen varios caminos para factorizarlo:

Hallar sus raíces con la fórmula de Bhaskara y con ellas escribirlo mediante la expresión a(x-x₁)(x-x₂), donde a es el coeficiente principal; x₁, x₂ son las dos raíces.
Resolverlo mediante el procedimiento para trinomios de la forma x²+bx+c.
Identificar si es un trinomio cuadrado perfecto completo o incompleto, en dicho caso proceder a aplicar el procedimiento adecuado.

x²+2x+1 es un trinomio cuadrado perfecto dado que es el resultado de un cuadrado de binomio.

CUADRADO DE BINOMIO: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Es decir:

a² + 2ab + b²=(a + b)²

Como a=x y b=1:

x²+2x+1 = (x+1)²

Para finalizar se escribe la factorización completa de P(x):

P(x)=x(x²+2x+1)
P(x)=x(x+1)²P(x)=x(x+1)(x+1)

Por lo tanto:

P(x)=x³+2x²+x = x(x+1)(x+1)

El método de Ruffini también permite factorizar polinomios. Puedes revisar ese contenido y repasar conceptos relacionados en Artículos destacados.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Hallar el factor común de las siguientes expresiones algebraicas:
a) 6x²-3x
b) ay – by
c) x²y²-xy³
Factorizar los siguientes polinomios:
a) P(x)= x²+7x+12
b) P(x)= x³+9x²+20x
c) P(x) = x³+8x²+15x

RESPUESTAS

1.
a) 3(2x²-1)
b) y (a – b)
c) xy²(x – y)

2.
a) P(x)= (x+3)(x+4)
b) P(x)= x(x+4)(x+5)
c) P(x)= x(x+3)(x+5)

¿Sabías qué...?

El teorema del binomio adjudicado a Isaac Newton, del cual se deriva la fórmula del cuadrado de un binomio, fue descubierto por primera vez por el matemático persa Al-Karaŷí alrededor del año 1000.

Operaciones con polinomios

Los polinomios se utilizan en diversos campos de las matemáticas, como el análisis matemático y el cálculo. Sin embargo tienen aplicaciones variadas: en física, en química, en informática, en economía, en medicina, etc. Para operar con polinomios se requiere conocer las propiedades de la potenciación y los conceptos fundamentales de expresiones algebraicas.

Para aprender a trabajar con polinomios es necesario conocer antes los siguientes contenidos:

EJERCICIOS CON OPERACIONES COMBINADAS ENTRE POLINOMIOS

Una vez que se han trabajado y practicado los temas anteriores, es posible avanzar en la resolución de ejercicios con operaciones combinadas, por ejemplo:

EJERICICIO 1

Dados los polinomios:

A(x) = x³ + 2x − 1
B(x) = 3x² − 7
C(x) = x − 1

Hallar:

a) A(x) + B(x) · C(x) =
b) [C(x)]² − B(x) =
c) 3A(x) − B(x) =

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. a)

A(x) + B(x) · C(x) =

Se reemplaza cada polinomio es su ubicación correspondiente:

A(x) + B(x) · C(x) = (x³ + 2x − 1) + (3x² − 7) · ( x − 1)

Se realizan las operaciones según la jerarquía correspondiente, en este caso primero hay que realizar la multiplicación entre B(x) y C(x).

A(x) + B(x) · C(x) = (x³ + 2x − 1) + (3x³ − 3x² − 7x + 7)

Al ser una suma, se pueden quitar los paréntesis:

A(x) + B(x) · C(x) = x³ + 2x − 1 + 3x³ − 3x² − 7x + 7

Se agrupan términos con parte literal semejante:

A(x) + B(x) · C(x) = x³ + 3x³ − 3x² + 2x − 7x + 7 − 1

Se realiza la suma algebraica de los términos con igual parte literal y se escribe el polinomio resultante ordenado en forma decreciente de potencias de x:

A(x) + B(x) · C(x) = 4x³ − 3x² − 5x + 6

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1. b)

[C(x)]² − B(x) =

Cuando un polinomio está elevado al cuadrado hay que observar primero a qué tipo de polinomio pertenece.

CUADRADO DE UN POLINOMIO

Cuando un polinomio está elevado a la potencia 2, se debe analizar primero qué tipo de polinomio es y en base a ello operar.

Si es un monomio, se eleva al cuadrado tanto su parte numérica como su parte literal.

Ej: P(x) = 2x
[P(x)]² = (2x)² = 2²x² = 4x²

Si es un binomio se puede aplicar la fórmula del cuadrado de un binomio: (a+b)² = a² + 2ab + b².

Ej: Q(x) = x + 1
[Q(x)]² = (x + 1)² = x² + 2x + 1

Si es un trinomio o un polinomio de grado superior a tres se puede multiplicar el polinomio por sí mismo.

Ej: D(x) = x³ + 2x + 1
[D(x)]² = (x³ + 2x + 1) (x³ + 2x + 1) = x⁶ + 4x⁴ + 2x³ + 4x² + 4x + 1

En el ejercicio 1. b) intervienen C(x) = x − 1 y B(x) = 3x² − 7, ambos son binomios (tienen dos términos). Por lo tanto para resolver [C(x)]² se aplica el cuadrado de un binomio.

[C(x)]² = (x − 1)² = x² − 2x + 1

Luego se debe restar o sustraer B(x). Como hay un símbolo menos (−) a la izquierda del paréntesis del polinomio B(x), los signos de éste serán los contrarios al aplicar la regla de los signos.

[C(x)]² − B(x) = (x−1)² − (3x²− 7) = x² − 2x + 1 − 3x² + 7

Finalmente se agrupan los términos cuyas partes literales son semejantes:

[C(x)]² − B(x) = x² − 3x² − 2x + 1 + 7

Se realizan las sumas algebraicas correspondientes y se obtiene el resultado:

[C(x)]² − B(x) = −2x² − 2x + 8

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO 1.c)

3A(x) − B(x) =

Cuando un polinomio está multiplicado por un número o por un monomio, se procede a realizar la propiedad distributiva para resolver esta operación en primer lugar.

3A(x) = 3(x³ + 2x − 1) = 3x³ + 6x − 3

Luego se continúa resolviendo:

3A(x) − B(x) = 3x³ + 6x − 3 − (3x² − 7) = 3x³ + 6x − 3 − 3x² + 7

Finalmente se resuelven las sumas algebraicas correspondientes y se ordena el polinomio resultante:

3A(x) − B(x) = 3x³ − 3x² + 6x + 7 − 3

3A(x) − B(x) = 3x³ − 3x² + 6x + 4

Papiro de Rhind, realizado por el escriba Ahmes en el año 1650 a. C. Contiene información matemática aplicable a agricultura, astronomía, construcción, etc.

A continuación puedes practicar tanto algunas operaciones básicas entre polinomios, como las que son combinadas.

A PRACTICAR

Dados los polinomios:

A(x) = −2x⁴ + 3x³ + 7x² − 5
B(x) = 3x + 1
C(x) = 2x⁵ + 3x³

Realizar las siguiente sumas:
a) A(x) + B(x) =
b) A(x) + C(x) =
Hallar el resultado de la resta:
a) A(x) − B(x) =
b) A(x) − C(x) =
Hallar:
a) B(x) · C(x) =
b) A(x) · B(x) =
Obtener el resultado de las siguientes operaciones con polinomios:
a) 3A(x) + 2x³ · B(x) =
b) A(x) · [B(x) + C(x)] =

RESPUESTAS

Se designará al polinomio resultado como P(x).

a) P(x) = −2x⁴ + 3x³ + 7x² + 3x − 4
b) P(x) = 2x⁵ − 2x⁴ + 6x³ + 7x² − 5
a) P(x) = −2x⁴ + 3x³ + 7x² − 3x − 6
b) P(x) = −2x⁵ − 2x⁴ + 7x² − 5
a) P(x) = 6x⁶ + 2x⁵ + 9x⁴ + 3x³
b) P(x) = −6x⁵ + 7x⁴ + 24x³ + 7x² − 15x − 5
a) P(x) = 11x³ + 21x² − 15
b) P(x) = −4x⁹ + 6x⁸ + 8x⁷ + 9x⁶ + 5x⁵ + 7x⁴+ 9x³ + 7x²− 15x − 5

¿Sabías qué...?

Tanto la historia del álgebra como de las matemáticas comenzaron en el antiguo Egipto y Babilonia. Una muestra de ello es el papiro de Rhind que contiene problemas matemáticos escritos en un documento de 6 metros de longitud y 33 cm de ancho.

Producto y división de polinomios

Los polinomios son expresiones algebraicas con las que se pueden realizar diversas operaciones matemáticas, como la suma o adición, la resta o sustracción, la multiplicación y la división, entre otras. Tanto la división como la multiplicación de polinomios se ajustan a determinadas reglas especiales que se deben conocer al momento de la resolución de ejercicios.

Las operaciones básicas con polinomios son: suma o adición, resta o sustracción, multiplicación y división.

En esta ocasión se desarrollarán los temas multiplicación o producto de polinomios y división de polinomios. Si necesitas repasar la suma y resta puedes ingresar al contenido de Adición y Sustracción de polinomios.

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Las propiedades que intervienen en la multiplicación o producto de polinomios son las siguientes:

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.
Propiedades del producto.
Propiedades de la potenciación.

EJEMPLO 1:

Hallar el producto P(x)·Q(x). Si P(x) = x³+2x+1 y Q(x) = 3x

P(x)·Q(x)= (x³+2x+1)·(3x)

Se procede a realizar la propiedad distributiva. Se comienza de la siguiente manera:

P(x)·Q(x)=3x⁴+…..

Obsérvese que se aplicó la propiedad de multiplicación de potencias: “El resultado del producto de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes”.

En este caso x³ .2x

La potencia de 2x es 1, por lo tanto:

x³ .2x¹=2x³⁺¹=2x⁴

Al realizar la propiedad distributiva para cada uno de los términos de P(x) se obtiene el producto:

P(x)·Q(x)=3x⁴+6x²+3x

GRADO DEL POLINOMIO PRODUCTO

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se verifica que:

grado de [P(x)·Q(x)] = grado [P(x)]·grado[Q(x)]

EJEMPLO 2:

Hallar el producto P(x)·Q(x). Si P(x) = 2x³+x²+1 y Q(x) = x+5

P(x)·Q(x)= (2x³+x²+1)·(x+5)

En primer lugar se realiza la propiedad distributiva entre el primer término de Q(x) y el polinomio P(x), comenzando de izquierda a derecha:

P(x)·Q(x)= 2x⁴+x³+x+…

Luego se distribuye el segundo término de Q(x) por el polinomio P(x).

P(x)·Q(x)= 2x⁴+x³+x+10x³+5x²+5

Finalmente se agrupan términos que compartan la misma parte literal (incluida su potencia),en este ejercicio son x³ y 10x³, al sumarlos queda 11x³.

P(x)·Q(x)= 2x⁴+11x³+5x²+x+5

Observar que los términos se ubicaron en forma decreciente con respecto a sus potencias.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división de polinomios se realiza del mismo modo que con números.

Dividendo = divisor · cociente + resto

IMPORTANTE: el polinomio dividendo debe estar ordenado en forma decreciente de potencias de “x” y completo. En caso de no estar completo se debe completar utilizando el 0 (0x⁴, 0x³, 0x², etc.)

POLINOMIO NO ORDENADO	POLINOMIO ORDENADO INCOMPLETO	POLINOMIO ORDENADO Y COMPLETO
P(x)= 2x⁴+5-x³+x	P(x)= 2x⁴-x³+x+5	P(x)= 2x⁴-x³+0X²+x+5
A(x)= x+5x²-x⁵+8	A(x)= -x⁵+5x²+x+8	A(x)= -x⁵+0x⁴+0x³+5x²+x+8

EJEMPLO 3:

Dados P(x)=3x³-2x²-1 y Q(x)= x²-x+1, hallar el polinomio cociente C(x).

Como P(x) está incompleto, se debe completar:

3x³-2x²+0x-1

Luego se escribe la división del mismo modo que con números:

3x³-2x²+0x-1 ⌊ x²-x+1

Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor:

3x³: x²= 3x Se aplicó la propiedad de división de potencias: “El cociente de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la resta de los exponentes”.

El resultado es el primer término del cociente:

3x³-2x²+0x-1 ⌊ x²-x+1
3x

Luego se realiza la distributiva entre 3x y el divisor. Los resultados se colocan debajo del dividendo con signo contrario:

3x³-2x²+0x-1 ⌊ x²-x+1
-3x³+3x^2-3x 3x

Se procede a realizar las sumas algebraicas correspondientes:

3x³-2x²+0x-1 ⌊ x²-x+1
-3x3+3x2-3x 3x

0x³+x²-3x

Luego se “baja” el siguiente término, que en este caso es el independiente:

3x³-2x²+0x-1 ⌊ x²-x+1
-3x3+3x2-3x 3x

x²-3x -1

Nuevamente se divide el primer término que aparece en el dividiendo, entre el primer término del divisor:

x²: x²=1

Por lo tanto el segundo termino del cociente es 1.

3x³-2x²+0x-1 ⌊ x²-x+1
-3x3+3x2-3x 3x +1

x²-3x -1

Se procede una vez más a realizar la propiedad distributiva, esta vez entre el segundo término del cociente y el divisor. Se obtiene de esta forma el resto de la operación.

3x³-2x²+0x-1 ⌊ x²-x+1
-3x3+3x2-3x 3x +1

x²-3x -1
-x²+x – 1

0x²-2x -2

Resto: R(x)=-2x-2

Cociente: C(x)=3x +1

Se finaliza la división cuando grado del resto es menor que el grado del divisor o cero. En este caso el grado de -2x-2 es menor al grado de x²-x+1.

IMPORTANTE

– La división entre dos polinomios P(x) y Q(x) es posible si grado [P(x)]≥grado [Q(x)].

– grado [C(x)]=[P(x)]-grado [Q(x)]. El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

Otra forma de división es la regla de Ruffini, pero sólo se utiliza para casos especiales.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Hallar el producto entre los siguientes polinomios:
a) P(x) = x⁴+3x²-2x+1 y Q(x) = 2x
b) P(x) = 2x²+2x+1 y Q(x) = 3x +4
Hallar el cociente C(x) y el resto R(x) entre los siguientes polinomios:
a) P(x) = x²+12x+4 y Q(x) = x-2
b) P(x) = 8x³+36x²+15x+13 y Q(x) = 4x²+12x+9

RESPUESTAS

1.
a) P(x)·Q(x)=2x⁵+6x³-4x²+2x
b) P(x)·Q(x)=6x³+14x²+11x+4

2.
a) C(x)= x+14, R(x)=32
b) C(x) =2x+3, R(x)= -39x-14

¿Sabías qué...?

La diferencia entre los cuadrados de dos números naturales consecutivos es igual al doble del número menor más 1. Ejemplo: 9²-8² =(8·2)+1.

Producto vectorial de Gibbs

En el producto vectorial, como su nombre lo indica, intervienen vectores. También es conocido como producto cruz y tiene variadas aplicaciones, tanto en matemática como en física e ingeniería.

Dados tres vectores $\vec{u}, \vec{v} y \vec{w}$ , existen tres clases de multiplicación que pueden efectuarse utilizando algunos o todos ellos:

Producto escalar
$\vec{u} \cdot \vec{v}, \vec{u} \cdot \vec{w}, \vec{v} \cdot \vec{w}$
Producto vectorial
$\vec{u} x \vec{v}, \vec{u} x \vec{w}, \vec{v} x \vec{w}$
Producto mixto
$\vec{v} \cdot (\vec{u} x \vec{w}), \vec{w} \cdot (\vec{u} x \vec{v}), \vec{u} \cdot (\vec{v} x \vec{w})$

En el caso 1 y 3 el resultado es siempre un escalar, pero en el caso 2 el resultado de dicha operación es siempre un nuevo vector, $\vec{r}$ .

En esta oportunidad se estudiará el producto vectorial (caso 2). Se sabe que el resultado es un vector y por lo tanto tiene su propia dirección, sentido y modulo. Si los vectores a multiplicar son , para hacer el producto vectorial sería .

producto vectorial

Características

La dirección del vector resultante es siempre perpendicular al plano que forman los vectores . Es decir:.

VECTORES PERPENDICULARES

Cuando dos vectores son perpendiculares (ortogonales) su producto escalar es igual a cero.

El sentido del vector resultante se obtiene al usar la “regla de la mano derecha”, la cual nos dice que si se abarca el menor ángulo entre $\vec{u}y\vec{v}$ con los dedos índice y anular, el pulgar indica el sentido de $\vec{r}$ .

Regla de la mano derecha, se puede utilizar para determinar sentidos y direcciones vectoriales.

El modulo del vector resultante es el área del paralelogramo que forman los vectores y se calcula con la siguiente fórmula:
$|\vec{r}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot s e n α$ Siendo α el ángulo comprendido entre .

Cálculo analítico del producto vectorial

Dados dos vectores:

$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ son versores ubicados en los ejes x, y, z respectivamente.

Versor: vector unitario con módulo igual a uno.

Componentes de un vector

$\fn_cm \small _{u_{x}},_{u_{y}},_{u_{z}}$ son las componentes del vector $\fn_cm \small \vec{u}$ .

$\fn_cm \small _{v_{x}},_{v_{y}},_{v_{z}}$ son las componentes del vector $\fn_cm \small \vec{v}$ .

Vector expresado en sus componentes x, y, z

Imagen realizada con calculadora gráfica 3D, Geogebra.

Se calcula el producto vectorial de la siguiente manera:

Se forma una matriz 3×3, en la cual la primera fila corresponde a los versores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ . En la segunda fila se colocan las componentes del primer vector y en la tercera fila se ubican las componentes del último vector.

Se aplica la regla de Sarrus (método para matrices de 3×3) para hallar el determinante de la matriz:

“En el producto vectorial el orden de los factores sí afecta el producto. Es decir que $\fn_cm \small \vec{u}x\vec{v}\neq \vec{v}x\vec{u}$ “.

Ejemplo 1:

Dados dos vectores:

Estos dos vectores se pueden reescribir en sus coordenadas:

Se conforma una matriz 3×3:

Luego se procede a aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que cada matriz 2×2 se conforma de la siguiente forma:

Se resuelven las matrices. Observar que los términos con signo + corresponden a los productos de las multiplicaciones de las diagonales:

Y se restan los productos de las diagonales que tienen la siguiente dirección:

Se realizan las operaciones correspondientes:

De esta forma se obtiene el resultado del producto vectorial $\fn_cm \small \vec{u}x\vec{v}$ :

Ejemplo 2:

Utilizando los mismos vectores que en el ejemplo anterior se realizará el producto vectorial $\fn_cm \small \vec{v}x\vec{u}$ :

que puede expresarse como

En los ejemplos anteriores se ha visto un ejemplo sobre la propiedad que indica que el orden de los factores sí afecta al producto vectorial. En dichos ejemplos se observa:

≠

Observar que ambos vectores son distintos, uno es el opuesto del otro.

VECTORES OPUESTOS

Dos vectores opuestos son aquellos que tienen el mismo módulo y dirección, pero sentidos opuestos.

aplicaciones del PRODUCTO VECTORIAL EN FÍSICA

Velocidad tangencial en un momento circular:

Momento angular con respecto al origen:

Torque respecto a un origen:

Fuerza magnética sobre una carga:

A PRACTICAR LO APRENDIDO

RESPUESTAS

1. (-3, 3, 1)

2. (-3,7, -1)

3. (-1, 2, 3)

¿Sabías qué...?

Pierre Frédéric Sarrus estaba indeciso con respecto a qué estudios superiores realizar, se debatía entre Medicina y Matemáticas. Finalmente ingresó a Matemáticas porque no cumplió con los requisitos solicitados en 1815 para iniciar Medicina, dado que era protestante y bonapartista.

Cálculo de áreas mediante ecuaciones

Área es la medida de una superficie, es decir, en ocasiones se utilizan como sinónimos, pero estrictamente no lo son. En otras palabras, la superficie es una región de un plano y el área es un número acompañado de una unidad de medida. Para el cálculo de áreas se utilizan las fórmulas correspondientes y se aplican determinados procedimientos matemáticos.

Fórmulas de áreas y perímetros de figuras poligonales.

Antes de comenzar a resolver ejercicios y problemas que impliquen cálculos de áreas es indispensable repasar las fórmulas correspondientes y revisar en qué unidades se pueden medir. Si deseas repasar dicho contenido puedes ingresar a la Enciclopedia de Matemática: Geometría.

CÁLCULO DE ÁREAS

Cuando se tienen los datos numéricos para calcular el área de una figura simplemente se realizan los reemplazos correspondientes en las fórmulas y se obtienen los resultados. Ejemplos:

Calcular el área de la siguiente figura:

En primer lugar se debe identificar qué fórmula hay que aplicar.

Como se trata de un rectángulo la fórmula es A = a · b o A = b · h.

A = a · b significa que se multiplica el largo (a) por el ancho (b).

A = b · h representa que se multiplica la base (b) por la altura (h).

Ambas expresiones significan lo mismo en cuanto a operaciones matemáticas se refiere.

Sustitución de datos en la fórmula:

A = a · b

A = 6 cm · 4 cm = 24 cm² (observar que la unidad de área es igual a la longitud al cuadrado)

Hallar el área de un triángulo cuya base mide 4 m y su altura 3,75 m.

Primero se dibuja la figura para identificar qué datos brinda el enunciado.

DATOS:

b = 4 m

h = 3,75 m

Se escribe la fórmula correspondiente:

$A= \frac{b \cdot h}{2}$

Y finalmente se reemplazan los datos en la fórmula:

$A= \frac{4 m \cdot 3, 75 m}{2} = \frac{15 m^{2}}{2} = 7, 5 m^{2}$

Respuesta: el área es 7,5 m².

Las longitudes se pueden medir en mm, cm, m, etc. Las áreas en cambio son unidades al cuadrado: mm², cm²y m²entre otras.

PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CON ECUACIONES

Este tipo de problemas requiere conocer las fórmulas geométricas para cálculo de áreas y perímetros. Además, se necesita tener práctica con la resolución de ecuaciones y comprender el lenguaje coloquial.

EJEMPLOS 1:

El perímetro de un terreno rectangular es de 250 m. Si el largo es el triple de su ancho:

a) ¿Cuáles son sus dimensiones?
b) ¿Cuál es el área del terreno?

El primer paso es esquematizar y escribir los datos:

DATOS:

P = 250 m
ancho = x
largo = 3x

a) Para hallar sus dimensiones es necesario conocer el valor de x. Como se tiene el dato del perímetro, en primer lugar se debe utilizar la fórmula de perímetro de un rectángulo:

P = 2a + 2b

Es decir:

P = 2 · largo + 2 · ancho

250 m = 2 · 3x + 2 · x

250 m = 6x + 2x

250 m = 8x

31,25 m = x

Al escribir se deja la incógnita del lado izquierdo:

x = 31,25 m

Como la x es igual al ancho y 3x es el largo, ya se pueden obtener ambas medidas:

largo = 3x = 3·31,25 m = 93,75 m

largo = 93,75 m

ancho = 31,25 m

b) Con los datos obtenidos en a) se calcula el área del terreno:

A= a·b

A = 93,75 m · 31,25 m

A ≅ 2929,69 m²

El símbolo ≅ significa “aproximadamente” y se utiliza cuando la respuesta ha sido redondeada.

EJEMPLO 2:

Calcular el área de un rectángulo sabiendo que uno de sus lados mide 3 metros menos que el otro y su perímetro es de 38 metros.

En primer lugar se realiza el esquema y se extraen los datos del enunciado:

DATOS:

P = 38 m
ancho = x – 3 m
largo = x

En segundo lugar se deben calcular sus dimensiones:

38 m = x + x – 3 m + x + x -3 m

38 m = 4x -6 m

38 m + 6 m = 4x

44 m = 4x

44 m : 4 = x

x = 11 m

Medidas de las dimensiones:

largo = x = 11 m

largo = 11 m

ancho = x − 3m = 11m − 3 m = 8 m (se elige a este dato como ancho dado que su medida es menor a la del otro lado).

ancho = 8 m

Finalmente se calcula el área:

A = a · b

A = 11 m · 8 m = 88 m²

A = 88 m²

En los ejemplos anteriores la resolución se hacía por medio de ecuaciones lineales, pero podría suceder que se requiera resolver ecuaciones cuadráticas, como en el caso del siguiente ejemplo:

EJEMPLO 3:

Calcular la medida de la base y la altura del paralelogramo si su área es de 75 m². Su base mide el triple que su altura.

Primero se esquematiza y se escriben los datos:

DATOS:

área = 75 m²base = 3x
altura = x

Se reemplazan los datos en la fórmula del área de un paralelogramo:

A = b · a

75 m² = 3x · x

75 m² = 3x²

75 m² : 3= x²

25 m² = x²

$x= \sqrt{25 m^{2}}$

x= 5 m

Dimensiones:

h = x

h = 5 m

b = 3x = 3· 5m = 15 m

b = 15 m

a practicar lo aprendido

Si el perímetro de un rectángulo es 50 m y la base es 5 m más larga que la altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? ¿Cuál es su área?
Un triángulo equilátero de lado x tiene un perímetro de 30 m. Si su altura mide 11 m, ¿cuál es su área?
Calcular la medida de la base y la altura del paralelogramo si su área es de 8 cm².

RESPUESTAS

150 m²
55 m²
h = 2 cm; b = 4 cm

¿Sabías qué...?

El símbolo para representar raíz cuadrada surgió en 1525, antes se expresaba mediante palabras “raíz de…”. Christoph Rudolff ideó este símbolo

porque se asemejaba a una r estilizada.

Ecuaciones con valor absoluto o módulo

El valor absoluto o módulo con frecuencia es utilizado para representar distancia, por lo tanto, siempre se lo considera un número positivo. Las ecuaciones con módulo se resuelven de manera particular, para ello es necesario conocer todas las propiedades del valor absoluto.

El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales | |. Puede contener números o expresiones algebraicas:

|8|, |−5|, |2x + 1|, etc.

DEFINICIÓN de valor absoluto

Este concepto se define como:

$|\begin{matrix} a \end{matrix}| = \{\begin{cases} a, s i a \geq 0 \\ - a, s i a < 0 \end{cases}$

“Si un número es positivo o cero, su valor absoluto coincide con dicho número. Si en cambio el número es negativo, su valor absoluto es el inverso aditivo del mismo (es decir un número positivo)”.

Ejemplos:

|12| = 12

|1/2| = 1/2

|3| = 3

|−3| = 3

En el caso de |3|, a = 3 siendo a > 0, a es positivo, por lo tanto:

|3| = 3

Por otra parte en |−3|, a = −3 siendo a < 0, a es negativo, entonces:

|−3| = −(−3) = 3 −(−3) es el inverso aditivo de 3

En definitiva, el valor absoluto siempre es positivo.

VALOR ABSOLUTO Y DISTANCIA

Al observar la recta numérica se puede apreciar que la distancia de un número al origen es siempre es positiva.

|x| representa la distancia de x a 0. Entonces:

La distancia de x al 0 es x, si x es positivo.
La distancia de x al 0 es -x, si x es negativo.

La notación para la distancia de x al cero es:

d(x;0) = |x|

También puede expresarse en forma de módulo la distancia entre dos números cualesquiera:

d(a;b) = |a − b|

Se puede observar que la distancia entre “a” y “b” corresponde al módulo de a-b.

Ejemplo:

Calcular la distancia entre −2 y 5.

d(a;b) = |a − b|

d(-2;5) = |−2 − 5| = |−7| = 7

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

|a · b| = |a| · |b|
|a/b|= |a|/|b|
|a + b| ≤ |a| + |b| Desigualdad triangular
|−a| = |a|
|a|² = a²

Las nociones de valor absoluto fueron postuladas por Euclides 300 años antes de Cristo.

RAÍZ CUADRADA Y VALOR ABSOLUTO

$\sqrt{a^{2}} = | a |$

Un error común cuando se intenta resolver una raíz par es aplicar la raíz al radicando y dar como respuesta un único resultado.

$\sqrt[í n d i c e]{r a d i c a n d o} = r a í z$

Por ejemplo:

$\sqrt{4} = 2$

El resultado es correcto, pero no el único, se estaría omitiendo otra posible solución. Entonces, debería resolverse de la siguiente forma:

4 = 2²

4 =(-2)²

Por lo tanto:

$\sqrt{4} = \sqrt{2^{2}} \sqrt{4} = \sqrt{(- 2)^{2}}$

Esto significa que las respuestas son dos:

$\sqrt{2^{2}} = 2 \sqrt{(- 2)^{2}} = - 2$

Por ello se utiliza el concepto de valor absoluto en estos casos:

$\sqrt{a^{2}} = | a |$

$\sqrt{4} = \sqrt{2^{2}} = \sqrt{(- 2)^{2}} = | 2 |$

Al ser una raíz cuadrada tiene dos soluciones:

$x_{1} = 2 x_{2} = - 2$

Ejercicios resueltos de valor absoluto

Expresar sin los símbolos de valor absoluto:

Ejercicio 1:|x-3|

Caso 1

|x−3| = x − 3

Cuando x − 3 ≥ 0, x ≥ 3.

Caso 2

|x − 3| = −(x − 3) = −x + 3

Cuando x − 3 < 0, x < 3.

La respuesta se expresa de la siguiente forma:

$|x - 3| = \{\begin{cases} x - 3, s i x \geq 3 \\ - x + 3, s i x < 3 \end{cases}$

Ejercicio 2: |x² + 1|

En este caso, la expresión dentro de las barras de valor absoluto corresponde a un número positivo, dado que para cualquier valor de x su cuadrado es positivo.

Y si a un valor positivo se le suma 1, se obtiene otro valor positivo. Entonces x² + 1 > 0. De esta forma:

|x² + 1| = x² + 1 Es la única respuesta posible.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Antes de trabajar con ecuaciones de valor absoluto es necesario tener en cuenta las siguientes reglas para modificar cualquier ecuación:

Si se suma o resta una cantidad a ambos lados de una ecuación, las soluciones no se modifican.

EJEMPLO:

2x + 3 = x + 1

2x + 3 − x = x + 1− x

x + 3 = 1

x + 3 − 3 = 1 − 3

x = −2

Cuanto se divide o multiplica un mismo número (distinto de cero) a ambos lados de la ecuación, las soluciones no se modifican.

EJEMPLO:

2x = 8

2x : 2 = 8 : 2

x = 4

Estos pasos pueden realizarse simplificando el procedimiento, lo que da como resultado las reglas:

Todo lo que está sumando de un lado de la igualdad pasa restando y viceversa.
Todo lo que está multiplicando de un lado de la igualdad pasa dividiendo y viceversa.

Ejercicios resueltos de ecuaciones con valor absoluto

Ejercicio 1: |x − 6| = 3

Existen dos posibilidades |x − 6| = |3| o |x − 6| = |−3|, entonces:

$|x - 6| = 3 \begin{matrix} x - 6 = 3 \\ x - 6 = - 3 \end{matrix}$

Al resolver cada una de las ecuaciones se obtiene:

x − 6 = 3

x = 3 + 6

x = 9

x − 6 = −3

x = −3 + 6

x = 3

Entonces las respuestas posibles son:

x₁ = 9 o x₂ = 3

VERIFICACIÓN:

|x − 6| = 3

Para x₁ = 9:

|9 − 6| = 3

|3| = 3

3 = 3

Para x₂ = 3:

|3 − 6| = 3

|−3| = 3

3 = 3

Queda demostrado que ambos valores verifican la igualdad.

Ejercicio 2: |2 (x − 1)| = |x − 1|+ 2

Se aplica la propiedad número 1 del valor absoluto,dado que hay una multiplicación |2(x − 1)|. Entonces la ecuación se puede reescribir de la siguiente forma:

|2||x − 1| = |x − 1| + 2

2|x − 1|− |x − 1| = 2 Se pasa el valor absoluto de la derecha al lado izquierdo.

Como las expresiones dentro del valor absoluto son iguales, se pueden asociar (en este caso se restan).

|x − 1| = 2

Y para hallar la respuesta se tiene que:

x − 1 = 2 o x − 1 = −2

Se resuelve cada ecuación por separado:

x = 2 + 1 x = −2 + 1

x = 3 x = −1

Los resultados se pueden expresar como:

x₁ = 3 o x₂ = −1

La verificación se podría realizar del mismo modo que en ejercicio anterior. Puedes intentarlo si deseas.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Escribir cada expresión sin los símbolos de valor absoluto:

a) |x + 4|=

b) |x³ + 1|=

2. Hallar la distancia:

a) Entre 2 y 3.

b) d(−3;8)

3. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) |x − 5| = 4

b) |−3x| + |−x| = 4

c) x² = 64

RESPUESTAS

$\{\begin{cases} x + 4, s i x \geq - 4 \\ - x - 4, s i x < - 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x^{3} + 1, s i x \geq - 1 \\ - x^{3} - 1, s i x < - 1 \end{cases}$

a) 1

b) 11

a) x₁= 1 o x₂= 9

b) x₁= 1 o x₂= −1

c) x₁= −8 o x₂= 8

¿Sabías qué...?

La obra de Euclides Los elementos ordena y contiene postulados de conocimientos sobre geometría y matemática en la Antigüedad. Es el matemático más leído de la historia de las ciencias.

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas son aquellas en las cuales al menos una de sus incógnitas se encuentra elevada al cuadrado, siendo éste el mayor grado que pueden tener. Este tipo de ecuaciones se requieren no solo en aplicaciones del campo de la matemática, también son de gran utilidad para la resolución de problemas de física, entre otros.

La forma típica de las ecuaciones de segundo grado es:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Siendo x la incógnita; a, b y c los coeficientes. La incógnita es un valor variable, mientras que los coeficientes son constantes y a≠0 (a debe ser distinta a cero).

Algunas ecuaciones cuadráticas son fácilmente reconocibles, mientras que otras requieren algunas transformaciones algebraicas para identificarlas.

Ejemplos

Ecuación cuadrática con a, b y c distintos de cero:

$2 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Ecuación cuadrática con b=0:

$3 x^{2} - 1 = 0$

Ecuación cuadrática con c=0:

$x^{2} + 4 x = 0$

En los tres ejemplos anteriores, la ecuación cuadrática se obtuvo al igualar a cero un trinomio de segundo grado, ya sea completo o incompleto.

TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Es un polinomio de grado dos que consta de tres monomios. Ej:

$P (x) = a x^{2} + b x + c, s i e n d o a \neq 0 .$

Si ningún coeficiente tiene como valor cero, la fórmula es completa. Es incompleta en los siguientes casos:

$a x^{2} + c = 0 (b = 0) a x^{2} + b x = 0 (c = 0) a x^{2} = 0 (b = c = 0)$

En caso de que la ecuación no esté presentada en la forma típica, se deben realizar operaciones algebraicas, por ejemplo:

$x^{2} = 1$

Se realizan las transformaciones necesarias para que del lado derecho de la igualdad quede cero:

$x^{2} - 1 = 0$

De este modo se puede identificar que dicha ecuación es cuadrática, pero su coeficiente b=0.

Otro ejemplo que requiere transformaciones aritméticas:

$4 x^{2} + 8 = 2 x^{2} + x$

Se llevan los términos de la derecha hacia el lado izquierdo, cambiando sus signos:

$4 x^{2} + 8 - 2 x^{2} - x = 0$

Se agrupan términos con la misma parte literal y mismo grado:

$4 x^{2} - 2 x^{2} - x + 8 = 0$

Se resuelve:

$2 x^{2} - x + 8 = 0$

En esta oportunidad se observa un trinomio completo de segundo grado.

Por último, puede ocurrir que a simple vista no se observen términos cuadráticos, pero al resolver la siguiente ecuación el resultado será un trinomio de segundo grado:

$(x + 2) (x - 3) = 5$

Se resuelve la multiplicación de los dos binomios:

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = 5 x^{2} - x - 6 - 5 = 0 x^{2} - x - 11 = 0$

Al escribir la ecuación cuadrática en la forma típica se pueden identificar sus coeficientes y resolver por medio de la fórmula resolvente o de Bhaskara.

resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

Las ecuaciones cuadráticas incompletas se resuelven de manera sencilla, despejando la incógnita, x.

Existen algunas reglas que permiten trabajar con ecuaciones. Las reglas simplificadas de transposición de términos son las siguientes:

Si un término está sumando en un miembro de la igualdad, pasa al otro restando y viceversa. Por ejemplo:
$4 x + 5 = - 3 x^{2} + 9 4 x + 5 + 3 x^{2} = 9$
Si un término se encuentra multiplicando en un miembro de la igualdad, pasa al otro dividiendo y viceversa. Por ejemplo:
$3 x = 6 x = 6 : 3$
Si un término está elevado a una potencia de un lado de la igualdad, esa potencia pasa al otro lado como una raíz cuyo índice es la potencia y viceversa. Por ejemplo:
$x^{3} = 8 x = \sqrt[3]{8}$

Ejemplo 1:

$x^{2} - 4 = 0 x^{2} = 4 | x | = \sqrt{4} | x | = 2 x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Cuando una potencia par se pasa al otro miembro de la igualdad como raíz, hay dos valores de x que resuelven la igualdad. Por ello se utiliza el módulo, |x|.

Ejemplo 2:

$3 x^{2} + 2 x = 0$

Una forma sencilla de resolver esta ecuación es extraer factor común x:

$x (3 x + 2) = 0$

Para que el producto x(3x+2) sea igual a cero, uno de sus factores debe ser cero. Entonces, la ecuación anterior es válida si:

$x = 0, 3 x + 2 = 0$

De este modo se pueden hallar los dos valores de x que satisfacen la ecuación:

$x_{1} = 0$

(no se requieren cálculos)

Para x₂ se debe despejar la segunda ecuación (segundo factor).

$3 x + 2 = 0 3 x = - 2 x = - \frac{2}{3} x_{2} = - \frac{2}{3}$

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Fórmula resolvente o de Bhaskara

$x_{1}, x_{2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

La fórmula de Bhaskara permite obtener las raíces de una ecuación de segundo grado. De la aplicación de la fórmula puede ocurrir que el resultado sea:

Dos raíces reales distintas.
$(b^{2} - 4 a c > 0)$
Dos raíces reales iguales.
$(b^{2} - 4 a c = 0)$
No tenga raíces reales.
$(b^{2} - 4 a c < 0)$

Ejemplo 3: Resolver la ecuación

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Primero se identifican los coeficientes a, b y c, siendo éstos:

$a = 2 b = 5 c = - 3$

Se reemplaza en la fórmula:

$x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2} x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{4} x_{1}, x_{2} = \frac{- 5 \pm 7}{4} x_{1} = \frac{- 5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} x_{2} = \frac{- 5 - 7}{4} = \frac{- 12}{4} = - 3$

Por lo tanto:

$x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = - 3$

También se puede utilizar la fórmula de Bhaskara para ecuaciones cuadráticas incompletas.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

Resolver las siguientes ecuaciones:

$1) x^{2} + 6 x + 8 = 0 2) x^{2} - 25 = 0 3) x^{2} = 2 x 4) x^{2} + 2 x - 8 = 0$

RESPUESTAS

$1) x_{1} = - 2, x_{2} = - 4 2) x_{1} = - 5, x_{2} = 5 3) x_{1} = 0, x_{2} = 2 4) x_{1} = 2, x_{2} = - 4$

¿Sabías qué...?

El matemático y astrónomo Bhaskara nació en la India en el siglo XII y encontró respuestas a las resoluciones cuadráticas varios siglos antes que matemáticos de Europa.

Reacciones orgánicas

Los compuestos orgánicos se unen mediante enlaces covalentes, dichos enlaces son fuertes, con energías de activación elevadas y velocidades de reacción lentas. En las reacciones orgánicas se encuentra al menos un compuesto orgánico como reactivo y pueden ser de adición, de eliminación, de sustitución, redox orgánicas, la combustión y la saponificación.

Una reacción química es un proceso mediante el cual los reactivos (sustancias que reaccionan) se transforman en productos (sustancias resultantes de la reacción química). Toda reacción química produce o absorbe calor u otras formas energéticas.

Las reacciones químicas se representan mediante ecuaciones químicas que las representan simbólicamente.

REACTIVOS → PRODUCTOS

En las reacciones orgánicas se rompen enlaces en los reactivos para formar productos e intervienen compuestos orgánicos (constituidos por carbono, hidrógeno, oxígeno y nitrógeno principalmente). Las moléculas orgánicas pueden ser naturales o artificiales. Las primeras son sintetizadas por los seres vivos y comúnmente conocidas como biomoléculas. Las artificiales se sintetizan en laboratorio desde principios del siglo XIX, cuando se logró sintetizar por primera vez un producto orgánico en laboratorio a partir de compuestos inorgánicos.

Los plásticos son sustancias orgánicas artificiales.

el átomo de carbono (C)

El átomo de carbono es el elemento principal de la química orgánica debido a su configuración electrónica que le permite combinarse de diversas formas. Es de tanta importancia para la Química, que existe un área específica para su estudio: la Química del Carbono.

Además de carbono, hidrógeno, oxígeno y nitrógeno, los compuestos orgánicos pueden contener azufre, fósforo, boro y elementos halógenos.

TIPOS DE REACCIONES ORGÁNICAS

Una forma de clasificar las reacciones químicas es teniendo en cuenta el tipo de transformación que ocurre, pudiendo ser:

Reacciones de adición

En estas reacciones enlaces múltiples entre carbonos se transforman en enlaces simples. Se adicionan dos especies químicas al enlace múltiple de la molécula insaturada.

Ej: CH₃-CH=CH-CH₃ + HBr → CH₃-CH₂-CHBr-CH₃(reacción de adición en un alqueno)

Otras reacciones de adición pueden ser: reacciones de adición en alquinos, cicloadición, polimerización, adición sobre grupos carbonilo e hidrogenación.

Reacciones de eliminación

Comprenden aquellas en las cuales se lleva a cabo el proceso inverso a las reacciones de adición. En ellas se pierden átomos o grupos de átomos, formándose enlaces múltiples o anillos.

Ej:

Reacciones de sustitución

En este tipo de reacciones un átomo o grupo atómico es sustituido o desplazado por otro. Pueden ser mediante sustitución por radicales libres, sustitución nucleófila o electrófila.

Ej: CH₃-CH₂-CHOH +HBr → CH₃-CH₂-Br + H₂O (sustitución de un alcohol por un hidrácido)

Las reacciones de adición, eliminación y sustitución pueden tener determinados cambios que impliquen transferencia de electrones. En estos casos se originan las reacciones de óxido reducción.

SAPONIFICACIÓN

La saponificación es una reacción que se da entre un ácido graso o lípido saponificable y una base o álcali (comúnmente se utiliza hidróxido de sodio también denominado sosa caústica), y da como resultado jabón y glicerina.

El álcali es un compuesto muy peligroso porque al ser corrosivo de tejidos y metales puede producir quemaduras en la piel, por ello se debe manipular con precaución.

Reacciones redox (de óxido reducción)

En las reacciones de óxido reducción de compuestos orgánicos se produce un cambio en los enlaces covalentes entre átomos que poseen distinta electronegatividad, y dan como resultado una transferencia parcial de electrones. Ante la duda, se pueden tener en cuenta dos reglas que permiten identificar si se está en presencia de una reacción redox orgánica:

Se debe observar el número de átomos de hidrógenos enlazados a un carbono, si éstos aumentan la reacción es redox orgánica. También se puede saber si el átomo de carbono ha sido reducido si el número de enlaces a átomos más electronegativos disminuyen.
Por otra parte, se puede identificar si el átomo de carbono ha sido oxidado cuando el número de átomos de hidrógeno enlazados a dicho carbono disminuyen o cuando la cantidad de enlaces a átomos más electronegativos aumentan.

Ejemplo de reacción de óxido reducción:

El número de oxidación del C (central) cambia, por lo tanto está ocurriendo una reacción redox.

Para saber qué especie se reduce y cual se oxida se debe tener en cuenta lo siguiente:

OXIDACIÓN: Aumento en el número de oxidación.

REDUCCIÓN: Disminución en el número de oxidación.

Reacciones de combustión

La combustión es un tipo de reacción redox.

En estas reacciones los átomos de carbono de un reactivo se combinan con los del oxígeno, y dan como resultado dióxido de carbono (CO₂) y agua en estado líquido si la combustión es completa. En caso de que la combustión sea incompleta se obtiene monóxido de carbono (CO) y agua en los productos.

Ej:

CH₄ + 2O₂ → CO₂ +2H₂O (combustión completa)

2CH₄ + 3O₂ → 2CO +4H₂O (combustión incompleta)

En las reacciones de combustión el reactivo que arde se denomina combustible y el otro reactivo comburente. En el caso de los ejemplos anteriores el comburente es el oxígeno (por lo general se utiliza este gas).

a practicar lo aprendido

Indicar en cada una de las reacciones a qué tipo de reacción orgánica corresponde:

1. 2C₄H10 + 13 O₂ → 8CO₂ + 10H₂O

2. CH≡CH + HCl → CH₂=CHCl

3. CH₃-H + Cl-Cl → CH₃Cl + H-Cl

RESPUESTAS

1. Combustión

2. Adición

3. Sustitución

¿Sabías qué...?

Una forma de elaborar lápices de labios es con cera, aceite y pigmentos. En ocasiones la cera utilizada es de abejas.

Si deseas aprender más sobre reacciones orgánicas ingresa a la Enciclopedia de Química, Tomo 2.