Cálculo de perímetros aplicando ecuaciones

En ocasiones el lenguaje algebraico permite organizar la información que se tiene y obtener respuestas mediante una serie de procedimientos matemáticos. Las ecuaciones algebraicas son de uso frecuente para determinados problemas, como pueden ser los cálculos de perímetros o áreas.

Para realizar este tipo de cálculos se requiere revisar los conceptos y fórmulas relacionadas con perímetros, además es necesario haber practicado antes la resolución de ecuaciones sencillas.

Este tipo de problema puede ser verbales únicamente o incluir gráficos. En cualquier caso es importante:

  • Realizar una lectura comprensiva del enunciado, si se requiere releer hasta haber comprendido qué datos se tienen y qué se desea averiguar.
  • Si el problema no tiene imagen y es necesario, esquematizar.
  • Extraer los datos del problema y asignar una incógnita al valor o los valores desconocidos.
  • Utilizar el lenguaje algebraico para escribir la ecuación y/o fórmulas que se utilizarán en la resolución.
  • Resolver la o las ecuaciones.
  • Analizar los resultados (identificar si la respuesta es coherente o no).
  • Se recomienda verificar.
  • Escribir la respuesta destacándola del resto de la resolución, ya sea remarcándola con colores, subrayándola, circulándola, etc.

aplicación de ecuaciones a problemas de geometría

Los problemas de geometría pueden incluir gran cantidad de temas, como el cálculo de ángulos, de áreas, volúmenes, etc. Esta explicación se acotará a perímetros, cuya resolución se realiza con ecuaciones de primer grado.

Problemas verbales

Los problemas verbales no incluyen imágenes, por ejemplo:

PROBLEMA 1: Si el largo de un rectángulo es el triple del ancho y su perímetro es de 56 cm. Hallar sus dimensiones.

Luego de leer el problema detenidamente, se realiza un dibujo representativo y en él se colocan los datos.

PREGUNTAS:

Se solicita hallar las dimensiones.

ancho: ?

largo: ?

En este problema la incógnita es la letra x, que representa al ancho de la figura.

Para poder escribir la ecuación que resuelve este problema es necesario recordar la fórmula del perímetro de un rectángulo, que puede expresarse de la siguiente manera: P = 2x +2y, siendo “x” e “y” ancho y largo respectivamente.

A continuación se reemplazan los datos en la fórmula:

P = 2x +2y

56 cm = 2x +2(3x)

Se resuelve la ecuación:

56 cm = 2x +6x

56 cm = 8x

56 cm : 8 = x

x = 7 cm

Se tiene entonces que:

ancho = x, por lo tanto el ancho es 7 cm. Como el largo es tres veces el ancho, el largo se calcula así:

largo: 3 ⋅ 7 cm = 21 cm

RTA. Las dimensiones son 7 cm de ancho y 21 cm de largo.

PROBLEMA 2: Hallar el perímetro del cuadrado ABCD tal que AB=5x+5, CD=7x−19. 

La figura que se aplica a este problema es la siguiente:

Una vez realizada la figura correspondiente se analiza qué tipo relación existe entre los lados. Es decir, ¿se puede aplicar alguna fórmula? ¿Se debe realizar una suma? ¿que propiedades tienen los lados?

Como en este problema la figura es un cuadrado se sabe que todos sus lados son iguales, por lo tanto, el lado AB es igual al lado CD. Por lo tanto:

5x + 5 = 7x – 19

Despejando x:

5 + 19 = 7x – 5x

24 = 2x

24 : 2 = x

x = 12 (se escribe en forma ordenada, la x a la izquierda)

¡ATENCIÓN!

El procedimiento aún no ha finalizado, solamente se ha hallado el valor de x, que debe ser reemplazado en alguna de las ecuaciones de los lados. Ej:

AB= 5⋅12 + 5 = 60 + 5 = 65

Como es un cuadrado, la fórmula del perímetro que corresponde es P = 4l, siendo “l” la medida de un lado.

P = 4⋅65 = 260

RTA. El perímetro del cuadrado es 260. (No se indicaron unidades en la consigna, por lo tanto no se colocan tampoco en respuesta).

VERIFICACIÓN

Para realizar la verificación del resultado de un problema resuelto con ecuaciones se reemplaza el valor de x obtenido en la ecuación original.

En el segundo problema sería:

5x + 5 = 7x – 19

5⋅12+5 = 7⋅12 -19

65 = 65

Si se obtienen resultados iguales a ambos lados del signo = entonces se ha verificado la respuesta.

Problemas gráficos

Este tipo de problemas suele contener una consigna que requiere estar acompañada de un gráfico o imagen para ser comprendida. Ejemplo:

PROBLEMA 3: Hallar la base del triángulo isósceles dado, si su perímetro es 11. 

En este caso se conoce la variable (x) y el perímetro de la figura. Al ser un triángulo isósceles cuenta con dos lados iguales.

DATOS:

base: x-3

lado: x-2

perímetro: 11

Aplicando la fórmula para perímetro de triángulos isósceles se obtiene:

P = 2x + y , siendo  la “x” uno de los lados iguales y la “y” la base.

P = 2⋅ (x-2) + (x-3)

11 = 2x – 4 + x – 3

11 + 4 + 3 = 2x + x

18 = 3x

18:3 = x

x = 6

Como se pide hallar la base en el enunciado, entonces se procede a reemplazar en la expresión algebraica que corresponde a la misma:

base = x-3

base = 6-3

base = 3

RTA. La longitud de la base es igual a 3.

A PRACTICAR LO APRENDIDO

  1. Si un rectángulo tiene un perímetro de 46 cm y la base es 3 cm más larga que la altura. Calcular la longitud de la base.
  2. Si el perímetro de un rectángulo mide 30 cm. Calcular sus dimensiones sabiendo que el largo mide 7 cm más que el ancho.
  3. Hallar la medida de un lado del siguiente rombo cuyo perímetro es 40.

RESPUESTAS

  1. 13 cm
  2. ancho: 4 cm; largo: 11 cm
  3. 10 cm
¿Sabías qué...?
Los egipcios y los babilonios eran capaces de resolver algunos tipos de ecuaciones: lineales, cuadráticas y algunas de tercer grado.

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